Kurs:Analysis III/Kapitel V: Potenzialtheorie und Kugelfunktionen

§1 Die Poissonsche Differentialgleichung

Definition 1

Mit

$\mathrm{\Gamma }(z):=\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{t}^{z-1}{e}^{-t}dt,z\in ℂ$ mit $\mathrm{Re}z>0$

bezeichnen wir die Gammafunktion.

Definition 2

Sei $\mathrm{\Omega }\subset {ℝ}^n,n\ge 2$ eine offene Menge, so nennen wir die Funktion $\phi =\phi (x)\in C^2(\mathrm{\Omega },ℝ)$ harmonisch in $\mathrm{\Omega }$, falls sie der Laplaceschen Differentialgleichung

(1) $\mathrm{\Delta }\phi (x)={\phi }_{x_1{x}_1}(x)+\dots +{\phi }_{x_n{x}_n}(x)=0$ für alle $x\in \mathrm{\Omega }$

genügt.

Definition 3

Ein Gebiet $G\subset {ℝ}^n$, das den Voraussetzungen des Gaußschen Satzes aus Kapitel I, §5 genügt, nennen wir ein Normalgebiet im ${ℝ}^n$.

Definition 4

Sei $G\subset {ℝ}^n$ ein Normalgebiet. Wir erklären die Funktion

(2) $\phi (y;x):=\frac{1}{2\pi }\log |y-x|+\psi (y;x),x,y\in G$ mit $x\ne y,n=2$

bzw.

(3) $\phi (y;x):=\frac{1}{(2-n){\omega }_n}|y-x{|}^{2-n}+\psi (y;x),x,y\in G$ mit $x\ne y,n\ge 3$.

Hierbei ist für jedes feste $x\in G$ die Funktion $\psi (\cdot ;x)$ mit $y\mapsto \psi (y;x)$ harmonisch in $G$ sowie aus der Klasse $C^1(\bar{G})$ und es ist $\psi \in C^0(\bar{G}\times \bar{G})$. Dann nennen wir $\phi (y;x)$ eine Grundlösung der Laplacegleichung in $G$.

Definition 5

Eine Funktion $\phi =\phi (x_1,\dots ,x_n):\mathrm{\Omega }\to ℝ$ auf der offenen Menge $\mathrm{\Omega }\subset {ℝ}^n$ nennen wir reell analytisch in $\mathrm{\Omega }$, wenn es für jeden Punkt $\stackrel{\circ }{x}=({\stackrel{\circ }{x}}_1,\dots ,{\stackrel{\circ }{x}}_n)\in \mathrm{\Omega }$ eine für hinreichend kleines $\epsilon =\epsilon \left(\stackrel{\circ }{x}\right)>0$ konvergente Potenzreihe

$𝒫(z_1,\dots ,z_n)=\sum _{k_1,\dots ,k_n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_{k_1\dots k_n}{z}_1^{k_1}\cdot \dots \cdot z_n^{k_n}$ für $z_j\in ℂ$ mit $|z_j|\le \epsilon ,j=1,\dots ,n$

mit den reellen Koeffizienten $a_{k_1\dots k_n}\in ℝ$ für $k_1,\dots ,k_n=0,1,2,\dots$ so gibt, dass

$\phi (x_1,\dots ,x_n)=𝒫(x_1-{\stackrel{\circ }{x}}_1,\dots ,x_n-{\stackrel{\circ }{x}}_n),|x_j-{\stackrel{\circ }{x}}_j|\le \epsilon ,j=1,\dots ,n$

erfüllt ist.

Satz 1 (Analytizitätstheorem für die Poissongleichung)

In der offenen Menge $\mathrm{\Omega }\subset {ℝ}^n,n\ge 2$ sei die reell analytische Funktion $f=f(x_1,\dots ,x_n):\mathrm{\Omega }\to ℝ$ gegeben. Ferner sei $u=u(x_1,\dots ,x_n)\in C^2(\mathrm{\Omega })$ eine Lösung der Poissonschen Differentialgleichung

$\mathrm{\Delta }u(x_1,\dots ,x_n)=f(x_1,\dots ,x_n),(x_1,\dots ,x_n)\in \mathrm{\Omega }.$

Dann ist $u(x)$ reell analytisch in $\mathrm{\Omega }$.

