Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalkül

Einleitung

Bei dem Wirtinger-Kalkül handelt es sich um einen mathematischen Kalkül aus der Funktionentheorie. Der Wirtinger-Kalkül ist nach dem Mathematiker Wilhelm Wirtinger benannt. Mit Hilfe dieser Objekte kann die Darstellung komplexer Ableitungen übersichtlicher gestaltet werden.

Wirtinger-Kalkül

Eine komplexe Zahl $z\in ℂ$ wird durch $z:=x+\mathrm{i}y$ in zwei reelle Zahlen zerlegt. Für die folgende Funktion

$f:G\to ℂ(x,y)\to f(x,y)$

sei $G\subset {ℝ}^2$ ein Gebiet.

Zerlegung in Realteil- und Imaginärteilfunktion

Die Funktion $f:G\to ℂ$ wird nun in die Realteil- und Imaginärteilfunktion $f=u+\mathrm{i}v:G\to ℂ$ zerlegt.

Definition Realteil- und Imaginärteilfunktion

Die Realteilfunktion

$u:G\to ℝ(x,y)\to u(x,y)$

und die Imaginärteilfunktion

$v:G\to ℝ(x,y)\to v(x,y)$

sind jeweils eine (reell) differenzierbare Funktion.

Existenz der partiellen Ableitungen

Die partiellen Ableitungen von $f$ existieren und können als Linearkombination der partielle Ableitungen von $u$ und $v$ wie folgt geschrieben werden:

$\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{\partial u}{\partial x}(x,y)+\mathrm{i}\frac{\partial v}{\partial x}(x,y)$

und

$\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\frac{\partial u}{\partial y}(x,y)+\mathrm{i}\frac{\partial v}{\partial y}(x,y)$.

Berechnung der Wirtinger-Ableitungen

Im nächsten Abschnitt werden nun die Wirtinger-Ableitungen eingeführt, welche ebenfalls partielle Differentialoperatoren sind. Jedoch sind diesWikipedia Authorse einfacher zu berechnen, da die komplexwertige Funktion nicht in Real- und Imaginärteil zerlegt werden muss. Statt der Koordinaten $x$ und $y$ verwendet man $z=x+\mathrm{i}y$ und $\overline{z}=x-\mathrm{i}y$.

Richtungsableitung

Sei $G\subset {ℝ}^2$ eine offene wegzusammenhängende Menge und $f:G\to ℂ$ eine Funktion, die in einer Umgebung $U\subseteq G$ von $z_o$. Dann versteht man unter der Richtungsableitung von $f$ im Punkt $z_o=(x_o,y_o)\in {ℝ}^2$ in Richtung des Vektors $v=(v_1,v_2)\in {ℝ}^2$ den Limes

$\frac{\partial f}{\partial v}(z_o):=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(z_o+h\cdot v)-f(z_o)}{h}$

Bemerkungen - Partielle Ableitungen

• Der Limes muss existieren.
• Partielle Ableitung kann man as spezielle Ableitungen mit $v=(1,0)$ bzw. $v=(0,1)$ auffassen.
• Bei einer total differenzierbaren Funktion $f:G\to ℂ$ lässt sich die Richtungsableitung als Skalarprodukt $⟨v,Grad(f)(z_o)⟩$ aus $v$ und dem Gradient von $f$ an der Stelle $z_o$.

Komplexe Konjugation und Richtungsableitungen

Aus den komplexen Zahlen $z=x+\mathrm{i}y$ und $\overline{z}=x-\mathrm{i}y$ auf ${ℝ}^2$ übertragen ist $z=(x,y)$ und $\bar{z}=(x,-y)$. Die partiellen Ableitungen $\frac{\partial f}{\partial x}(z_o)$ und $\frac{\partial f}{\partial y}(z_o)$ sind komplexwertig. Damit definiert man bei einer total differenzierbaren Funktion $f$ die folgende Differentiale.

Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen

Eine Funktion $f$ ist in $x_o+i{y}_o$ genau dann komplex differenzierbar, wenn sie reell differenzierbar ist und für $u,v$ mit $u:G\to ℝ$, $v:G\to ℝ$ mit $G\subset {ℝ}^2$ die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen für $z_o=(x_o,y_o)\in {ℝ}^2$

$\frac{\partial u}{\partial x}(x_o,y_o)=\frac{\partial v}{\partial y}(x_o,y_o)$

$\frac{\partial u}{\partial y}(x_o,y_o)=-\frac{\partial v}{\partial x}(x_o,y_o)$

erfüllt sind und $\frac{\partial f}{\partial x}(z_o)=\frac{\partial u}{\partial x}(z_o)+i\cdot \frac{\partial v}{\partial x}(z_o)$ bzw. $\frac{\partial f}{\partial y}(z_o)=\frac{\partial u}{\partial y}(z_o)+i\cdot \frac{\partial v}{\partial y}(z_o)$ gilt.

