Kurs:Funktionentheorie/Übungen/1. Blatt

1. Übungsblatt - Funktionentheorie

1. Aufgabe (Körperstruktur der komplexen Zahlen)

Wir definieren auf $ℂ:={ℝ}^2=\{\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right);a,b\in ℝ\}$ die folgenden Verknüpfungen $\oplus$ und $\odot$.

Definition: Für $\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}c\\ d\end{array}\right)\in ℂ$ seien:
$\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)\oplus \left(\begin{array}{c}c\\ d\end{array}\right):=\left(\begin{array}{c}a+c\\ b+d\end{array}\right)\in ℂ$ und $\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)\odot \left(\begin{array}{c}c\\ d\end{array}\right):=\left(\begin{array}{c}ac-bd\\ ad+bc\end{array}\right)\in ℂ$

1. Zeigen Sie, dass $(ℂ,\oplus ,\odot )$ ein Körper ist, heißt:

   1. $\oplus$ ist kommutativ und assoziativ und hat ein neutrales Element $0\in ℂ$. Außerdem ist jedes Element aus $ℂ$ invertierbar bezüglich $\oplus$.

   2. $\odot$ ist kommutativ und assoziativ und hat eine neutrales Element $1\in ℂ$. Außerdem ist jedes Element aus $ℂ\setminus \{0\}$ invertierbar bezüglich $\odot$.

   3. Für $\oplus$ und $\odot$ gilt das Distributivgesetz.

   Aus Ihrem Beweis sollte hervorgehen, was $0$ und $1$ sind und was zu $\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)\in ℂ$ das Inverse bezüglich $\oplus$ bzw. (im Fall $\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)\ne 0$) das Inverse bezüglich $\odot$ ist.

2. Zeigen Sie, dass die Abbildung $\varphi :ℝ\to ℂ,\varphi (a)=\left(\begin{array}{c}a\\ 0\end{array}\right)$ ein injektiver Körperhomomorphismus ist, da heißt $\varphi$ ist injektiv und es gilt:
   $\varphi (a+b)=\varphi (a)+\varphi (b)$ und $\varphi (a\cdot b)=\varphi (a)\cdot \varphi (b)\text{für alle }a,b\in ℝ$
   

2. Aufgabe (Rechnen im Komplexen)

Wir schreiben nun $+$ und $\cdot$ für die Verknüpfungen $\oplus$ und $\odot$ auf $ℂ$ aus Aufgabe 1. Außerdem schreiben wir für $a\in ℝ$ einfach $a$ anstatt $\varphi (a)=\left(\begin{array}{c}a\\ 0\end{array}\right)$. (Mit dieser Schreibweise gilt $ℝ\subset ℂ$.) Weiterhin sei $i:=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)\in ℂ$.

1. Zeigen Sie, dass für alle $a,b\in ℝ$ gilt: $a+ib=\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)$
2. Zeigen Sie, dass $i^2=-1$ gilt.
3. Berechnen Sie: $(2+3i)-(-8+4i),(-6+5i)\cdot (3-i),\frac{1}{5+12i},\frac{1+i}{1-i},\frac{2-3i}{4+i}$
4. Bestimmen Sie alle $x\in ℂ$ für die folgenden Gleichungen:
   1. $x^2=1$.
   2. $x^2=-1$.
   3. $x^4=1$.

3. Aufgabe(Real- und Imaginärteil, komplex Konjugiertes und Betrag im Komplexen)

Zeigen Sie:

1. Für alle $x,y\in ℂ$ gilt $\text{Re}(x+y)=\text{Re}(x)+\text{Re}(y)$ und $\text{Im}(x+y)=\text{Im}(x)+\text{Im}(y)$
2. Für alle $x\in ℂ$ gilt $\text{Re}(x)=\frac{x+\overline{x}}{2}$ und $\text{Im}(x)=\frac{x-\overline{x}}{2i}$
3. Für alle $x\in ℂ$ gilt $x\cdot \overline{x}=|x{|}^2$ und (im Fall $x\ne 0$) $\frac{1}{x}=\frac{\overline{x}}{|x{|}^2}$
4. Für alle $x,y\in ℂ$ gilt $|x\cdot y|=|x|\cdot |y|$ und (im Fall $y\ne 0$) $|\frac{x}{y}|=\frac{|x|}{|y|}$
5. Für alle $x,y\in ℂ$ gilt $|x+y|\ge |x|+|y|$