Kurs:Funktionentheorie/Lernvoraussetzungen

Die folgenden Inhalte sind Grundlagen der Vorlesung und sollten beherrscht werden. Die Aufgaben dienen zur Überprüfung, ob Sie diese Inhalte derzeit beherrschen. Mit den Links können Sie Ihr Wissen wieder auffrischen.

Grundlagen der Komplexen Zahlen

(Verteifung folgt in der Vorlesung)

1) Zeigen Sie, dass die nachfolgenden Rechenregeln für komplexe Zahlen gelten, indem Sie Rechenregeln aus den reellen Zahlen verwenden. $z_j=x_j+i{y}_j$ mit $j=1,2$ seien dabei komplexe Zahlen und es gelte $i^2=-1$.

Addition

$z_1+z_2=(x_1+x_2)+i(y_1+y_2)$

Subtraktion

$z_1-z_2=(x_1-x_2)+i(y_1-y_2)$

Multiplikation

$z_1\cdot z_2=(x_1{x}_2-y_1{y}_2)+i(x_1{y}_2+x_2{y}_1)$

Kehrwert

Sei $z\ne 0$.

$\frac{1}{z}=\frac{x}{x^2+y^2}-i\frac{y}{x^2+y^2}$

Quadratische Gleichung

Begründen Sie, weshalb die Lösung für Gleichungen der Form $x^2+ax+b=0$ mit $a,b\in ℂ$ auch im Komplexen $x_{1,2}=-\frac{a}{2}\pm \sqrt{(\frac{a}{2}{)}^2-b}$ lautet.

2) Berechnen Sie die folgenden Aufgaben

1. $x^2=-7$
2. $c^2+15=5$
3. $(1+i{)}^4$
4. $(\frac{-1-i\sqrt{3}}{2}{)}^3$
5. $(-1+i)\cdot (\overline{3-2i})+(-1+i)$
6. $|(4-3i)\cdot (1-2i)|$
7. $|3\cdot (\cos 60{}^{\mathrm{\circ }}-i\cdot \sin 60{}^{\mathrm{\circ }})|$
8. Zeichnen Sie die folgenden Zahlen in die Gaußsche Zahlenebene ein.
   1. $z=2,5\cdot e^{i\cdot \frac{3}{4}\pi }$
   2. $y=\frac{6i}{i-1}$

Konvergenz

1. Definieren Sie die Konvergenz für Folgen, Funktionen und Reihen.
2. Sei $n\in \mathbb{N}$. Geben Sie zu $ϵ=\frac{1}{10^5}$ ein $n_0$ an, sodass $|a_n|=|\frac{n}{2n+1}-\frac{1}{2}|<ϵ\mathrm{\forall }n>n_0$ und $|b_n|=|\frac{3n+1}{n+1}-3|<ϵ\mathrm{\forall }n>n_0$ gilt. Interpretieren Sie die Aussage.
3. Begründen Sie anhand der Definition jeweils die (Nicht-)Existenz des Grenzwertes. Geben Sie ggf. den Grenzwert und ein zu $ϵ>0$ passendes $\delta >0$ an. Sei $x\in ℝ$.
   1. $f(x)=2x-1x_0=3$
   2. $g(x)=cos(\frac{1}{x})x_0=0,x\to x_0^{+}$
4. Zeigen Sie die Konvergenz bzw. Divergenz der folgenden Reihen
   1. ${\sum }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{n^2+3n\cdot e^{-n}}{2^n(2+cos(n))}$
   2. ${\sum }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{2+cos(n)}{n}$

Stetigkeit von Funktionen

1. Geben Sie die Definition für die Stetigkeit einer Funktion an der Stelle $x_0$ an.
2. Zeigen Sie mithilfe der $ϵ$-$\delta$-Definition, dass die Funktion $f(x)=2x+1$ bei $a=2$ stetig ist.

Differenzierbarkeit

1. Geben Sie die Definition für die Differenzierbarkeit einer Funktion an.
2. Bestimmen sie anhand der Definition die erste Ableitung der Funktion $f(x)=x^2+3x-2$ ($x_0$ beliebig).

Integrierbarkeit

1. Geben Sie die Definition für die Integrierbarkeit einer Funktion an.
2. Bestimmen Sie das unbestimmte Integral $\int sin(x^3)\cdot 3x^{2}dx$.

Potenzreihen

1. Geben Sie die Definition der Potenzreihe an.
2. Nennen Sie die Potenzreihenentwicklung von $sin(x)$ und $cos(x)$.
3. Entwickeln Sie die Funktion $f(x)=ln(1+x)$. Für welche $x$ gilt diese?

Taylorreihen

1. Definieren Sie das Taylorpolynom der Ordnung $m$ zu $f$ im Entwicklungszentrum $a$.
2. Entwickeln Sie die Taylorreihe zu $f(x)=x^3+7x^2-18x+5$ mit dem Entwicklungszentrum $a=1$ und der Ordnung $m=3$.