Beweis

Sei $\stackrel{\circ }{x}\in \mathrm{\Omega }$ und $B_R\left(\stackrel{\circ }{x}\right)\subset \subset \mathrm{\Omega }$, so stellen wir die Lösung $u$ durch die Grundlösung $\phi$ dar als

$u(x)=\underset{\partial B_R\left(\stackrel{\circ }{x}\right)}{\int }(u(y)\frac{\partial \phi }{\partial \nu }(y;x)-\phi (y;x)\frac{\partial u}{\partial \nu }(y))d\sigma (y)+\underset{B_R\left(\stackrel{\circ }{x}\right)}{\int }\phi (y;x)f(y)dy$

mit $x\in B_R\left(\stackrel{\circ }{x}\right)$. Nun stellt das erste Integral auf der rechten Seite eine um den Punkt $\stackrel{\circ }{x}$ reell analytische Funktion dar. Es wurde gezeigt, dass auch das zweite Integral eine um den Punkt $\stackrel{\circ }{x}$ reell analytische Funktion liefert.

q.e.d.

§2 Die Poissonsche Integralformel mit ihren Folgerungen

Definition 1

In einem Normalgebiet $G\subset {ℝ}^n$ sei eine Grundlösung $\phi =\phi (y;x)$ gegeben. Diese nennen wir Greensche Funktion für das Gebiet $G$, falls für alle $x\in G$ die Randbedingung

(1) $\phi (y;x)=0$ für alle $y\in \partial G$

erfüllt ist.

Satz 1 (Poissonsche Integralformel)

In der Kugel $B_R:=\{y\in {ℝ}^n:|y|<R\}$ vom Radius $R\in (0,+\mathrm{\infty })$ im ${ℝ}^n,n\ge 2$ löse die Funktion $u=u(x)=u(x_1,\dots ,x_n)\in C^2(B_R)\cap C^0({\bar{B}}_R)$ die Poissonsche Differentialgleichung

$\mathrm{\Delta }u(x)=f(x),x\in B_R$

mit der rechten Seite $f=f(x)\in C^0({\bar{B}}_R)$. Dann gilt für alle $x\in B_R$ die Poissonsche Integraldarstellung

(2) $u(x)=\frac{1}{R{\omega }_n}\underset{|y|=R}{\int }\frac{|y{|}^2-|x{|}^2}{|y-x{|}^n}u(y)d\sigma (y)+\underset{|y|\le R}{\int }\phi (y;x)f(y)dy.$

Dabei ist $\phi =\phi (y;x)$ die Greensche Funktion

$\phi (y;x)=\frac{1}{2\pi }\log \left|\frac{R(y-x)}{R^2-\bar{x}y}\right|.$

Beweis

1. Wir setzen zunächst $u\in C^2({\bar{B}}_R)$ voraus. Dann gilt die Identität

$u(x)=\underset{|y|=R}{\int }u(y)\frac{\partial \phi }{\partial \nu }(y;x)d\sigma (y)+\underset{|y|\le R}{\int }\phi (y;x)f(y)dy,x\in B_R.$

Wir beschränken uns zunächst auf den Fall $n\ge 3$. Dann haben wir als Greensche Funktion

$\phi (y;x)=\frac{1}{(2-n){\omega }_n}(|y-x{|}^{2-n}-K|y-\lambda x{|}^{2-n}),y\in {\bar{B}}_R,x\in B_R$ mit $\lambda :={\left(\frac{R}{|x|}\right)}^2$ und $K={\left(\frac{R}{|x|}\right)}^{n-2}={\lambda }^{\frac{n-2}{2}}$.

Ist nun $x\in B_R$ fest und $y\in \partial B_R$ beliebig, so berechnen wir

$\frac{\partial }{\partial \nu }\phi (y;x)=\frac{y}{R}\cdot {\mathrm{\nabla }}_y\phi (y;x)=\frac{1}{R{\omega }_n}y\cdot (|y-x{|}^{1-n}\frac{y-x}{|y-x|}-K|y-\lambda x{|}^{1-n}\frac{y-\lambda x}{|y-\lambda x|})$

$=\frac{1}{R{\omega }_n}y\cdot (\frac{y-x}{|y-x{|}^n}-K\frac{y-\lambda x}{|y-\lambda x{|}^n}).$

Diese Formel bleibt auch für $n=2$ richtig, wobei dann $K=1$ erfüllt ist. Wir beachten noch

$|y-\lambda x{|}^2=R^2-2\lambda (x\cdot y)+{\lambda }^2|x{|}^2=R^2-2\frac{R^2}{|x{|}^2}(x\cdot y)+\frac{R^4}{|x{|}^2}$

$=\frac{R^2}{|x{|}^2}(|x{|}^2-2(x\cdot y)+R^2)=\lambda |y-x{|}^2$

bzw.

