Kurs:Analysis III/Kapitel III: Der Brouwersche Abbildungsgrad mit geometrischen Anwendungen

§1 Die Umlaufszahl

Definition 1

Zu $k\in {\mathbb{N}}_0$ erklären wir durch

${\mathrm{\Gamma }}_k:=\{\phi =\phi (t):ℝ\to ℂ\in C^k(ℝ,ℂ):\phi (t+2\pi )=\phi (t)f\ddot{u}rallet\in ℝ\}$

die Menge der $k$-mal stetig differenzierbaren $(k\ge 1)$ bzw. stetigen $(k=0)$ periodischen komplexwertigen Funktionen.

Definition 2

Sei $\phi \in {\mathrm{\Gamma }}_1$ mit $\phi \ne 0$ für alle $t\in ℝ$ gegeben. Dann setzen wir

$W(\phi )=W(\phi ,0):=\frac{1}{2\pi i}\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\frac{{\phi }^{\prime }(t)}{\phi (t)}dt$

als Windungszahl (Umlaufszahl) der geschlossenen Kurve $\phi (t),0\le t\le 2\pi$ in Bezug auf den Punkt $z=0$.

Definition 3

Sei $\phi \in {\mathrm{\Gamma }}_0$ mit $\phi (t)\ne 0$ für alle $t\in ℝ$. Ferner sei eine Folge von Funktionen $\{{\phi }_k{\}}_{k=1,2,\dots }\subset {\mathrm{\Gamma }}_1$ mit $\phi (t)\ne 0$ für alle $t\in ℝ$ und $k\in \mathbb{N}$ gegeben, die gleichmäßig in $[0,2\pi ]$ gegen $\phi$ konvergiert, d. h. es gilt

$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\phi }_k(t)=\phi (t)$ für alle $t\in [0,2\pi ]$.

Dann setzen wir

$W(\phi ):=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }W({\phi }_k).$

Satz 1 (Homotopielemma)

Sei die Schar von stetigen Kurven ${\mathrm{\Phi }}_{\tau }(t)=\phi (t,\tau )\in {\mathrm{\Gamma }}_0$ für ${\tau }^{-}\le \tau \le {\tau }^{+}$ gegeben. Ferner gelten $\phi (t,\tau )\in C^0([0,2\pi ]\times [{\tau }^{-},{\tau }^{+}],{ℝ}^2)$ und

$\phi (t,\tau )\ne 0$ für alle $(t,\tau )\in [0,2\pi ]\times [{\tau }^{-},{\tau }^{+}]$.

Dann ist $W({\phi }_{\tau })$ in $[{\tau }^{-},{\tau }^{+}]$ konstant.

Beweis

Wegen $\phi (t,\tau )\ne 0$ und der Kompaktheit der Menge $[0,2\pi ]\times [{\tau }^{-},{\tau }^{+}]$ gibt es ein $\epsilon >0$, so dass $|\phi (t,\tau )|>\epsilon$ für alle $(t,\tau )\in [0,2\pi ]\times [{\tau }^{-},{\tau }^{+}]$ gilt. Da $\phi$ auf $[0,2\pi ]\times [{\tau }^{-},{\tau }^{+}]$ gleichmäßig stetig ist, gibt es ein $\delta (\epsilon )>0$ mit der Eigenschaft

$|\phi (t,{\tau }^{*})-\phi (t,{\tau }^{**})|>\epsilon$ für alle $t\in [0,2\pi ]$, falls $|{\tau }^{*}-{\tau }^{**}|<\delta (\epsilon )$.

Seien nun $\{{\phi }_k^{*}{\}}_{k=1,2,\dots }\subset {\mathrm{\Gamma }}_1$ und $\{{\phi }_k^{**}{\}}_{k=1,2,\dots }\subset {\mathrm{\Gamma }}_1$ zwei approximierende Folgen mit

$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\phi }_k^{*}(t)=\phi (t,{\tau }^{*})$ bzw. $\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\phi }_k^{**}(t)=\phi (t,{\tau }^{**})$ für alle $t\in [0,2\pi ]$.

Dann gibt es ein $k_0\in \mathbb{N}$, so dass für alle $k\ge k_0$ folgendes gilt:

$|{\phi }_k^{*}(t)|>\epsilon ,|{\phi }_k^{**}(t)|>\epsilon ,|{\phi }_k^{*}(t)-{\phi }_k^{**}(t)|<\epsilon$ für alle $t\in [0,2\pi ]$.

