Kurs:Funktionentheorie/isolierte Singularität

Definition

Es sei $G\subseteq ℂ$ ein Gebiet und $z_0\in G$. Ist $f:G\setminus \{z_0\}\to ℂ$ eine holomorphe Funktion, so heißt $z_0$ eine isolierte Singularität von $f$.

Klassifikation

Je nach dem Verhalten von $f$ in der Umgebung von $z_0$ unterscheidet man drei verschiedene Arten isolierter Singulariäten von $f$.

hebbare Singularitäten

Ist $f$ auf das ganze Gebiet $G$ holomorph fortsetzbar, so sagt man, $z_0$ sei eine hebbare Singularität. Das ist nach dem Riemannschen Hebbarkeitssatz dann der Fall, wenn $f$ in einer Umgebung von $z_0$ beschränkt ist.

Pole

Ist $z_0$ keine hebbare Singularität, aber gibt es ein $n\ge 1$, so dass $(\cdot -z_0{)}^n\cdot f$ eine hebbare Singularität in $z_0$ hat, so sagt man, $f$ habe einen Pol in $z_0$. Das kleinste solche $n$ heißt die Ordnung des Pols.

Wesentliche Singularitäten

Ist $z_0$ weder hebbar noch ein Pol, so sagt man, $z_0$ sei eine wesentliche Singularität von $f$.

Beispiele

• Wegen $\underset{z\to 0}{\lim }\frac{\sin z}{z}=1$ hat die Funktion $f_1(z)=\frac{\sin z}{z}$ eine hebbare Singularität in $z_0=0$.
• Die Funktion $f_2(z)=\frac{1}{\sin z}$ hat in $z_0=0$ keine hebbare Singularität, da $f_2$ in $0$ unbeschränkt ist, aber $f_2$ hat in $0$ einen Pol erster Ordnung, da $f_2(z)\cdot (z-0{)}^1=f_2(z)z=\frac{z}{\sin z}$ wegen $\underset{z\to 0}{\lim }\frac{z}{\sin z}=1$ in 0 eine hebbare Singularität hat.
• Die Funktion $f_3(z)=\sin \frac{1}{z}$ hat in $z_0=0$ eine wesentliche Singularität, da für jedes $n\ge 1$ die Funktion $f_3(z)z^n=z^n\sin \frac{1}{z}$ in jeder Umgebung der Null unbeschränkt ist. Um das einzusehen, betrachte $\sin z^{-1}=\frac{e^{i{z}^{-1}}-e^{-i{z}^{-1}}}{2i}$. Für $z=it$ mit $t\in ℝ$ ist also $f_3(it)(it{)}^n=(it{)}^n\frac{e^{t^{-1}}-e^{-t^{-1}}}{2i}$, was für $t\to 0^{+}$ divergiert.

Laurententwicklungen

Die Art der isolierten Singularität lässt sich auch an der Laurententwicklung von $f$ um $z_0$ ablesen. Sei nämlich

$f(z)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{a}_n(z-z_0{)}^n$

die Laurent-Reihe von $f$ um $z_0$. Wir setzen

$o_z(f)=\sup \{n\in \mathbb{Z}|\mathrm{\forall }k<n:a_k=0\}$.

Dann hat $f$ im Falle

• $o_z(f)\ge 0$, d.h. alle negativen Koeffizienten verschwinden, der Hauptteil der Reihe ist Null, eine hebbare Singularität
• $-\mathrm{\infty }<o_z(f)<0$, d.h. nur endlich viele negative Koeffizienten sind von Null verschieden, einen Pol der Ordnung $-o_z(f)$
• $o_z(f)=-\mathrm{\infty }$, d.h. unendlich viele negative Koeffizienten sind von Null verschieden, eine wesentliche Singularität.

Beispiele

Wir betrachten unsere drei Beispiele von oben noch einmal:

• Es ist $f_1(z)=\frac{\sin z}{z}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{z^{2n}}{(2n+1)!}$, also $o_0(f_1)=0$, eine hebbare Singularität.
• Es ist $f_2(z)=\frac{1}{\sin z}=\frac{1}{z}+\frac{z}{6}+\frac{7}{360}{z}^3+\dots$

also $o_0(f_2)=-1$, ein Pol erster Ordnung.

• Es ist $f_3(z)=\sin z^{-1}=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^0\frac{(-1{)}^n}{(-2n+1)!}{z}^{2n-1}$, also $o_0(f_3)=-\mathrm{\infty }$, eine wesentliche Singularität.