Kurs:Funktionentheorie/Kurven

Einführung

In der Mathematik ist eine Kurve (von lat. curvus „gebogen, gekrümmt“) ein eindimensionales Objekt in einer zweidimensionalen Ebene (d.h. eine Kurve in der Ebene) oder in einem höherdimensionalen Raum (siehe Raumkurve).

Parameterdarstellungen

Mehrdimensionale Analysis: Eine stetige Abbildung $f : [a, b] \to ℝ^{n}$ ist eine Kurve im $ℝ^{n}$ .
Funktionentheorie: Eine stetige Abbildung $f : [a, b] \to ℂ$ ist ein Weg im $ℂ$ (siehe auch Integrationsweg).

Erläuterungen

Eine Kurve/ein Weg ist eine Abbildung. Dabei muss man die Spur des Weges bzw. das Bild eines Weges von dem Graph der Abbildung unterscheiden. Ein Weg ist (abweichend von der Umgangssprache) eine stetige Abbildung von einem Intervall in den betrachteten Raum (z.B. $ℝ^{n}$ oder $ℂ$ ).

Beispiel 1 - Plot

$γ_{1} : ℝ \to ℝ^{2},$ $t \mapsto γ_{1} (t) = (t^{2} - 1, t (t^{2} - 1))$

Beispiel 1 - Kurve als Lösungsmenge einer Gleichung

$γ_{1} : ℝ \to ℝ^{2},$ $t \mapsto γ_{1} (t) = (t^{2} - 1, t (t^{2} - 1))$ bzw. $y^{2} = x^{2} (x + 1)$ .

Bestimmen Sie für die Kurve alle $(t_{1}, t_{2}) \in ℝ^{2}$ mit $γ_{1} (t_{1}) = γ_{1} (t_{2}) \in ℝ^{2}$

Beispiel 1 - Berechnung der Lösungsmenge

Da $y^{2} \geq 0$ und auch $x^{2} \geq 0$ gilt, muss für eine Lösung $(x, y) \in ℝ^{2}$ auch $x + 1 \geq 0$ und damit $x \geq - 1$ gelten.

\begin{matrix} y^{2} & = & x^{2} (x + 1) & \Leftrightarrow \\ y & = & \pm \sqrt{x^{2} (x + 1)} \end{matrix}

Plotten Sie nun den Graphen von $f_{1} (x) = + \sqrt{x^{2} (x + 1)}$ und $f_{2} (x) = - \sqrt{x^{2} (x + 1)}$ (z.B. in Maxima CAS, Geogebra, CAS4Wiki).

Beispiele 2

Die Abbildung

$\tilde{γ_{2}} : [0, 2 π) \to ℝ^{2}, t \mapsto \tilde{γ_{2}} (t) = (\cos t, \sin t)$

beschreibt den Einheitskreis in der Ebene $ℝ^{2}$ .

$γ_{2} : [0, 2 π) \to ℂ, t \mapsto γ_{2} (t) = \cos (t) + i \sin (t)$

beschreibt den Einheitskreis in der Gaußschen-Zahlenebene $ℂ$ .

Beispiele 3

Die Abbildung

γ_{3} : ℝ \to ℝ^{2}, t \mapsto γ_{3} (t) = (t^{2} - 1, t (t^{2} - 1))

beschreibt eine Kurve mit einem einfachen Doppelpunkt bei $(0, 0)$ , entsprechend den Parameterwerten $t = 1$ und $t = - 1$ .

Richtungssinn

Durch die Parameterdarstellung erhält die Kurve einen Richtungssinn in der Richtung wachsenden Parameters.^[1]^[2]

Spur Kurve eines Weges

Die Spur oder Kurve eines Weges $γ : [a, b] \to ℂ$ bzw. $γ : [a, b] \to ℝ^{n}$ ist das Bild eines Weges

S p u r (γ) : = {(t, γ (t)) | a \leq t \leq b}

.

Unterschied - Graph und Kurve

Für einen Weg $γ : [a, b] \to ℝ^{2}$ ist die Spur oder die Kurve eine Teilmenge von $ℝ^{2}$ , während der Graph der Funktion $G r a p h (γ) \subset ℝ^{3}$ ist.

Aufgabe - Plot Graph und Kurve

Plotten Sie mit CAS4Wiki den Graphen und die Kurve von:

\begin{matrix} γ : & [0, 6 π] & \to & ℝ^{2} \\ t & \mapsto & γ (t) = (3 \cdot \cos (t), \sin (t)) \end{matrix}

Animation der Spur

Die folgende Animation zeigt die Animation einer Abrollkurve von zwei Kreisen.