Es gilt nun $W({\phi }_k^{*})=W({\phi }_k^{**})$ für alle $k\ge k_0$ und es folgt

$W({\mathrm{\Phi }}_{{\tau }^{*}})=W({\mathrm{\Phi }}_{{\tau }^{**}})$ für alle ${\tau }^{*},{\tau }^{**}\in [{\tau }^{-},{\tau }^{+}]$ mit $|{\tau }^{*}-{\tau }^{**}|<\delta (\epsilon )$.

Da $\delta (\epsilon )$ nicht von ${\tau }^{*},{\tau }^{**}$ abhängt und $[{\tau }^{-},{\tau }^{+}]$ kompakt ist, liefert ein Fortsetzungsargument $W({\phi }_{\tau })=\mathrm{const}$ für $\tau \in [{\tau }^{-},{\tau }^{+}]$.

Satz 2 (Rouché)

Zu festem $R>0$ seien $f_0,f_1:B_R\to ℂ$ zwei stetige Funktionen mit der Eigenschaft

$|f_1(z)-f_0(z)|<|f_0(z)|$ für alle $z\in \partial B_R$.

Für die Kurve ${\phi }_0(t):=f_0(R{e}^{it})$ gelten

${\phi }_0(t)\ne 0$ für $0\le t\le 2\pi$ sowie $W({\phi }_0)\ne 0$.

Dann existiert ein $z_{*}\in \stackrel{\circ }{B}$ mit $f_1(z_{*})=0$.

Beweis

Wir setzen ${\phi }_1(t):=f_1(R{e}^{it}),0\le t\le 2\pi$ und betrachten die Homotopie

${\mathrm{\Phi }}_{\tau }(t)=\phi (t,\tau ):=(1-\tau ){\phi }_0(t)+\tau {\phi }_1(t),0\le t\le 2\pi .$

Wegen

$|\phi (t,\tau )|=|{\phi }_0(t)+\tau ({\phi }_1(t)-{\phi }_0(t))|\ge |{\phi }_0(t)|-|{\phi }_1(t)-{\phi }_0(t)|>0$

für alle $(t,\tau )\in [0,2\pi ]\times [0,1]$ liefert das Homotopielemma $W({\phi }_0)=W({\phi }_1)\ne 0$ und nun existiert ein $z_{*}\in \stackrel{\circ }{B}$ mit $f_1(z_{*})=0$.

q.e.d.

Satz 3 (Fundamentalsatz der Algebra)

Jedes komplexe Polynom

$f(z)=z^n+a_{n-1}{z}^{n-1}+\dots +a_0$

vom Grade $n\in \mathbb{N}$ besitzt mindestens eine komplexe Nullstelle.

Beweis

Wir setzen $f_0(z):=z^n,z\in ℂ$ und betrachten zu festem $R>0$ die Funktion

${\phi }_0(t):=f(R{e}^{it})=R^n{e}^{int},0\le t\le 2\pi .$

Wir berechnen

$W({\phi }_0)=\frac{1}{2\pi i}\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\frac{\phi {\text{'}}_0(t)}{{\phi }_0(t)}dt=\frac{1}{2\pi i}\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\frac{in{R}^n{e}^{int}}{R^n{e}^{int}}dt=n\in \mathbb{N}.$

Wir wählen nun $R>0$ so groß, dass für alle $z\in ℂ$ mit $|z|=R$ die Ungleichung

$|f_0(z)|=R^n>|f(z)-f_0(z)|=|a_{n-1}{z}^{n-1}+\dots +a_0|$

richtig ist. Dann gibt es nach dem Satz von Rouché ein $z_{*}\in ℂ$ mit $|z_{*}|<R$, so dass $f(z_{*})=0$ erfüllt ist.

Satz 4 (Brouwerscher Fixpunktsatz)

Sei $f(z):B_R\to B_R$ eine stetige Abbildung. Dann hat $f$ mindestens einen Fixpunkt, d. h. es gibt ein $z_{*}\in B_R$ mit $f(z_{*})=z_{*}$.

