Kurs:Funktionentheorie/Null- und Polstellen zählendes Integral

Das Null- und Polstellen zählende Integral zählt, wie der Name schon vermuten lässt, Null- und Polstellen einer meromorphen Funktion mit ihrer Vielfachheit. Genauer:

Nullstelle der Ordnung n

Sei $U\subseteq ℂ$ offen, $f:U\to ℂ$ eine holomorphe Funktion und $z_o\in U$. $f$ hat in $z_o$ eine Nullstelle der Ordnung $n\in \mathbb{N}$, wenn eine holomorphe Funktion $g:U\to ℂ$ existiert, mit:

$g(z_o)=0\wedge f(z)=(z-z_o{)}^n\cdot g(z)$.

Polstelle der Ordnung n

Sei $U\subseteq ℂ$ offen, $f:U\setminus \{z_o\}\to ℂ$ eine holomorphe Funktion und $z_o\in U$. $f$ hat in $z_o$ eine Polstelle der Ordnung $n\in \mathbb{N}$, wenn eine holomorphe Funktion $g:U\to ℂ$ existiert, mit:

$g(z_o)=w_o\in ℂ\wedge f(z)=(z-z_o{)}^{-n}\cdot g(z)\text{ mit }z\in U\setminus \{z_o\}$.

Aufgaben

Sei $U\subseteq ℂ$ offen, $f:U\to ℂ$ eine holomorphe Funktion und $z_o\in U$. Ferner habe $f$ in $z_o$ eine Nullstelle der Ordnung $n\in \mathbb{N}$.

Aufgabe 1: Nullstelle der Ordnung n

Berechnen Sie unter Verwendung der Definition der Nullstellenordnung den Ausdruck für $z\in U$

$\frac{f^{\prime }(z)}{f(z)}=$

Aufgabe 2: Nullstelle der Ordnung n

Begründen Sie, warum für den Term $\frac{g^{\prime }(z)}{g(z)}$ eine Umgebung $D_{\epsilon }(z_o)\subset U$ existiert in der $\frac{g^{\prime }}{g}$ keine Singularitäten besitzt.

Aufgabe 3: Nullstelle der Ordnung n

Begründen Sie, warum $\frac{g^{\prime }}{g}$ nicht notwendigerweise auf ganz $U\subseteq ℂ$ definiert sein muss.

Aufgabe 4: Nullstelle der Ordnung n

Was können Sie daraus für die folgende Integrale folgern:

$\underset{\partial D_{\epsilon }(z_o)}{\int }\frac{g^{\prime }(z)}{g(z)}dz=...$

und

$\underset{\partial D_{\epsilon }(z_o)}{\int }\frac{f^{\prime }(z)}{f(z)}dz=...$

Aufgabe 5: Polstelle der Ordnung n

Übertragen Sie Berechnung und Begründungen auf Polstellen der Ordnung $n\in \mathbb{N}$ und berechnen Sie wieder die Integrale:

$\underset{\partial D_{\epsilon }(z_o)}{\int }\frac{g^{\prime }(z)}{g(z)}dz=...$

und

$\underset{\partial D_{\epsilon }(z_o)}{\int }\frac{f^{\prime }(z)}{f(z)}dz=...$

Aussage

Sei $U\subseteq ℂ$ offen, $f\in ℳ(U)$. Sei $N(f)$ die Menge der Null- und $P(f)$ die Menge der Polstellen von $f$. Sei$\mathrm{\Gamma }\in C(U)$ ein Zyklus der jede Null- und jede Polstelle von $f$ genau einmal im positiven Sinn umläuft, d. h. es ist $n(\mathrm{\Gamma },z)=1$ für jedes $z\in N(f)\cup P(f)$. Wir setzen für $z\in N(f)\cup P(f)$:

$o_z(f):=\{\begin{array}{cc}m& z\text{ist}\text{Nullstelle}m\text{-ter}\text{Ordnung}\\ -m& z\text{ist}\text{Pol}m\text{-ter}\text{Ordnung}\end{array}$

Dann ist

$\frac{1}{2\pi i}\underset{\mathrm{\Gamma }}{\int }\frac{f^{\prime }(z)}{f(z)}dz=\sum _{z\in N(f)\cup P(f)}{o}_z(f).$

Beweis

Für jedes $z_0\in N(f)\cup P(f)$ gibt es dann eine Umgebung $U_{z_0}$ und ein holomorphes $g_{z_0}:U_{z_0}\to ℂ$ so dass $g_{z_0}(z_0)\ne 0$, $U_{z_0}\cap (N(f)\cup P(f))=\{z_0\}$ und

$f(z)=(z-z_0{)}^{o_{z_0}(f)}{g}_{z_0}(z)(\star )$

gilt.

Beweis 1: Holomorphie und Anwendung Residuensatz

Der Integrand ist überall in $U$ mit Ausnahme von möglicherweise $N(f)\cup P(f)$ holomorph. Nach dem Residuensatz genügt es, die Residuen von $f$ in den Punkten von $N(f)\cup P(f)$ zu berechnen:

Beweis 2: Residuum für Nullstellen/Polstellen

Sei $z_0\in N(f)\cup P(f)$, dann erhalten wir, wenn wir $(\star )$ differenzieren, dass

$f^{\prime }(z)=o_{z_0}(f)(z-z_0{)}^{o_{z_0}(f)-1}{g}_{z_0}(z)+(z-z_0{)}^{o_{z_0}(f)}{g}_{{z_0}^{\prime }}(z),z\in U_{z_0}$

also ist für $z$ nahe bei $z_0$:

$\frac{f^{\prime }(z)}{f(z)}=\frac{o_{z_0}(f)}{z-z_0}+\frac{g{\text{'}}_{z_0}(z)}{g_{z_0}(z)},z\in U_{z_0}$ mit

Beweis 3: Anwendung Residuensatz

Der zweite Summand ist holomorph, also ist $z_0$ ein Pol erster Ordnung von $f^{\prime }/f$ und

${\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}}_{z_0}\frac{f^{\prime }}{f}=o_{z_0}(f)$

Die Behauptung folgt mit dem Residuensatz.

Seiteninformation

Dieser Wiki2Reveal Foliensatz wurde für den Lerneinheit Kurs:Funktionentheorie' erstellt der Link für die Wiki2Reveal-Folien wurde mit dem Wiki2Reveal-Linkgenerator erstellt.

• Die Seite wurde als Dokumententyp PanDocElectron-SLIDE erstellt.
• Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Null-%20und%20Polstellen%20z%C3%A4hlendes%20Integral
• siehe auch weitere Informationen zu Wiki2Reveal und unter Wiki2Reveal-Linkgenerator.