Kurs:Funktionentheorie/Potenzen und Wurzeln

Rechenoperationen

Im Folgenden werden die Rechenoperationen

• Potenzieren,
• Wurzelziehen (Radizieren) und
• Logarithmieren

behandelt.

Potenzen

Sei $z\in ℂ$ und man betrachtet die die Potenzen $z^n\in ℂ$. Dabei hilft u.a. die Polarkoordinatendarstellung für die geometrische Interpretation der Operation.

Natürliche Exponenten - Polarkoordinaten

Für natürliche Zahlen $n$ berechnet sich die $n$-te Potenz in der polaren Form $z=r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\phi }$ zu

$z^n=r^n\cdot {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}n\phi }=r^n\cdot (\cos n\phi +\mathrm{i}\cdot \sin n\phi )$

(siehe auch Satz von de Moivre)

Natürliche Exponenten - algebraische Darstellung

Für die algebraische Form $z=a+b\mathrm{i}$ mit Hilfe des binomischen Satzes zu

$z^n=\sum _{\genfrac{}{}{0ex}{}{k=0,}{k\text{ gerade}}}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})(-1{)}^{\frac{k}{2}}{a}^{n-k}{b}^k+\mathrm{i}\sum _{\genfrac{}{}{0ex}{}{k=1,}{k\text{ ungerade}}}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})(-1{)}^{\frac{k-1}{2}}{a}^{n-k}{b}^k.$

Wurzeln

Da Potenzen $z^n\in ℂ$ in der Polarkoordinatendarstellung die Winkel addieren und für den Betrag der Potenz $|z^n|=|z{|}^n$ muss man mit der Periodizität von $2\pi$ und $z=r\cdot {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\phi }$ ergeben bei der $n$-ten Wurzel $n$ verschieden Zahlen $z_k\in ℂ$ mit $z_k^n=z$. Die Wurzeln können in folgenden Form dargestellt werden:

$z_k=\sqrt[n]{|z|}\cdot \exp (\frac{\mathrm{i}\phi }{n}+k\cdot \frac{2\pi \mathrm{i}}{n})(k=0,1,\dots ,n-1)$

Bemerkung zur Wurzeln

Der Term $k\cdot \frac{2\pi \mathrm{i}}{n}$ liefert beim Potenzieren mit Exponent $n$ ein Vielfaches von $2\pi$. Der Term $\frac{\mathrm{i}\phi }{n}$ erzeugt beim Potenzieren mit $n$ genau den gesuchten Winkel von $\phi$ von $z$ in der Polarkoordinatendarstellung.

- siehe auch Wurzeln aus komplexen Zahlen

Logarithmen

Der komplexe natürliche Logarithmus ist (anders als der reelle) nicht eindeutig. Eine komplexe Zahl $w$ heißt Logarithmus der komplexen Zahl $z$, wenn

${\mathrm{e}}^w=z.$

Periodizität der e-Funktion

Mit $w$ ist auch jede Zahl $w+2m\pi \mathrm{i}$ mit beliebigem $m\in \mathbb{Z}$ ein Logarithmus von $z$. Man arbeitet daher mit Zweigen des Logaritmus, d. h. mit Werten eines bestimmten Streifens der komplexen Ebene.

Hauptzweig des Logarithmus

Der Hauptzweig des natürlichen Logarithmus der komplexen Zahl

$z=r{e}^{\mathrm{i}\varphi }$

mit $r>0$ und $-\pi <\varphi \le \pi$ ist

$\ln z=\ln r+\mathrm{i}\varphi .$

Bemerkung - Hauptzweig

Der Hauptzweig des natürlichen Logarithmus der komplexen Zahl $z$ ist

$\ln z=\ln |z|+\mathrm{i}\mathrm{Arg}(z),$

wobei $\mathrm{Arg}(z)$ der Hauptzweig des Arguments von $z$ ist.

Die endlichen Untergruppen

Alle Elemente einer endlichen Untergruppe der multiplikativen Einheitengruppe ${ℂ}^{\times }=ℂ\setminus \{0\}$ sind Einheitswurzeln. Unter allen Ordnungen von Gruppenelementen gibt es eine maximale, etwa $n\in \mathbb{N}$. Da $ℂ$ kommutativ ist, erzeugt ein Element mit dieser maximalen Ordnung dann auch die Gruppe, so dass die Gruppe zyklisch ist und genau aus den Elementen

$\exp \left(\frac{2\pi \mathrm{i}k}{n}\right),k=0,1,\dots ,n-1$

besteht. Alle Elemente liegen auf dem Einheitskreis.

Siehe auch

• Logarithmus
• Wurzeln

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