$|y-\lambda x{|}^n={\lambda }^{\frac{n}{2}}|y-x{|}^n.$

Es folgt schließlich

$\frac{\partial }{\partial \nu }\phi (y;x)=\frac{1}{R{\omega }_n|y-x{|}^n}y\cdot (x-y-K{\lambda }^{-\frac{n}{2}}(y-\lambda x))$

$=\frac{1}{R{\omega }_n|y-x{|}^n}y\cdot ((1-K{\lambda }^{-\frac{n}{2}})y-(1-K{\lambda }^{\frac{-n+2}{2}})x)$

$=\frac{|y{|}^2}{R{\omega }_n|y-x{|}^n}(1-\frac{1}{\lambda })=\frac{|y{|}^2}{R{\omega }_n|y-x{|}^n}(1-\frac{|x{|}^2}{R^2})$

$=\frac{|y{|}^2-|x{|}^2}{R{\omega }_n|y-x{|}^n}$ für alle $y\in \partial B_R$ und $x\in B_R$.

Wir erhalten somit die Poissonsche Integraldarstellung

$u(x)=\frac{1}{R{\omega }_n}\underset{|y|=R}{\int }\frac{|y{|}^2-|x{|}^2}{|y-x{|}^n}u(y)d\sigma (y)+\underset{|y|\le R}{\int }\phi (y;x)f(y)dy,x\in B_R.$

2. Ist nun $u\in C^2(B_R)\cap C^0({\bar{B}}_R)$, so gilt nach Teil 1 des Beweises für alle $\varrho \in (0,R)$ die Identität

$u(x)=\frac{1}{\varrho {\omega }_n}\underset{|y|=\varrho }{\int }\frac{|y{|}^2-|x{|}^2}{|y-x{|}^n}u(y)d\sigma (y)+\underset{|y|\le \varrho }{\int }\phi (y;x,\varrho )f(y)dy,$

wobei $\phi (y;x,\varrho )$ die Greensche Funktion für $B_{\varrho }$ bezeichnet. Für $\varrho \to R$ erhalten wir dann

$u(x)=\frac{1}{R{\omega }_n}\underset{|y|=R}{\int }\frac{|y{|}^2-|x{|}^2}{|y-x{|}^n}u(y)d\sigma (y)+\underset{|y|\le R}{\int }\phi (y;x,R)f(y)dy$

für alle $x\in B_R$.

q.e.d.

Satz 2 (Harnacksche Ungleichung)

Die Funktion $u(x)\in C^2(B_R)$ sei in der Kugel $B_R=\{y\in {ℝ}^n:|y|<R\}$ mit $R\in (0,+\mathrm{\infty })$ harmonisch und es gelte $u(x)\ge 0$ für alle $x\in B_R$. Dann folgt

(3) $\frac{1-\frac{|x|}{R}}{{(1+\frac{|x|}{R})}^{n-1}}u(0)\le u(x)\le \frac{1+\frac{|x|}{R}}{{(1-\frac{|x|}{R})}^{n-1}}u(0)$ für alle $x\in B_R$.

Beweis

Wir nehmen zunächst $u\in C^2({\bar{B}}_R)$ an und können dann durch Grenzübergang die Ungleichung auch für Funktionen $u\in C^2(B_R)$ beweisen . Satz 1 entnehmen wir

$u(x)=\underset{|y|=R}{\int }P(x,y,R)u(y)d\sigma (y),x\in B_R.$

Für beliebige $y\in {ℝ}^n$ mit $|y|=R$ und $x\in B_R$ ist die folgende Ungleichung erfüllt:

$\frac{|y{|}^2-|x{|}^2}{(R+|x|{)}^n}\le \frac{|y{|}^2-|x{|}^2}{|y-x{|}^n}\le \frac{|y{|}^2-|x{|}^2}{(R-|x|{)}^n}.$

Multiplizieren wir diese Ungleichung mit $\frac{1}{R{\omega }_n}u(y)$ und integrieren anschließend über $\partial B_R$, so folgt