Richtungsableitungen und partielle Ableitungen

Definiert man mit CRG die so genannten Wirtinger-Ableitungen

$\frac{\partial f}{\partial z}(z_o):=\frac{1}{2}\cdot (\frac{\partial f}{\partial x}(z_o)-i\cdot \frac{\partial f}{\partial y}(z_o))$

und

$\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}(z_o):=\frac{1}{2}\cdot (\frac{\partial f}{\partial x}(z_o)+i\cdot \frac{\partial f}{\partial y}(z_o)),$

so erhält man $\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}(z_o)=0$ ein Holomorphiekriterium.

Einsetzen der partielle Ableitungen

Durch das Einsetzen der Wirtinger-Ableitungen erhält man jeweils die partielle Ableitungen mit:

$\begin{array}{ccc}\frac{1}{2}\cdot (\frac{\partial f}{\partial z}(z_o)+\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}(z_o))& =& \frac{1}{2}\cdot ((\frac{\partial f}{\partial x}(z_o)-i\cdot \frac{\partial f}{\partial x}(z_o))+(\frac{\partial f}{\partial x}(z_o)+i\cdot \frac{\partial f}{\partial y}(z_o)))\\ & =& \frac{1}{2}\cdot (2\cdot \frac{\partial f}{\partial x}(z_o))=\frac{\partial f}{\partial x}(z_o)\\ \frac{i}{2}\cdot (\frac{\partial f}{\partial z}(z_o)-\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}(z_o))& =& \frac{i}{2}\cdot ((\frac{\partial f}{\partial x}(z_o)-i\cdot \frac{\partial f}{\partial x}(z_o))-(\frac{\partial f}{\partial x}(z_o)+i\cdot \frac{\partial f}{\partial y}(z_o)))\\ & =& \frac{i}{2}\cdot (-2i\cdot \frac{\partial f}{\partial y}(z_o))=\frac{\partial f}{\partial y}(z_o)\end{array}$

Darstellung partieller Ableitungen über Richtungsableitungen

Insgesamt erhält man mit $z=x+iy$ in $ℂ$ über $x=\frac{1}{2}(z+\overline{z})$ und $y=\frac{1}{2\mathrm{i}}(z-\overline{z})=\frac{\mathrm{i}}{2}(\overline{z}-z)$ die Darstellung von Realteil und Imaginärteil. Überträgt man die Gleichungen auf ${ℝ}^2$ so erhält man also mit $G\subset {ℝ}^2$ und $f:G\to ℂ$ die partiellen Ableitungen

$\frac{\partial f}{\partial x}(z_o)=\frac{1}{2}\cdot (\frac{\partial f}{\partial z}(z_o)+\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}(z_o))\in ℂ$

und

$\frac{\partial f}{\partial y}(z_o)=\frac{i}{2}\cdot (\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}(z_o)-\frac{\partial f}{\partial z}(z_o))\in ℂ$

Motivation - Kurzdarstellung

Für die Differentiale erhält man daraus

$\mathrm{d}x=\frac{1}{2}(\mathrm{d}z+\mathrm{d}\overline{z})$ und $\mathrm{d}y=\frac{\mathrm{i}}{2}(\mathrm{d}\overline{z}-\mathrm{d}z)$.

Einsetzen in das totale Differential und Umsortieren liefert

$\mathrm{d}f=\frac{1}{2}(\frac{\partial f}{\partial x}-\mathrm{i}\frac{\partial f}{\partial y})\mathrm{d}z+\frac{1}{2}(\frac{\partial f}{\partial x}+\mathrm{i}\frac{\partial f}{\partial y})\mathrm{d}\overline{z}$.

Formale Darstellung der Ableitung

Um (formal) die Beziehung $\mathrm{d}f=\frac{\partial f}{\partial z}\mathrm{d}z+\frac{\partial f}{\partial \overline{z}}\mathrm{d}\overline{z}$ zu erhalten, setzt man

$\frac{\partial f}{\partial z}:=\frac{1}{2}(\frac{\partial f}{\partial x}-\mathrm{i}\frac{\partial f}{\partial y})$

und

$\frac{\partial f}{\partial \overline{z}}:=\frac{1}{2}(\frac{\partial f}{\partial x}+\mathrm{i}\frac{\partial f}{\partial y})$.

Dies sind die Wirtinger-Ableitungen.

Kurzform der Notation

Für $\frac{\partial f}{\partial z}$ schreibt man auch kurz $\partial f$, für $\frac{\partial f}{\partial \overline{z}}$ schreibt man $\overline{\partial }f$. Der Operator $\bar{\partial }$ heißt Cauchy-Riemann-Operator.

