Kurs:Gewöhnliche Differentialgleichungen/2.0 einführung

In den Beispielen im vorherigen Kapitel haben wir einige Techniken zur Lösung von Differentialgleichungen gesehen. Ein großer Teil der Differentialgleichungen ist allerdings analytisch nicht oder nur schwer lösbar. In diesen Fällen greifen wir zur numerischen Lösung. Wenn ein numerisches Verfahren eine Lösung liefert, ist es wichtig Kenntnis über die Lösbarkeit der Differentialgleichung zu haben (Besitzt die Differentialgleichung überhaupt eine Lösung? Ist diese eindeutig?). Nur dann kann die numerische Lösung als Annäherung der analytischen Lösung interpretiert werden. In diesem Kapitel werden wir die Lösbarkeit der Anfangswertaufgabe studieren. Als Spezialfall geben wir zum Schluss die Lösungsformel für ein lineares System gewöhnlicher Differentialgleichungen an.

Wir betrachten die Anfangswertaufgabe (1.6) einfachheitshalber als skalare Gleichung, d.h. $m=1$ und $y\in D\subset ℝ$. Die Verallgemeinerung des Beweises einer Lösung für Systeme (1.7) ist möglich und wird später erläutert.

Sei $D=[c,d]$ und der Anfangswert $y_0\in D$, sei ferner das Zeitintervall $[a,b]$ mit $t_0\in [a,b]$. Wir definieren die Funktion der rechten Seite $f$, $f$, $$f:S\to S:=[a,b]\times D,\text{wobei}(t_0,y_0)\in S,f\text{stetig auf}S,$$

siehe Abbildung 2.1. Im Folgenden werden wir verstehen, warum außer der Stetigkeit noch weitere Anforderungen an die Funktion $f$ benötigt werden, um die Eindeutigkeit der Lösung zu garantieren. Die Existenz (und Eindeutigkeit) der Lösung wird auch nicht zwangsläufig für alle $t\in [a,b]$ garantiert, sondern nur in einer gewissen Umgebung vom Startwert $(t_0,y_0)$. In diesem Fall werden wir von lokaler Existenz einer Lösung sprechen.

Eine weitere Anmerkung bezieht sich auf die Differenzierbarkeit der Lösung der gewöhnlichen Differentialgleichung $y^{\prime }=f(t,y)$. Angenommen die Funktion $f$ ist stetig und die Lösung dieser Differentialgleichung existiert. Dann ist zwansgweise auch $y^{\prime }$ stetig. Zusammengefasst: Existiert eine Lösung von $y^{\prime }=f(t,y)$ für eine stetige Funktion $f$, dann ist die Lösung $y(t)$ stetig differenzierbar.

Abbildung 2.1: Definitionsbereich $S$ der Funktion $f$ und der Existenzbereich $S_{\delta }{,}_{\beta }$ einer Lösung von (1.6)