$\frac{1}{R{\omega }_n}\frac{R^2-|x{|}^2}{(R+|x|{)}^n}\underset{|y|=R}{\int }u(y)d\sigma (y)\le u(x)\le \frac{1}{R{\omega }_n}\frac{R^2-|x{|}^2}{(R-|x|{)}^n}\underset{|y|=R}{\int }u(y)d\sigma (y).$

Die Mittelwerteigenschaft harmonischer Funktionen ausnutzend erhalten wir nun

$R^{n-2}\frac{R^2-|x{|}^2}{(R+|x|{)}^n}u(0)\le u(x)\le R^{n-2}\frac{R^2-|x{|}^2}{(R-|x|{)}^n}u(0)$

bzw.

$\frac{1-\frac{|x{|}^2}{R^2}}{{(1+\frac{|x|}{R})}^n}u(0)\le u(x)\le \frac{1-\frac{|x{|}^2}{R^2}}{{(1-\frac{|x|}{R})}^n}u(0),x\in B_R$

Hieraus ergibt sich

$\frac{1-\frac{|x|}{R}}{{(1+\frac{|x|}{R})}^{n-1}}u(0)\le u(x)\le \frac{1+\frac{|x|}{R}}{{(1-\frac{|x|}{R})}^{n-1}}u(0),x\in B_R.$

q.e.d.

Satz 3 (Liouvillescher Satz für harmonische Funktionen)

Sei $u(x):{ℝ}^n\to ℝ$ eine harmonische Funktion, welche $u(x)\le M$ für alle $x\in {ℝ}^n$ mit einer Konstante $M\in ℝ$ erfüllt. Dann folgt $u(x)\equiv \mathrm{const},x\in {ℝ}^n$.

Beweis

Wir betrachten die harmonische Funktion $v(x):=M-u(x),x\in {ℝ}^n$ und stellen $v(x)\ge 0$ für alle $x\in {ℝ}^n$ fest. Die Harnacksche Ungleichung liefert somit

$\frac{1-\frac{|x|}{R}}{{(1+\frac{|x|}{R})}^{n-1}}v(0)\le v(x)\le \frac{1+\frac{|x|}{R}}{{(1-\frac{|x|}{R})}^{n-1}}v(0),x\in B_R,R>0.$

Für $R\to +\mathrm{\infty }$ erhalten wir $v(x)=v(0)$ für alle $x\in {ℝ}^n$ und damit $u(x)\equiv \mathrm{const},x\in {ℝ}^n$.

q.e.d.

Definition 2

Sei $G\subset {ℝ}^n$ ein Gebiet und $u=u(x)=u(x_1,\dots ,x_n):G\to ℝ\in C^0(G)$ eine stetige Funktion. Wir nennen $u$ schwach harmonisch (superharmonisch, subharmonisch), falls

$u(a)=(\ge ,\le )\frac{1}{r^{n-1}{\omega }_n}\underset{|x-a|=r}{\int }u(x)d\sigma (x)=\frac{1}{{\omega }_n}\underset{|\xi |=1}{\int }u(a+r\xi )d\sigma (\xi )$

für alle $a\in G$ und $r\in (0,\vartheta (a))$ mit einem gewissen $\vartheta (a)\in (0,\mathrm{dist}(a,{ℝ}^n\setminus G)]$ richtig ist.

Satz 4 (Maximums- und Minimumsprinzip)

Eine im Gebiet $G\subset {ℝ}^n$ superharmonische (subharmonische) Funktion $u=u(x):G\to ℝ$ nehme in einem Punkt $\stackrel{\circ }{x}\in G$ ihr globales Minimum (Maximum) an, d. h. es gilt

$u(x)\ge u(\stackrel{\circ }{x})(u(x)\le u(\stackrel{\circ }{x}))$ für alle $x\in G$.

Dann folgt

$u(x)\equiv \mathrm{const}$ in $G$.

Beweis

Da durch $u\to -u$ subharmonische Funktionen in superharmonische übergehen, ist die Aussage nur für superharmonische Funktionen zu zeigen. Nun nehme die superharmonische Funktion $u:G\to ℝ\in C^0(G)$ ihr globales Minimum in einem Punkt $\stackrel{\circ }{x}\in G$ an. Wir betrachten dann die nicht leere Menge

$G^{*}:=\{x\in G:u(x)=\underset{y\in G}{\inf }u(y)=u(\stackrel{\circ }{x})\},$

welche in $G$ abgeschlossen ist. Wir zeigen nun, dass $G^{*}$ auch offen ist. Ist nämlich $a\in G^{*}$ ein beliebiger Punkt, so haben wir

$\underset{y\in G}{\inf }u(y)=u(a)\ge \frac{1}{{\omega }_n}\underset{|\xi |=1}{\int }u(a+r\xi )d\sigma (\xi )$ für alle $r\in (0,\vartheta (a))$.