Kurven in Geogebra

Erzeugen Sie zunächst einen Schieberegeler für die Variable $t \in [0, 2 π]$ und zwei Punkte $K_{1} = (2 \cos (t), 2 \sin (t)) \in ℝ^{2}$ bzw. $K_{2} = (\cos (3 t), \sin (3 t)) \in ℝ^{2}$ und erzeugen Sie mit $K : = K_{1} + K_{2}$ die Summe der beide Ortsvektoren von $K_{1}$ und $K_{2}$ . Analysieren Sie die Parametrisierung der Kurven. Geogebra: K_1:(2*cos(t),2 * sin(t)) , K_2:(cos(3*t),sin(3*t)) , K: K_1+K_2

γ_{4} (t) : = (2 \cos (t), 2 \sin (t)) + (\cos (3 t), \sin (3 t)) \in ℝ^{2}

Siehe auch interaktives Beispiel in Geogebra

Gleichungsdarstellungen

Eine Kurve kann auch durch eine oder mehrere Gleichungen in den Koordinaten beschrieben werden. Die Lösungsmenge der Gleichungen stellt die Kurve dar:

Die Gleichung $x^{2} + y^{2} = 1$ beschreibt den Einheitskreis in der Ebene.
Die Gleichung $y^{2} = x^{2} (x + 1)$ beschreibt die oben in Parameterdarstellung angegebene Kurve mit Doppelpunkt.

Wird die Gleichung durch ein Polynom gegeben, nennt man die Kurve algebraisch.

Funktionsgraphen

Funktionsgraphen sind ein Spezialfall beider oben angegebenen Formen: Der Graph einer Funktion

f : D \to ℝ, x \mapsto f (x)

kann entweder als Parameterdarstellung $γ : D \to ℝ^{2}, t \mapsto (t, f (t))}$ oder als Gleichung $y = f (x)$ dargestellt werden, wobei die Lösungsmenge der Gleichung die Kurve durch ${(x, y) \in ℝ^{2} ∣ y = f (x)}$ darstellt.

Wird in der Schulmathematik von Kurvendiskussion gesprochen, so meint man üblicherweise nur diesen Spezialfall.

Geschlossene Kurven

Geschlossene Kurven $γ : [a, b] \to ℂ$ sind stetige Abbildungen mit $γ (a) = γ (b)$ . In der Funktionentheorie benötigen wir Kurven $γ : [a, b] \to ℂ$ in $ℂ$ , die stetig differenzierbar sind. Diese nennt man Integrationswege.

Umlaufzahl in den komplexen Zahlen

Glatten geschlossenen Kurven kann man eine weitere Zahl zuordnen, die Umlaufzahl, die für eine nach der Bogenläge parametrisierte Kurve $γ : [a, b] \to ℂ$ durch

μ (γ, z) : = \frac{1}{2 π i} \int_{γ} \frac{1}{ξ - z} d ξ : = \int_{a}^{b} \frac{1}{γ (t) - z} \cdot γ^{'} (t) d t

gegeben ist. Der Umlaufsatz besagt analog zu einer Kurve im $R^{2}$ , dass eine einfache geschlossene Kurve die Umlaufzahl $1$ oder $- 1$ besitzt.

Kurven als eigenständige Objekte

Kurven ohne umgebenden Raum sind in der Differentialgeometrie relativ uninteressant, weil jede eindimensionale Mannigfaltigkeit diffeomorph zur reellen Geraden $ℝ$ oder zur Einheitskreislinie $S^{1}$ ist. Auch Eigenschaften wie die Krümmung einer Kurve sind intrinsisch nicht feststellbar.

In der algebraischen Geometrie und damit zusammenhängend in der komplexen Analysis versteht man unter „Kurven“ in der Regel eindimensionale komplexe Mannigfaltigkeiten, oft auch als Riemannsche Flächen bezeichnet. Diese Kurven sind eigenständige Studienobjekte, das prominenteste Beispiel sind die elliptischen Kurven. Siehe Kurve (algebraische Geometrie)

Historisches

Das erste Buch der Elemente von Euklid begann mit der Definition

Ein Punkt ist, was keine Teile hat. Eine Kurve ist eine Länge ohne Breite.

Diese Definition lässt sich heute nicht mehr aufrechterhalten, denn es gibt zum Beispiel Peano-Kurven, d. h. stetige surjektive Abbildungen $f : ℝ \to ℝ^{2}$ , die die gesamte Ebene $ℝ^{2}$ ausfüllen. Andererseits folgt aus dem Lemma von Sard, dass jede differenzierbare Kurve den Flächeninhalt null, also tatsächlich wie von Euklid gefordert keine Breite hat.

