Kurs:Funktionentheorie/Beispielrechnung mit Laurentreihen

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In dieser Lernresource werden gebrochen rationale Funktionen in Laurent-Reihen entwickelt, um das Residuum ablesen zu können.

Von einer gebrochen rationalen Funktion zur Laurent-Reihe

Gegeben ist zunächst eine einfache gebrochen-rationale Funktion der Form:

  • f:G→ℂ mit
  • G:=ℂ∖{−a},a∈ℂ
  • f(z):=1a+z

Ziel ist die Entwicklung in eine Laurent-Reihe mit Entwicklungspunkt zo∈ℂ.

Definition von Konstanten

Wir definieren folgende weitere Konstanten, die für die bessere Sichtbarkeit der Operationen verwendet werden.

  • b:=−a
  • c:=b−zo=−a−zo
  • cn:=1(b−zo)n+1=1(−zo−a)n+1
  • q:=z−z0c

Umformung in eine Laurent-Reihe

Sei zo=−a, dann gilt:

f(z)=1a+z=−1b−z  (b:=−a)=−1b−zo+zo⏟=0−z=−1(b−zo)−(z−zo)=−1(b−zo⏟=c)−(z−zo)=−1c−(z−zo)=−1c⋅11−z−zoc=−1c⋅11−z−zoc⏟:=q=−1c⋅11−q=−1c⋅∑n=0+∞qn=−∑n=0+∞(z−zo)nc(n+1)=−∑n=0+∞(z−zo)n(zo−a)n+1=−∑n=0+∞1(−zo−a)n+1⏟cn:=⋅(z−zo)n=−∑n=0+∞cn⋅(z−zo)n

Das Residuum resz0(f)=0, da bei der Laurent-Entwicklung im Hauptteil nur die Koeffizienten 0 auftreten (d.h. der Hauptteil verschwindet).

Aufgaben

  • Warum benötigt man für die obige Berechnungen der Larent-Reihe (bzw. Potenzreihe) die Voraussetzung zo=−a?
  • Berechnen Sie die Laurentreihe für zo=−a und geben Sie das Residuum der Laurententwicklung für f(z):=1a+z in zo=−a an!

Faktorisierte Potenzen mit Entwicklungspunkt im Nenner

Definition der Funktion g

Gegeben ist zunächst eine einfache gebrochen-rationale Funktion der Form:

  • g:G→ℂ mit
  • G:=ℂ∖{−a},a∈ℂ
  • g(z):=1(z−zo)m⋅(a+z)

Ziel ist die Entwicklung in eine Laurent-Reihe mit Entwicklungspunkt zo∈ℂ∖{−a}.

Definition von Konstanten

Wir definieren folgende weitere Konstanten, die für die bessere Sichtbarkeit der Operationen verwendet werden.

  • c:=zo−a
  • cn:=1(b+zo)n+1=1(zo−a)n+1
  • q:=z−zoc=z−zozo−a

Umformung in eine Laurent-Reihe

g(z)=1(z−zo)m⋅(a+z)=1(z−zo)m⋅1a+z  (c:=zo−a)=−1(z−zo)m⋅1zo−a⋅11−z−zozo−a=−1(z−zo)m⋅1c⋅11−q=−1(z−zo)m⋅1c⋅∑n=0+∞qn=−∑n=0+∞(z−zo)ncn+1=−1(z−zo)m⋅∑n=0+∞(z−zo)n(zo−a)n+1=−1(z−zo)m⋅∑n=0+∞1(zo−a)n+1⏟cn:=⋅(z−zo)n=−1(z−zo)m⋅∑n=0+∞cn⋅(z−zo)n=−∑n=−m+∞cn+m⋅(z−zo)n

Das Residuum resz0(g)=c−1+m=1(b−zo)−1+m+1=1(b−zo)m=1(−zo−a)m.

Laurent-Reihe mit unendlich vielen Summanden im Hauptteil

Gegeben ist zunächst eine einfache gebrochen-rationale Funktion der Form:

  • h:G→ℂ mit
  • G:=ℂ∖{−a},a∈ℂ∖{−a}
  • h(z):=(z−z0)mz+a

Ziel ist die Entwicklung in eine Laurent-Reihe mit Entwicklungspunkt zo∈ℂ∖{−a}.

Definition von Konstanten

Wir definieren folgende weitere Konstanten, die für die bessere Sichtbarkeit der Operationen verwendet werden.

  • b:=−z0−a
  • cn:=bn
  • q:=bz−zo=−z0+az−zo

Umformung in eine Laurent-Reihe mit m=1

h(z)=z−z0z+a=z−z0z−zo+zo⏟=0+a=z−z0(z−zo)−(−zo−a)⏟=b=z−z0(z−zo)−b=11−bz−z0=11−bz−zo⏟:=q=∑n=0+∞qn=∑n=0+∞bn(z−zo)n=∑n=0+∞bn⋅(z−zo)−n=∑n=−∞0c−n⋅(z−zo)n

Das Residuum resz0(h)=c1=b1=−zo−a.

Umformung in eine Laurent-Reihe mit m>1

h(z)=(z−z0)mz+a=(z−z0)mz−zo+zo⏟=0+a=(z−z0)m(z−zo)−(−zo−a)⏟=b=(z−z0)m(z−zo)−b=(z−z0)m−11−bz−z0=(z−z0)m−11−bz−zo⏟:=q=(z−z0)m−1⋅∑n=0+∞qn=(z−z0)m−1⋅∑n=0+∞bn(z−zo)n=(z−z0)m−1⋅∑n=0+∞bn⋅(z−zo)−n=(z−z0)m−1⋅∑n=−∞0c−n⋅(z−zo)n=∑n=−∞0c−n⋅(z−zo)n+m−1=∑n=−∞m−1cm−1−n⋅(z−zo)n

Als Residuum für n=−1 erhält man resz0(h)=cm−1−(−1)=cm=bm=(−zo−a)m

Siehe auch

en:Complex Analysis/Example Computation with Laurent Series

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