Beweis

Wir betrachten die Schar von Abbildungen

$g(z,\tau ):=z-\tau f(z),z\in B_R,\tau \in [0,1).$

Für alle $z\in \partial B_R$ gilt

$|g(z,\tau )|\ge |z|-\tau |f(z)|\ge R(1-\tau )>0.$

Nun wenden wir den Satz von Rouché auf die Funktion $f_0(z):=z$ mit der Randfunktion ${\phi }_0(t)=R{e}^{it}$ und auf $f_1(z):=g(z,\tau )$ für ein festes $\tau \in [0,1)$ an. Wir finden dann für jedes $\tau \in [0,1)$ ein $z_{\tau }\in {\stackrel{\circ }{B}}_R$ mit der Eigenschaft

$0=g_{\tau }(z_{\tau })=z_{\tau }-\tau f(z_{\tau }).$

Wählen wir speziell ${\tau }_n=1-\frac{1}{n},n=1,2,\dots$, so folgt

$(1-\frac{1}{n})f(z_n)=z_n,n=1,2,\dots ,$

wobei wir noch $z_n:=z_{{\tau }_n}$ gesetzt haben. Nach Auswahl einer in $B_R$ konvergenten Teilfolge erhalten wir wegen der Stetigkeit von $f$

$z_{*}:=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }{z}_{n_k}=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\tau }_{n_k}f(z_{n_k})=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(z_{n_k})=f(z_{*}).$

Definition 4

Sei $z\in ℂ$ ein beliebiger Punkt und die Funktion $\phi (t)\in {\mathrm{\Gamma }}_0$ genüge der Bedingung $\phi (t)\ne z$ für alle $t\in ℝ$. Dann nennen wir

$W(\phi ,z):=W(\phi (t)-z)$

die Umlaufszahl der Kurve $\phi$ um den Punkt $z$.

Definition 5

Sei die stetige Funktion $f=f(z):\{z\in ℂ:|z-z_0|\le {\epsilon }_0\}\to ℂ$ mit $z_0\in ℂ$ und ${\epsilon }_0>0$ gegeben, welche in $z_0$ eine isolierte Nullstelle besitzt, d. h. es gelten

$f(z_0)=0$ und $f(z)\ne 0$ für alle $0<|z-z_0|\le {\epsilon }_0$

Dann erklären wir den Index von $f$ in Bezug auf $z=z_0$ wie folgt:

$i(f,z_0):=W(\phi )$ mit $\phi (t)=f(z_0+\epsilon e^{it}),0\le t\le 2\pi ,0<\epsilon \le {\epsilon }_0$.

Satz 5 (Indexsummenformel)

Die Funktion $f\in C^2(B_R,ℂ)$ habe die Randfunktion $\phi (t):=f(R{e}^{it})\ne 0$ mit $t\in [0,2\pi ]$. Ferner besitze $f$ in ${\stackrel{\circ }{B}}_R$ die paarweise verschiedenen Nullstellen $z_k$ mit zugehörigem Index $i(f,z_k),k=1,\dots ,p$ und $p\in {\mathbb{N}}_0$. Dann gilt die Identität

$W(\phi )=\sum _{k=1}^{p}i(f,z_k).$

Beweis

1. Wir setzen

$F(x,y):=\log f(x,y),(x,y)\in B_R$

und berechnen

$W(\phi )=\frac{1}{2\pi i}\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\frac{{\phi }^{\prime }(t)}{\phi (t)}dt=\frac{1}{2\pi i}\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\frac{\frac{d}{dt}f(R{e}^{it})}{f(R{e}^{it})}dt$

$=\frac{1}{2\pi i}\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\frac{f_x(R{e}^{it})(-R\sin t)+f_y(R{e}^{it})(R\cos t)}{f(R{e}^{it})}dt$

$=\frac{1}{2\pi i}\underset{\partial B_R}{\oint }\{F_{x}dx+F_{y}dy\}=\frac{1}{2\pi i}\underset{\partial B_R}{\oint }dF$

mit der 1-Form $dF=F_x(x,y)dx+F_y(x,y)dy$. Dabei wird $\partial B_R$ in mathematisch positivem Sinn durchlaufen.