Totales Differential

Mit Hilfe der partiellen Ableitungen schreibt sich das (totale) Differential von $f$ als

$\mathrm{d}f=\frac{\partial f}{\partial x}\mathrm{d}x+\frac{\partial f}{\partial y}\mathrm{d}y$.

als Richtungsableitungen für $v=(1,1)$ und $\bar{v}=(1,-1)$ die Darstellung über die partiellen Ableitungen.

Holomorphe Funktionen

Der Wirtinger-Kalkül findet insbesondere in der Funktionentheorie Anwendung, da für holomorphe Funktionen die Notation sich auf ein Minimum reduziert. Außerdem ist dieser Kalkül sehr stabil, wie Eigenschaften 3 und 4 im nächsten Abschnitt zeigen.

Eine reell differenzierbare Funktion ist genau dann eine holomorphe Funktion, wenn $\bar{\partial }f=0$ gilt. In diesem Fall ist $\partial f$ die Ableitung von $f$. Dies gilt, da die Gleichung $\bar{\partial }f=0$ eine sehr kurze Darstellung der Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen ist. Aus diesem Grund trägt der Operator $\bar{\partial }$ den Namen Cauchy-Riemann-Operator.

Gilt hingegen für eine reell differenzierbare Funktion $f$ die Gleichung $\partial f=0$ so nennt man diese Funktion antiholomorph und das reelle Differential kann mit Hilfe von Eigenschaft 1 aus $\bar{\partial }f$ berechnet werden.

Eigenschaften

Beziehung zur partiellen Ableitung

Es gelten die Gleichungen

$\frac{\partial f}{\partial x}=\partial f+\bar{\partial }f$

und

$\frac{\partial f}{\partial y}=\mathrm{i}(\partial f-\bar{\partial }f)$.

Linearität

Die Operatoren $\partial$ und $\bar{\partial }$ sind $ℂ$-linear, das heißt für $a,b\in ℂ$ und reell differenzierbare Funktionen $f,g:G\to ℂ$ gilt

$\partial (af+bg)=a\partial f+b\partial g$

und

$\bar{\partial }(af+bg)=a\bar{\partial }f+b\bar{\partial }g$.

Komplexe Konjugation

Für jede reell differenzierbare Funktion $f$ gilt

$\bar{\partial }f=\overline{\partial \stackrel{‾}{f}}$

und

$\bar{\partial }\bar{f}=\overline{\partial f}$.

Kettenregel

Für die Wirtinger-Ableitungen gilt die Kettenregel

$\frac{\partial (g\circ f)}{\partial z}(z_0)=\frac{\partial g}{\partial w}(f(z_0))\cdot \frac{\partial f}{\partial z}(z_0)+\frac{\partial g}{\partial \bar{w}}(f(z_0))\cdot \frac{\partial \bar{f}}{\partial z}(z_0)$

und

$\frac{\partial (g\circ f)}{\partial \bar{z}}(z_0)=\frac{\partial g}{\partial w}(f(z_0))\cdot \frac{\partial f}{\partial \bar{z}}(z_0)+\frac{\partial g}{\partial \bar{w}}(f(z_0))\cdot \frac{\partial \bar{f}}{\partial \bar{z}}(z_0)$.

Hauptsymbol

Das Hauptsymbol von $\partial$ ist $\xi \mapsto \frac{1}{2}({\xi }_1-\mathrm{i}{\xi }_2)$ und das Hauptsymbol von $\bar{\partial }$ ist $\xi \mapsto \frac{1}{2}({\xi }_1+\mathrm{i}{\xi }_2)$. Beide Differentialoperatoren sind also elliptisch.

Assoziierter Laplace- und Dirac-Operator

Mit den Wirtinger-Ableitungen kann man den Laplace-Operator durch

$\mathrm{\Delta }f=4\partial \bar{\partial }f=4\bar{\partial }\partial f$

darstellen. Daraus folgt insbesondere, dass der Operator

$D:=2\left(\begin{array}{cc}0& -\partial \\ \bar{\partial }& 0\end{array}\right)$

ein Dirac-Operator ist.

Fundamentallösung

Die Fundamentallösung des Cauchy-Riemann-Operators $\frac{\partial }{\partial \bar{z}}$ ist $\frac{1}{\pi z}$, das heißt die durch die Funktion $u(z)=\frac{1}{\pi z}$ erzeugte Distribution löst die Gleichung $\frac{\partial }{\partial \bar{z}}u(z)=\delta$, wobei $\delta$ die Delta-Distribution ist. Eine Herleitung ist im Artikel Cauchy-Riemannsche partielle Differentialgleichungen zu finden.

Literatur

• Ingo Lieb & Wolfgang Fischer: Funktionentheorie: Komplexe Analysis in einer Veränderlichen, Vieweg & Teubner, 2005, ISBN 978-3-8348-0013-8.
• Ingo Lieb: The Cauchy-Riemann Complex, Vieweg Aspects of Mathematics, 2002, ISBN 978-3-528-06954-4.

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