Kurs:Funktionentheorie/Kette

Eine Kette ist eine formale Linearkombination von Kurven, wir haben

Definition - Kette

Sei $G\subseteq ℂ$, sei $n\in \mathbb{N}$ und seien ${\gamma }_i:[a_i,b_i]\to G$ Kurven in $G$ und $n_i\in \mathbb{Z}$. Dann heißt die formale Linearkombination $\sum _{i=1}^n{n}_i{\gamma }_i$ eine Kette in $ℂ$. Die Menge aller Ketten in $G$, die in natürlicher Weise eine abelsche Gruppe ist, wird mit $C(G)$ bezeichnet.

Definition - Spur eine Kette

Die Spur einer Kette $\mathrm{\Gamma }$ ist die Vereinigung der Spuren der einzelnen Kurven ${\gamma }_i$, also

$\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{u}\mathrm{r}(\mathrm{\Gamma }):=\bigcup _{i=1}^n\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{u}\mathrm{r}({\gamma }_i)$

Zykel

Eine Kette $\mathrm{\Gamma }=\sum _{i=1}^n{n}_i{\gamma }_i\in C(G)$ mit ${\gamma }_i:[a_i,b_i]\to G$ heißt Zykel, wenn jeder Punkt von $G$ gleich oft als Anfangs- und Endpunkt von Kurven in $G$ auftritt, d. h. wenn

$\sum _{i=1}^n{n}_i|\{i:{\gamma }_i(a_i)=z\}|=\sum _{i=1}^n{n}_i|\{i:{\gamma }_i(b_i)=z\}|$

für jedes $z\in G$ gilt.

Innen- und Außengebiet

Sei $\mathrm{\Gamma }$ ein Zykel in $ℂ$, mit Hilfe der Umlaufzahl kann man eine durch $\mathrm{\Gamma }$ bestimmte Zerlegung von $ℂ$ in drei Teile betrachten, nämlich:

• Die Bildmenge der $\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{u}\mathrm{r}(\mathrm{\Gamma })$
• Das Außengebiet, diejenigen Punkte, die nicht von $\mathrm{\Gamma }$ umlaufen werden, also $A_{\mathrm{\Gamma }}:=\{z\in ℂ\setminus \mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{u}\mathrm{r}(\mathrm{\Gamma }):n(\mathrm{\Gamma },z)=0\}$
• Das Innengebiet sind diejenigen Punkte, die von $\mathrm{\Gamma }$ umlaufen werden, also $I_{\mathrm{\Gamma }}:=\{z\in ℂ\setminus \mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{u}\mathrm{r}(\mathrm{\Gamma }):n(\mathrm{\Gamma },z)\ne 0\}$

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