2. Zu hinreichend kleinem $\epsilon >0$ betrachten wir das Gebiet

$\mathrm{\Omega }(\epsilon ):=\{z\in {\stackrel{\circ }{B}}_R:|z-z_k|>\epsilon \mathrm{f}\ddot{\mathrm{u}}\mathrm{r}k=1,\dots ,p\}.$

Setzen wir

${\phi }_k(t):=f(z_k+\epsilon e^{it}),t\in [0,2\pi ],k=1,\dots ,p,$

so folgt wie in Teil 1 des Beweises

$W({\phi }_k)=\frac{1}{2\pi i}\underset{|z-z_k|=\epsilon }{\oint }dF,k=1,\dots ,p,$

wobei die Kurven $|z-z_k|=\epsilon$ in mathematisch positivem Sinn durchlaufen werden. Der Stokessche Integralsatz liefert nun

$W(\phi )-\sum _{k=1}^{p}i(f,z_k)=W(\phi )-\sum _{k=1}^{p}W({\phi }_k)$

$=\frac{1}{2\pi i}\underset{\partial B_R}{\oint }dF-\frac{1}{2\pi i}\sum _{k=1}^p\underset{|z-z_k|=\epsilon }{\oint }dF=\frac{1}{2\pi i}\underset{\partial \mathrm{\Omega }(\epsilon )}{\int }dF=\frac{1}{2\pi i}\underset{\mathrm{\Omega }(\epsilon )}{\int }ddF=0.$

q.e.d.

§2 Der Abbildungsgrad im ${ℝ}^n$

Definition 1

Seien $\mathrm{\Omega }\subset {ℝ}^n$ eine beschränkte, offene Menge im ${ℝ}^n$ und

$f=(f_1(x_1,\dots ,x_n),\dots ,f_n(x_1,\dots ,x_n))\in A^k(\mathrm{\Omega }):=C^k(\mathrm{\Omega },{ℝ}^n)\cap C^0(\bar{\mathrm{\Omega }},{ℝ}^n)$

für $k\in \mathbb{N}$ eine Funktion mit $f(x)\ne 0$ für alle $x\in \partial \mathrm{\Omega }$. Mit einem $0<\epsilon <\inf \{|f(x)|:x\in \partial \mathrm{\Omega }\}$ betrachten wir eine Funktion $\omega \in C^0([0,+\mathrm{\infty }),ℝ)$ mit den Eigenschaften

(a) $\omega (r)=0$ für alle $r\in [0,\delta ]\cup [\epsilon ,+\mathrm{\infty })$ und für ein $\delta \in (0,\epsilon )$,

(b) es gelte

$\underset{{ℝ}^n}{\int }\omega (|y|)dy=1.$

Dann erklären wir den Brouwerschen Abbildungsgrad von $f$ bezüglich $y=0$ gemäß

$d(f,\mathrm{\Omega })=d(f,\mathrm{\Omega },0):=\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }\omega (|f(x)|)J_f(x)dx.$

Dabei ist

$J_f(x)=\frac{\partial (f_1,\dots ,f_n)}{\partial (x_1,\dots ,x_n)},x\in \mathrm{\Omega }$

die Funktionaldeterminante der Abbildung $f$.

Definition 2

Sei $f(x)\in A^0(\mathrm{\Omega }):=C^0(\bar{\mathrm{\Omega }},{ℝ}^n)$ mit $f(x)\ne 0$ für alle $x\in \partial \mathrm{\Omega }$ gegeben. Ferner sei $\{f_k{\}}_{k=1,2,\dots }\subset A^1(\mathrm{\Omega })$ eine Funktionenfolge mit

$f_k(x)\ne 0$ für alle $x\in \partial \mathrm{\Omega }$ und alle $k\in \mathbb{N}$

und es gelte

$f_k(x)\to f(x)$ für $k\to \mathrm{\infty }$

gleichmäßig in $\bar{\mathrm{\Omega }}$. Dann setzen wir

$d(f,\mathrm{\Omega }):=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }d(f_k,\mathrm{\Omega })$

und nennen dieses den Brouwerschen Abbildungsgrad für stetige Funktionen.

Satz 1 (Homotopielemma)

Sei $f_{\tau }(x)\in A^0(\mathrm{\Omega })$ für $\tau \in [a,b]$ eine Schar stetiger Abbildungen mit den Eigenschaften

(a) $f_{\tau }(x)=f(x,\tau ):\bar{\mathrm{\Omega }}\times [a,b]\to ℝ\in C^0(\bar{\mathrm{\Omega }}\times [a,b],ℝ)$,

(b) $f_{\tau }(x)\ne 0$ für alle $x\in \partial \mathrm{\Omega }$ und alle $\tau \in [a,b]$.