Somit folgt $u(x)=u(a)$ für alle $x\in {ℝ}^n$ mit $|x-a|<\vartheta (a)$. Folglich ist $G^{*}$ offen. Da nun $G$ ein Gebiet ist, sieht man durch Fortsetzung leicht $u(x)\equiv u(\stackrel{\circ }{x})$ für alle $x\in G$ ein, d. h. es gilt $u(x)\equiv \mathrm{const},x\in G$.

q.e.d.

§3 Das Dirichletproblem für die Laplacegleichung im ${ℝ}^n$

Satz 1 (Eindeutigkeitssatz)

Seien $u(x),v(x)$ zwei Lösungen des Dirichletproblems bei gegebenem $G$ und $f$. Dann folgt

$u(x)\equiv v(x)$ in $\bar{G}$.

Beweis

Die Funktion $w(x):=v(x)-u(x),x\in \bar{G}$ gehört zur Klasse $C^2(G)\cap C^0(\bar{G})$, ist insbesondere schwach harmonisch in $G$ und hat die Randwerte

$w(x)=u(x)-v(x)=f(x)-f(x)=0$ für alle $x\in \partial G$.

Es folgt $w(x)\equiv 0$ in $\bar{G}$ bzw.

$v(x)\equiv u(x),x\in \bar{G}.$

q.e.d.

Satz 2 (Regularitätssatz)

In einem Gebiet $G\subset {ℝ}^n$ sei die schwach harmonische Funktion $u=u(x):G\to ℝ\in C^0(G)$ gegeben. Dann ist $u$ reell analytisch in $G$ und genügt der Laplacegleichung $\mathrm{\Delta }u(x)=0$ für alle $x\in G$.

Beweis

Sei $a\in G$ beliebig gewählt, so betrachten wir zu geeignetem $R\in (0,+\mathrm{\infty })$ die Kugel $B_R(a)\subset \subset G$. In dieser Kugel lösen wir das Dirichletproblem

(1) $\begin{array}{c}v=v(x)\in C^2(B_R(a))\cap C^0(\overline{B_R(a)}),\\ \mathrm{\Delta }v(x)=0\mathrm{f}\ddot{\mathrm{u}}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{e}x\in B_R,\\ v(x)=u(x)\mathrm{f}\ddot{\mathrm{u}}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{e}x\in \partial B_R.\end{array}$

Es gilt nun $u(x)\equiv v(x)$ in $\overline{B_R(a)}$. Somit gilt $u\in C^2(G)$ und $\mathrm{\Delta }u(x)=0$ für alle $x\in G$. Nach §1, Satz 1 ist ferner $u$ reell analytisch in $G$.

Definition 1

Sei $G\subset {ℝ}^n$ ein beschränktes Gebiet und $u=u(x):G\to ℝ\in C^0(G)$ eine stetige Funktion. Dann erklären wir die harmonisch abgeänderte Funktion

$v(x):=[u{]}_{a,R}(x):=\{\begin{array}{cc}u(x),& x\in Gmit|x-a|\ge R\\ \frac{1}{R{\omega }_n}\underset{|y-a|=R}{\int }\frac{|y-a{|}^2-|x-a{|}^2}{|y-x{|}^n}u(y)d\sigma (y),& x\in Gmit|x-a|<R\end{array}$

für alle $a\in G$ und $R\in (0,\mathrm{dist}(a,{ℝ}^n\setminus G))$.

Definition 2

Sei $G\subset {ℝ}^n$ ein beschränktes Gebiet. Einen Randpunkt $x\in \partial G$ nennen wir regulär, wenn es eine superharmonische Funktion $\mathrm{\Phi }(y)=\mathrm{\Phi }(y;x):G\to ℝ$ mit

$\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{y\to x}{y\in G}}{\lim }\mathrm{\Phi }(y)=0$

und

$\varrho (\epsilon )\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{y\in G}{|y-x|\ge \epsilon }}{\inf }\mathrm{\Phi }(y)>0$

für alle $\epsilon >0$ gibt. Ist jeder Randpunkt von $G$ regulär, so sprechen wir von einem Dirichletgebiet.

