Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen

Einleitung

Diese Seite zum Thema Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen kann als Wiki2Reveal Folien angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt:

• (1) $f(z)=\frac{1}{z}$ lokal in Potenzreihen entwickeln,
• (2) Konvergenzradius bestimmen über die Darstellung über eine geometrischen Reihe.

Zielsetzung

Diese Lernressource behandelt Beispiele für Potenzreihenentwicklungen hat das Ziel, Werkzeuge aus der Analysis und Reihenentwicklung auf Potenzreihen zu übertragen. In der Funktionentheorie spielt die Funktion $f(z)=\frac{1}{z}=z^{-1}$ bzw. der Koeffizient $(z-z_o{)}^{-1}$ in der Laurent-Reihe eine besondere Rolle (siehe Residuum). Auf $ℂ/\{0\}$ ist $f$ holomorph und damit lokal in Potenzreihen entwickelbar. In dieser Lerneinheit wird diese lokale Entwicklung in Potenzreihen über geometrische Reihen behandelt. Ferner wird über die Darstellung deutlich, dass der Konvergenzradius der Potenzreihe der Abstand zwischen dem Entwicklungspunkt $z_o=0$ und der Singularität 0 ist.

Geometrische Reihe

Die Reihe

$f(z):=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{z}^n=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(z-0{)}^n$ ist ein Potenzreihe mit Entwicklungspunkt 0 und zusätzlich eine geometrische Reihe mit dem Grenzwert $\frac{1}{1-z}$. Daher stellt die Potenzreihe $f(z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{z}^n=\frac{1}{1-z}$ eine Potenzreihenentwicklung von $f(z)=\frac{1}{1-z}$ mit Entwicklungspunkt 0 dar, falls $|z|<1$.

Aufgaben für Studierende

Bestimmen Sie für das obige Beispiele der Potenzreihenentwicklungen von $f(z)=\frac{1}{1-z}$ mit Entwicklungspunkt $z_o=i$ die ersten 3 Koeffizienten der Taylorreihenentwicklung über $a_n:=\frac{f^{(n)}(i)}{n!}$.

Beispiel

In dem folgenden Beispiel wird $f(z)=\frac{1}{z}$ in eine Potenzreihenentwicklung mit Entwicklungspunkt $z_o=i$ transformiert. Auch wird die geometrische Reihe verwendet, um nicht alle Koeffizenten der Taylorentwicklung jeweils einzeln über $f^{(n)}(i)$ berechnen zu müssen.

Umformung in Potenzreihe

$\begin{array}{ccc}\frac{1}{z}& =& -\frac{1}{-z}=-\frac{1}{(i-i)-z}=-\frac{1}{-i-z+i}\\ & =& -\frac{1}{-i-(z-i)}=-\frac{1}{-i\cdot (1-\frac{z-i}{-i})}\\ & =& -\underset{=i}{\underbrace{\frac{1}{-i}}}\cdot \frac{1}{(1-\frac{z-i}{-i})}=-i\cdot \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{z-i}{-i}\right)}^n\\ & =& -i\cdot \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\underset{=i}{\underbrace{\left(\frac{1}{-i}\right)}}}^n\cdot (z-i{)}^n=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\underset{=a_n}{\underbrace{-i^{n+1}}}\cdot (z-i{)}^n\end{array}$

Konvergenzradius

Die Reihe konvergiert für alle $z\in ℂ$ mit $|z-i|<1$ mit $|a_n|=1$. Dieses Vorgehen für $i$ wird im Folgenden für einen beliebigen Entwicklungspunkt $z_o=0$ verallgemeinert.

Aufgabe

Verallgemeinern Sie das obige Beispiel für eine lokale Taylorreihenentwicklung von $f(z)=\frac{1}{z}$ um einen beliebigen Punkt $z_o\in ℂ$ mit $z_o=0$. Geben Sie dazu auch den jeweilgen Konvergenzradius der Kreischeibe an, auf der die Potenzreihe konvergiert.