Interaktives Darstellungen von Kurven in Geogebra

Tangentialvektor einer Kurve im $ℝ^{2}$ für eine Kurve $γ : [a, b] \to ℝ^{2}$ mit Tangentialvektor $γ^{'} : [a, b] \to ℝ^{2}$
Abrollkurven Fahrradreflektoren als Beispiel für Kurven - Zykloide
Abrollkurve für Beispiel 2

Siehe auch

Literatur

Ethan D. Bloch: A First Course in Geometric Topology and Differential Geometry. Birkhäuser, Boston 1997.
Wilhelm Klingenberg: A Course in Differential Geometry. Springer, New York 1978.

Einzelnachweise

↑ H. Neunzert, W.G. Eschmann, A. Blickensdörfer-Ehlers, K. Schelkes: Analysis 2: Mit einer Einführung in die Vektor- und Matrizenrechnung. Ein Lehr- und Arbeitsbuch. 2. Auflage. Springer, 2013, lSBN 978-3-642-97840-1, 23.5
↑ H. Wörle, H.-J. Rumpf, J. Erven: Taschenbuch der Mathematik. 12. Auflage. Walter de Gruyter, 1994, lSBN 978-3-486-78544-9

Weblinks

Vorlage:Commonscat Vorlage:Wiktionary

Seiteninformation

Diese Lernresource können Sie als Wiki2Reveal-Foliensatz darstellen.

Wiki2Reveal

Dieser Wiki2Reveal Foliensatz wurde für den Lerneinheit Kurs:Funktionentheorie' erstellt der Link für die Wiki2Reveal-Folien wurde mit dem Wiki2Reveal-Linkgenerator erstellt.

Die Seite wurde als Dokumententyp PanDocElectron-SLIDE erstellt.
Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Kurven
siehe auch weitere Informationen zu Wiki2Reveal und unter Wiki2Reveal-Linkgenerator.

Wikipedia2Wikiversity

Diese Seite wurde auf Basis der folgenden Wikipedia-Quelle erstellt:
- Kurve (Mathematik) https://de.wikipedia.org/wiki/Kurve%20(Mathematik)
Datum: 11.11.2018
Wikipedia2Wikiversity-Konverter: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity

en:Complex Analysis/Curves

[1] H. Neunzert, W.G. Eschmann, A. Blickensdörfer-Ehlers, K. Schelkes: Analysis 2: Mit einer Einführung in die Vektor- und Matrizenrechnung. Ein Lehr- und Arbeitsbuch. 2. Auflage. Springer, 2013, lSBN 978-3-642-97840-1, 23.5

[2] H. Wörle, H.-J. Rumpf, J. Erven: Taschenbuch der Mathematik. 12. Auflage. Walter de Gruyter, 1994, lSBN 978-3-486-78544-9

[1]

[2]

Kurs:Funktionentheorie/Kurven

Inhaltsverzeichnis

Einführung

Parameterdarstellungen

Erläuterungen

Beispiel 1 - Plot

Beispiel 1 - Kurve als Lösungsmenge einer Gleichung

Beispiel 1 - Berechnung der Lösungsmenge

Beispiele 2

Beispiele 3

Richtungssinn

Spur Kurve eines Weges

Unterschied - Graph und Kurve

Aufgabe - Plot Graph und Kurve

Animation der Spur

Kurven in Geogebra

Gleichungsdarstellungen

Funktionsgraphen

Geschlossene Kurven

Umlaufzahl in den komplexen Zahlen

Kurven als eigenständige Objekte

Historisches

Interaktives Darstellungen von Kurven in Geogebra

Siehe auch

Literatur

Einzelnachweise

Weblinks

Seiteninformation

Wiki2Reveal

Wikipedia2Wikiversity

Navigationsmenü

Kurs:Funktionentheorie/Kurven

Einführung

Parameterdarstellungen

Erläuterungen

Beispiel 1 - Plot

Beispiel 1 - Kurve als Lösungsmenge einer Gleichung

Beispiel 1 - Berechnung der Lösungsmenge

Beispiele 2

Beispiele 3

Richtungssinn

Spur Kurve eines Weges

Unterschied - Graph und Kurve

Aufgabe - Plot Graph und Kurve

Animation der Spur

Kurven in Geogebra

Gleichungsdarstellungen

Funktionsgraphen

Geschlossene Kurven

Umlaufzahl in den komplexen Zahlen

Kurven als eigenständige Objekte

Historisches

Interaktives Darstellungen von Kurven in Geogebra

Siehe auch

Literatur

Einzelnachweise

Weblinks

Seiteninformation

Wiki2Reveal

Wikipedia2Wikiversity

Navigationsmenü

Suche