Satz 3 (Existenzsatz)

Sei $G\subset {ℝ}^n$ ein beschränktes Gebiet mit $n\ge 2$. Dann ist das Dirichletproblem

(2) $\begin{array}{c}u=u(x)\in C^2(G)\cap C^0(\bar{G}),\\ \mathrm{\Delta }u(x)=0inG,\\ u(x)=f(x)auf\partial G\end{array}$

für alle stetigen Randfunktionen $f:\partial G\to ℝ$ genau dann lösbar, wenn $G$ im Sinne von Definition 2 ein Dirichletgebiet ist.

Beweis

„$\Rightarrow$“ Das Dirichletproblem sei für alle stetigen $f:\partial G\to ℝ$ lösbar. Ist nun $\xi \in \partial G$ beliebig, so wählen wir $f(y):=|y-\xi |,y\in \partial G$ und lösen zu diesen Randwerten das Dirichletproblem (2). Für die harmonische Funktion $u=u(x):\bar{G}\to ℝ$ folgt nach dem Minimumprinzip

$u(x)>0$ für alle $x\in \bar{G}\setminus \{\xi \}$.

Somit ist $\xi$ ein regulärer Randpunkt.

„$\Leftarrow$“ Sei $G$ ein Dirichletgebiet und $x\in \partial G$ ein beliebiger, regulärer Randpunkt. Dann gibt es eine zugehörige superharmonische Funktion $\mathrm{\Phi }(y)=\mathrm{\Phi }(y;x):G\to ℝ$ gemäß Definition 2. Da $f:\partial G\to ℝ$ stetig ist, existiert zu vorgegebenem $\epsilon >0$ ein $\delta =\delta (\epsilon )>0$mit $|f(y)-f(x)|\le \epsilon$ für alle $y\in \partial G$ mit $|y-x|\le \delta$. Wir erklären nun

$\eta (\epsilon ):=\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{y\in \partial G}{|y-x|\ge \delta (\epsilon )}}{\inf }\mathrm{\Phi }(y)>0.$

1. Die obere Barrierefunktion

$v^{+}(y):=f(x)+\epsilon +(M-m)\frac{\mathrm{\Phi }(y)}{\eta (\epsilon )},y\in G$

sei gegeben. Offenbar ist $v^{+}$ superharmonisch in $G$. Ferner gilt für eine beliebige Folge $\{y^{(k)}{\}}_{k=1,2,\dots }\subset G$ mit $y^{(k)}\to y^{+}\in \partial G$ für $k\to \mathrm{\infty }$

$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}{v}^{+}(y^{(k)})\ge f(y^{+}).$

Also ist $v^{+}\in ℳ$ erfüllt.

2. Nun betrachten wir die untere Barrierefunktion

$v^{-}(y):=f(x)-\epsilon -(M-m)\frac{\mathrm{\Phi }(y)}{\eta (\epsilon )},y\in G$

Sei $v\in ℳ$ beliebig gewählt. Für eine Folge $\{y^{(k)}{\}}_{k=1,2,\dots }\subset G$ mit $y^{(k)}\to y^{-}\in \partial G$ für $k\to \mathrm{\infty }$ berechnen wir

$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}(v(y^{(k)})-v^{-}(y^{(k)}))\ge \underset{k\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}(v(y^{(k)})-f(y^{-}))+\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}(f(y^{-})-v^{-}(y^{(k)}))\ge 0.$

Weiter ist $v-v^{-}$ superharmonisch in $G$ und es gilt $v-v^{-}\ge 0$ in $G$ bzw.

$v(y)\ge v^{-}(y),y\in G$

für alle $v\in ℳ$.