Entwicklung in Potenzreihe

Nun wird ein beliebiger Entwicklungspunkt $z_o=0$ aus der komplexen Zahlenebene für die Darstellung von

$f(z)=\frac{1}{z}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n\cdot (z-z_o{)}^n$

in eine Potenzreihenentwicklung gewählt. Die Koeffizienten $a_n\in ℂ$ werden über geometrische Reihe berechnet.

Schritt 1 - geometrische Reihe

Der Grenzwert einer geometrischen Reihe lautet:

$\frac{1}{1-q}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{q}^n$

mit $q\in ℂ$ und $|q|<1$. Diese Reihendarstellung wird im Folgenden verwendet, um die Potenzreihe durch eine Umformung des Funktionsterms $f(z)=\frac{1}{z}$ in die Form $\frac{1}{1-q}$ zu erhalten.

Schritt 2 - Konvergenzradius

Nun wird der Term $f(z)=\frac{1}{z}$ in einen Ausdruck der Form

$f(z)=\frac{1}{z}=a\cdot \frac{1}{1-q}$

umgeformt, wobei $q:=\frac{z-z_o}{b}$ als Quotient die Eigenschaft $|q|<1$ bzw. $|z-z_o|<|b|$ für die Konvergenz der geometrischen Reihe als Eigenschaft erfüllen muss.

Schritt 3 - Vorzeichen von z

Das Vorzeichen von $z$ muss wegen der $\frac{1}{1-q}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{q}^n$ negativ sein, da $q=\frac{z-z_o}{b}$ mit $b\in ℂ\setminus \{0\}$ gilt. Daher formt man $f(z)$ wie folgt um:

$f(z)=\frac{1}{z}=-\frac{1}{-z}$

Schritt 4 - Ergänzung der 0

Für die Potenzreihe benötigt man den Term $z-z_o$ für einen beliebigen Entwicklungspunkt $z_o=0$. Daher ergänzt man im Nenner die $0=z_o-z_o$.

$f(z)=\frac{1}{z}=-\frac{1}{-z}=-\frac{1}{(z_o-z_o)-z}=-\frac{1}{-z_o-(z-z_o)}$

Schritt 5 - Transformation Nenner in Grenzwert geometrischer Reihe

Für die Transformation des Nenners in der Grenzwert einer geometrischen Reihe $\frac{1}{1-q}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{q}^n$ ist es notwendig, den Faktor $-z_o$ im Nenner auszuklammern. Damit erhält man:

$\begin{array}{ccc}f(z)& =& -\frac{1}{-z_o-(z-z_o)}=-\frac{1}{(-z_o)\cdot (1-\left(\frac{z-z_o}{-z_o}\right))}\\ & =& \frac{1}{z_o}\cdot \frac{1}{1-\underset{=q}{\underbrace{\frac{z-z_o}{-z_o}}}}\end{array}$

Schritt 6 - Darstellung als geometrische Reihe

Nun kann man den rechten Faktor $\frac{1}{1-q}$ als eine geometrische Reihe darstellen:

$f(z)=\frac{1}{z}=\frac{1}{z_o}\cdot \frac{1}{1-\underset{=q}{\underbrace{\frac{z-z_o}{-z_o}}}}=\frac{1}{z_o}\cdot \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{q}^n$

Schritt 7 - Darstellung als geometrische Reihe

Die geometrische Reihe

$f(z)=\frac{1}{z}=\frac{1}{z_o}\cdot \frac{1}{1-\underset{=q}{\underbrace{\frac{z-z_o}{-z_o}}}}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\underset{=a_n}{\underbrace{\frac{(-1{)}^n}{z_o^{n+1}}}}\cdot (z-z_o{)}^n$

wobei $|q|:=\left|\frac{z-z_o}{-z_o}\right|<1$ bzw. $|z-z_o|<|-z_o|=|z_o|$ gilt. Dabei ist der Konvergenzradius der Abstand von $z_o=0$ zur Singularität 0 von $f(z)$.

Bemerkung - Taylorreihe

Alternativ zu dem oben angegebenen Vorgehen kann man die Koeffizienten $a_n$ auch über die Taylorreihenkoeffizienten mit $a_n=\frac{f^{(n)}(z_o)}{n!}$ berechnen.

Siehe auch

• Residuum
• Taylorreihe
• Open Educational Resources
• Wiki2Reveal

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