Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg

Glatte Wege und Wegunterteilung

Die folgenden Definitionen wurden mit Kürzeln belegt und werden in Beweisen als Begründungen für Umformungen oder Folgerungen verwendet.

• (WG1) Definition (Weg glatt): Ein Weg $\gamma :[a,b]\to ℂ$ heißt glatt, wenn dieser stetig differenzierbar ist.
• (UT) Definition (Unterteilung): Sei $[a,b]$ ein Intervall, $n\in \mathbb{N}$ und $a=u_0<\dots <u_n=b$. $(u_0,\dots ,u_n)\in {ℝ}^{n+1}$ heißt dann Unterteilung von $[a,b]$.
• (WG2) Definition (Wegunterteilung): Sei $\gamma :[a,b]\to ℂ$ ein Weg in $U\subseteq ℂ$, $n\in \mathbb{N}$, $(u_0,\dots ,u_n)$ eine Unterteilung von $[a,b]$, ${\gamma }_k:[u_{k-1},u_k]\to ℂ$ für alle $k\in \{1,\dots ,n\}$ ein Weg in $U$. $({\gamma }_1,\dots ,{\gamma }_n)$ heißt Wegunterteilung von $\gamma$, wenn gilt ${\gamma }_1\left(a\right)=\gamma \left(a\right)$, ${\gamma }_n\left(b\right)=\gamma \left(b\right)$ und ${\mathrm{\forall }}_{k\in \{1,\dots ,n\}}{\mathrm{\forall }}_{t\in [u_{k-1},u_k)}:{\gamma }_k\left(t\right)=\gamma \left(t\right)\wedge {\gamma }_k\left(u_{k-1}\right)={\gamma }_{k-1}\left(u_k\right)$.
• (WG3) Definition (Weg stückweise glatt): Ein Weg $\gamma :[a,b]\to ℂ$ heißt stückweise glatt, wenn eine Wegunterteilung $({\gamma }_1,\dots {\gamma }_n)$ aus glatten Wegen ${\gamma }_k$ für alle $k\in \{1,\dots ,n\}$ existiert.

Integrationsweg

• (WG4) Definition (Wegintegral): Sei $f:U\to ℂ$ eine stetige Funktion und $\gamma :[a,b]\to U$ ein glatter Weg, dann ist das Wegintegral wie folgt definiert: $\underset{\gamma }{\int }f:=\underset{\gamma }{\int }f(z)dz:=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(\gamma (t))\cdot {\gamma }^{\prime }(t)dt$. Ist $\gamma$ nur stückweise glatt bzgl. einer Wegunterteilung $({\gamma }_1,\dots ,{\gamma }_n)$, dann definiert man $\underset{\gamma }{\int }f(z)dz:=\sum _{k=1}^n\underset{{\gamma }_k}{\int }f(z)dz$.
• Definition (Integrationsweg): Ein Integrationsweg ist ein stückweise glatter (stückweise stetig differenzierbarer) Weg.

Beispiel

Integrationsweg auf dem Dreiecksrand

Der folgende Weg ist stückweise stetig differenzierbar (glatt) und für die Ecken $z_1,z_2,z_3\in \text{Spur}(\gamma )$ ist der geschlossene Dreiecksweg $\gamma :[0,3]\to ℂ$ nicht differenzierbar. Der Dreiecksweg ist auf dem Intervall $[0,3]$ wie folgt definiert:

$\gamma (t):=⟨z_1,z_2,z_3⟩(t):=\{\begin{array}{cc}(1-t)\cdot z_1+t\cdot z_2& \text{für }t\in [0,1]\\ (2-t)\cdot z_2+(t-1)\cdot z_3& \text{für }t\in (1,2]\\ (3-t)\cdot z_3+(t-2)\cdot z_1& \text{für }t\in (2,3]\end{array}$

Wege aus Konvexkombinationen

Der stückweise stetig differenzierbare Weg ist aus Konvexkombinationen entstanden. Die Teilwege

• ${\gamma }_1:=⟨z_1,z_2⟩$ mit ${\gamma }_1:[0,1]\to ℂ,(1-t)\cdot z_1+t\cdot z_2$
• ${\gamma }_2:=⟨z_2,z_3⟩$ mit ${\gamma }_2:[1,2]\to ℂ,(2-t)\cdot z_2+(t-1)\cdot z_3$
• ${\gamma }_3:=⟨z_3,z_1⟩$ mit ${\gamma }_3:[2,3]\to ℂ,(3-t)\cdot z_3+(t-2)\cdot z_1$

sind stetig differenzierbar.

Siehe auch

• Lemma von Goursat
• Konvexkombination
• Konvexkombination und Interpolation auf Dreiecken in der Ebene

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