Dann ist $d(f_{\tau },\mathrm{\Omega })=\mathrm{const}$ in $[a,b]$.

Beweis

Zunächst gibt es ein $\epsilon >0$, so dass $|f_{\tau }(x)|>5\epsilon$ für alle $x\in \partial \mathrm{\Omega }$ und alle $\tau \in [a,b]$ richtig ist. Weiter existiert ein $\delta =\delta (\epsilon )>0$, so dass für alle ${\tau }^{*},{\tau }^{**}\in [a,b]$ mit $|{\tau }^{*}-{\tau }^{**}|<\delta (\epsilon )$ die Ungleichung

$|f(x,{\tau }^{*})-f(x,{\tau }^{**})|<\epsilon$ für alle $x\in \bar{\mathrm{\Omega }}$

gilt. Wir wählen nun mit

$\{f_k^{*}{\}}_{k=1,2,\dots },\{f_k^{**}{\}}_{k=1,2,\dots }\subset A^1(\mathrm{\Omega })$

zulässige Approximationsfolgen für $f_{{\tau }^{*}}(x)$ bzw. $f_{{\tau }^{**}}(x)$. Dann gibt es ein $k_0\in \mathbb{N}$, so dass die Ungleichungen

$|f_k^{*}(x)|>5\epsilon ,|f_k^{**}(x)|>5\epsilon$ für alle $x\in \partial \mathrm{\Omega }$ und alle $k\ge k_0$

sowie

$|f_k^{*}(x)-f_k^{**}(x)|<\epsilon$ für alle $x\in \bar{\mathrm{\Omega }}$ und alle $k\ge k_0$

erfüllt sind. Es gilt nun

$d(f_k^{*},\mathrm{\Omega })=d(f_k^{**},\mathrm{\Omega })$ für alle $k\ge k_0$

und es folgt

$d(f_{{\tau }^{*}},\mathrm{\Omega })=d(f_{{\tau }^{**}},\mathrm{\Omega })$ für alle ${\tau }^{*},{\tau }^{**}\in [a,b]$ mit $|{\tau }^{*}-{\tau }^{**}|<\delta (\epsilon )$.

Dieses ergibt $d(f_{\tau },\mathrm{\Omega })=\mathrm{const}$ für $a\le \tau \le b$.

q.e.d.

Definition 3

Sei $\mathrm{\Omega }\subset {ℝ}^n$ eine beschränkte, offene Menge und $f(x):\partial \mathrm{\Omega }\to {ℝ}^n\setminus \{0\}$ sei stetig. Weiter sei $\hat{f}(x):{ℝ}^n\to {ℝ}^n\in C^0({ℝ}^n,{ℝ}^n)$ mit $\hat{f}(x)=f(x)$ für alle $x\in \partial \mathrm{\Omega }$ eine stetige Fortsetzung von $f$ auf den ${ℝ}^n$. Dann setzen wir

$v(f,\partial \mathrm{\Omega }):=d(\hat{f},\mathrm{\Omega })$

für die Ordnung von $f$ in Bezug auf den Punkt $z=0$.

§3 Geometrische Existenzsätze

Satz 1 (Brouwerscher Fixpunktsatz)

Jede stetige Abbildung $f(x):B\to B$ der Einheitskugel $B:=\{x\in {ℝ}^n:|x|\le 1\}$ in sich besitzt einen Fixpunkt $\xi \in B$, für welchen also $\xi =f(\xi )$ gilt.

Beweis

Wir betrachten für alle $\tau \in [0,1)$ die Abbildung

$f_{\tau }(x)=x-\tau f(x),x\in B,$

welche die Randbedingung

$|f_{\tau }(x)|\ge |x|-\tau |f(x)|\ge 1-\tau >0$ für alle $x\in \partial B$ und alle $\tau \in [0,1)$

erfüllt. Nun gibt es zu jedem $\tau \in [0,1)$ ein $x_{\tau }\in \stackrel{\circ }{B}$ mit $f_{\tau }(x)=0$ bzw. $\tau f(x_{\tau })=x_{\tau }$. Wir wählen nun eine Folge ${\tau }_n\uparrow 1$ für $n\to \mathrm{\infty }$, so dass $\{x_{{\tau }_n}{\}}_{n=1,2,\dots }$ in $B$ konvergiert. Dann folgt

$\xi :=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_{{\tau }_n}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\tau }_{n}f(x_{{\tau }_n})=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(x_{{\tau }_n})=f(\xi ).$

q.e.d.

