Kurs:Analysis IV/Kapitel IV: Verallgemeinerte analytische Funktionen

§1 Die Cauchy-Riemannsche Differentialgleichung

Definition 1

Auf der offenen Menge $\mathrm{\Omega }\subset ℂ$ sei die Funktion $f=f(z):\mathrm{\Omega }\to ℂ$ erklärt und $z_0\in \mathrm{\Omega }$ sei ein beliebiger Punkt. Dann heißt $f$ komplex differenzierbar im Punkt $z_0$, wenn der Grenzwert

$\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{z\to z_0}{z\ne z_0}}{\lim }\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}=:f^{\prime }(z_0)$

existiert. Wir nennen $f^{\prime }(z_0)$ die komplexe Ableitung der Funktion $f$ an der Stelle $z_0$. Falls $f^{\prime }(z)$ für alle $z\in \mathrm{\Omega }$ existiert und die Funktion $f^{\prime }:\mathrm{\Omega }\to ℂ$ stetig ist, nennen wir $f$ holomorph in $\mathrm{\Omega }$.

§2 Holomorphe Funktionen im ${ℂ}^n$

Satz 1 (Cauchy, Riemann)

Seien $\mathrm{\Omega }\subset ℂ$ ein einfach zusammenhängendes Gebiet und $f\in C^1(\mathrm{\Omega },ℂ)$

(a) $f$ ist in $\mathrm{\Omega }$ holomorph;

(b) Realteil und Imaginärteil von $f(x,y)=u(x,y)+iv(x,y)$ erfüllen das Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungssystem

(1) $\frac{\partial u(x,y)}{\partial x}=\frac{\partial v(x,y)}{\partial y},\frac{\partial u(x,y)}{\partial y}=-\frac{\partial v(x,y)}{\partial x}$ in $\mathrm{\Omega }$;

(c) Für jede geschlossene Kurve $X\in 𝒞(\mathrm{\Omega },P,P)$ mit $P\in \mathrm{\Omega }$ gilt

$\underset{X}{\int }f(z)dz=0;$

(d) es gibt eine holomorphe Funktion $F:\mathrm{\Omega }\to ℂ$ mit

$F^{\prime }(z)=f(z),z\in \mathrm{\Omega },$

also eine Stammfunktion $F$ von $f$.

Beweis

1. Die Äquivalenz $(a)\iff (b)$ wurde bereits in §1 gezeigt.

2. Wir zeigen $(b)\iff (c)$. Offenbar ist

$\underset{X}{\int }f(z)dz=0$ für alle $X\in 𝒞(\mathrm{\Omega })$

genau dann erfüllt, wenn gilt

$\underset{X}{\int }{\omega }_1=0,\underset{X}{\int }{\omega }_2=0$ für alle $X\in 𝒞(\mathrm{\Omega })$.

Dies ist wiederum äquivalent zu

$d{\omega }_1=0,d{\omega }_2=0$ in $\mathrm{\Omega }$

bzw. zu (1).