3. Für die harmonische Funktion

$u(y):=\underset{y\in ℳ}{\inf }v(y),y\in G$

zeigen wir nun, dass $u$ stetig die Randwerte $f$ annimmt. Wegen 1. und 2. ist

$v^{-}(y)\le u(y)\le v^{+}(y)$ für alle $y\in G$

erfüllt, d. h. es gilt

$f(x)-\epsilon -(M-m)\frac{\mathrm{\Phi }(y)}{\eta (\epsilon )}\le u(y)\le f(x)+\epsilon +(M-m)\frac{\mathrm{\Phi }(y)}{\eta (\epsilon )},y\in G.$

Beachten wir noch $\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{y\in G}{y\to x}}{\lim }\mathrm{\Phi }(y)=0$, so erhalten wir

$|f(x)-u(y)|\le \epsilon +(M-m)\frac{\mathrm{\Phi }(y)}{\eta (\epsilon )}\le 2\epsilon$

für alle $y\in G$ mit $|y-x|\le {\delta }^{*}(\epsilon )$. Somit folgt

$\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{y\in G}{y\to x}}{\lim }u(y)=f(x).$

Also löst $u$ das Dirichletproblem (2) für die Randwerte $f$.

q.e.d.

Satz 4 (Poincarébedingung)

Ein Randpunkt $x\in \partial G$ ist regulär, wenn es eine Kugel $B_r(a)$ mit $a\in {ℝ}^n$ und $r\in (0,+\mathrm{\infty })$ gibt, so dass $\bar{G}\cap \overline{B_r(a)}=\{x\}$ erfüllt ist. Insbesondere sind dann beschränkte Gebiete mit regulärem $C^2$-Rand Dirichletgebiete.

Beweis

Indem man für $n=2$ die in $G$ harmonische Funktion

$\mathrm{\Phi }(y):=\log \left(\frac{|y-a|}{r}\right),y\in G$

und für $n\ge 3$ die harmonische Funktion

$\mathrm{\Phi }(y):=r^{2-n}-|y-a{|}^{2-n},y\in G$

betrachtet, folgt unmittelbar die Behauptung.

q.e.d.

§4 Die Theorie der Kugelfunktionen: Fourierreihen

Satz 1 (Fourierreihen)

Das System der Funktionen

$\frac{1}{\sqrt{2\pi }},\frac{1}{\sqrt{\pi }}\cos k\phi ,\frac{1}{\sqrt{\pi }}\sin k\phi ,\phi \in [0,2\pi ],k=1,2,\dots$

bildet ein vollständiges Orthonormalsystem, kurz v. o. n. S., im Prä-Hilbertraum $\mathscr{H}:=C^0(S^1,ℝ)$ ausgestattet mit dem in

(1) $(u,v):=\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}u(e^{i\phi })v(e^{i\phi })d\phi ,u,v\in C^0(S^1,ℝ)$

angegebenen inneren Produkt.

Beweis

1. Man rechnet leicht nach, dass das angegebene Funktionensystem $𝒮$ orthonormiert ist, d. h. $\Vert u\Vert =1$ für alle $u\in 𝒮$ und $(u,v)=0$ für alle $u,v\in 𝒮$ mit $u\ne v$. Es bleibt zu zeigen, dass dieses Orthonormalsystem von Funktionen vollständig im Prä-Hilbertraum $\mathscr{H}$ ist. Es ist zu zeigen, dass für jedes $u\in \mathscr{H}$ ihre zugehörige Fourierreihe diese Funktion bezüglich der Hilbertraumnorm $\Vert \cdot \Vert$ approximiert.

2. Sei also

$u=u(x)\in \mathscr{H}=C^0(S^1,ℝ)$

beliebig gegeben. Wir setzen dann $u$ harmonisch in die Kreisscheibe

$B=\{x\in {ℝ}^2:|x|<1\}$

fort mittels

(2) $u(z)=\frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\frac{1-r^2}{|e^{i\phi }-z{|}^2}u(e^{i\phi })d\phi ,|z|<1,$

wobei wir $z=r{e}^{i\vartheta }$ gesetzt haben. Wir entwickeln nun den Poissonschen Kern wie folgt:

$\frac{1-r^2}{|e^{i\phi }-z{|}^2}=\frac{1-r^2}{|e^{i\phi }-r{e}^{i\vartheta }{|}^2}=\frac{1-r^2}{|1-r{e}^{i(\vartheta -\phi )}{|}^2}$

$=\frac{1-r^2}{(1-r{e}^{i(\vartheta -\phi )})(1-r{e}^{i(\phi -\vartheta )})}=-1+\frac{1}{1-r{e}^{i(\phi -\vartheta )}}+1-r{e}^{-i(\phi -\vartheta )}$

$=-1+\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{r}^k{e}^{ik(\phi -\vartheta )}+\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{r}^k{e}^{-ik(\phi -\vartheta )}=1+2\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{r}^k\cos k(\phi -\vartheta ).$

Die Reihe konvergiert hierbei lokal gleichmäßig für $0\le r<1$ und $\phi ,\vartheta \in ℝ$. Nun gilt

$\cos k(\phi -\vartheta )=\cos k\phi \cos k\vartheta +\sin k\phi \sin k\vartheta$

und wir erhalten mit $g(\phi ):=u(e^{i\phi }),\phi \in [0,2\pi )$

$u(r{e}^{i\vartheta })=\frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\{1+2\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{r}^k(\cos k\phi \cos k\vartheta +\sin k\phi \sin k\vartheta \left)\right\}g(\phi )d\phi$

$=\frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}g(\phi )d\phi +\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\{(\frac{1}{\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}g(\phi )\cos k\phi d\phi )r^k\cos k\vartheta +(\frac{1}{\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}g(\phi )\sin k\phi d\phi )r^k\sin k\vartheta \}.$

Wir setzen schließlich

(3) $a_k:=\frac{1}{\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}g(\phi )\cos k\phi d\phi ,k=0,1,2,\dots$

und

(4) $b_k:=\frac{1}{\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}g(\phi )\sin k\phi d\phi ,k=1,2,\dots .$

Damit erhalten wir in

(5) $u(r{e}^{i\vartheta })=\frac{1}{2}{a}_0+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(a_k\cos k\vartheta +b_k\sin k\vartheta )r^k,0\le r<1,0\le \vartheta <2\pi$

die Fourierentwicklung einer in $|z|<1$ harmonischen Funktion.

3. Da $u(z)$ stetig in $\bar{B}$ ist, gibt es zu vorgegebenem $\epsilon >0$ ein $r\in (0,1)$, so dass

(6) $|u(r{e}^{i\vartheta })-g(\vartheta )|\le \epsilon$ für alle $\vartheta \in [0,2\pi )$

richtig ist. Weiter können wir ein $N=N(\epsilon )\in \mathbb{N}$ so wählen, dass

(7) $|\frac{a_0}{2}+\sum _{k=1}^N{r}^k(a_k\cos k\vartheta +b_k\sin k\vartheta )-g(\vartheta )|\le \epsilon$ für alle $\vartheta \in [0,2\pi )$

erfüllt ist. Zu vorgegebenem $\epsilon >0$ finden wir also reelle Koeffizienten $A_0,\dots ,A_N$ und $B_1,\dots ,B_N$, so dass für das trigonometrische Polynom

$F_{\epsilon }(\vartheta ):=A_0+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(A_k\sin k\vartheta +B_k\cos k\vartheta ),0\le \vartheta <2\pi$

die Ungleichung

(8) $|F_{\epsilon }(\vartheta )-g(\vartheta )|\le 2\epsilon$ für alle $\vartheta \in [0,2\pi )$

richtig ist. Wir erhalten damit

(9) $\Vert F_{\epsilon }-g\Vert \le 2\sqrt{2\pi }\epsilon .$

Wegen der Minimaleigenschaft der Fourierkoeffizienten approximiert die zum angegebenen Funktionensystem zugehörige Fourierreihe die vorgegebene Funktion bezüglich der Hilbertraumnorm. Nun ist dieses Funktionensystem ein vollständiges Orthonormalsystem in $\mathscr{H}$.

q.e.d.

§5 Die Theorie der Kugelfunktionen in $n$ Variablen

Definition 1

Sei $H_k=H_k(x_1,\dots ,x_n)\in C^2({ℝ}^n)$ eine harmonische Funktion auf der Menge ${ℝ}^n:={ℝ}^n\setminus \{0\}$, welche homogen vom Grade $k$ ist, d. h.

$H_k(t{x}_1,\dots ,t{x}_n)=t^{k}H(x_1,\dots ,x_n)$ für alle $x\in {ℝ}^n,t\in (0,+\mathrm{\infty })$.

Dann heißt

$H_k=H_k({\xi }_1,\dots ,{\xi }_n):S^{n-1}\to ℝ$

eine $n$-dimensionale Kugelfunktion oder auch sphärisch harmonische Funktion vom Grade $k$; hierbei bezeichnet

$S^{n-1}:=\{\xi =({\xi }_1,\dots ,{\xi }_n)\in {ℝ}^n:{\xi }_1^2+\dots +{\xi }_n^2=1\}$

die $(n-1)$-dimensionale Einheitssphäre im ${ℝ}^n$.