Satz 2 (Igelsatz von Poincaré und Brouwer)

Sei $n\in \mathbb{N}$ gerade. Mit

$S^n:=\{x\in {ℝ}^{n+1}:|x|=1\}$

bezeichnen wir die $n$-dimensionale Sphäre im ${ℝ}^{n+1}$. Dann gibt es kein tangentiales, nullstellenfreies und stetiges Vektorfeld auf der Sphäre $S^n$.

Beweis

Wäre $\phi :S^n\to {ℝ}^{n+1}$ ein solches Vektorfeld, so wären $|\phi (x)|>0$ und $(\phi (x),x)=0$ für alle $x\in S^n$ erfüllt. Wir betrachten nun zu $\epsilon =\pm 1$ die Abbildung $f(x):=\epsilon x,x\in S^n$ und die Homotopie

$f_{\tau }(x)=(1-\tau )f(x)+\tau \phi (x),x\in S^n.$

Es gilt

$|f_{\tau }(x){|}^2=(1-\tau {)}^2|f(x){|}^2+{\tau }^2|\phi (x){|}^2>0$

für alle $x\in S^n$ und alle $\tau \in [0,1]$. Es folgt

$v(\phi ,S^n)=v(f_1,S^n)=v(f_0,S^n)=v(f,S^n)={\epsilon }^{n+1}.$

Für gerades $n$ würde also

$-1=v(\phi ,S^n)=+1$

folgen. Das ist aber ein Widerspruch!

q.e.d.

§4 Der Index einer Abbildung

Definition 1

Sei $f(x)\in A^0(\mathrm{\Omega })$. Für ein $z\in \mathrm{\Omega }$ und ein hinreichend kleines $\epsilon >0$ gelte $f(z)=0$ und $f(x)\ne 0$ für alle $0<|x-z|\le \epsilon$. Dann nennen wir

$i(f,z):=d(f,B_{\epsilon }(z))$

den Index von $f$ im Punkt $x=z$. Dabei ist $B_{\epsilon }(z):=\{x\in {ℝ}^n:|x-z|<\epsilon \}$.

Satz 1 (Sardsches Lemma)

Seien $\mathrm{\Omega }\subset {ℝ}^n$ eine offene Menge und $f:\mathrm{\Omega }\to {ℝ}^n\in C^1(\mathrm{\Omega },{ℝ}^n)$ eine stetig differenzierbare Abbildung. Ferner sei $F\subset \mathrm{\Omega }$ kompakt und

$F^{*}:=\{y=f(x):x\in F,J_f(x)=0\}$

die Menge ihrer kritischen Werte. Dann ist $F^{*}$ eine $n$-dimensionale Lebesgue-Nullmenge.

Beweis

Wir können ohne Einschränkung annehmen, dass $F$ ein Würfel ist:

$F=W=\{x\in {ℝ}^n:a_i\le x_i\le a_i+h,i=1,\dots ,n\}.$

Wir nehmen nun eine gleichmäßige Zerlegung des Würfels $W$ in $N^n$ Würfel der Kantenlänge $\frac{h}{N}$ mit $N\in \mathbb{N}$, indem wir auf den Achsen die Zerlegung $a_i+j\frac{h}{N}$ mit $i=1,\dots ,n,j=0,1,\dots ,N$ zugrunde legen. Damit erhalten wir die Würfel $W_{\alpha },\alpha =1,\dots ,N^n$ mit den Eigenschaften

$W=\bigcup _{\alpha =1}^{N^n}{W}_{\alpha },{\stackrel{\circ }{W}}_{\alpha }\cap {\stackrel{\circ }{W}}_{\beta }=\mathrm{\varnothing }(\alpha \ne \beta ).$

Der Durchmesser eines Würfels $W_{\alpha }$ berechnet sich gemäß

$\mathrm{diam}(W_{\alpha })=\sqrt{n}\frac{h}{N}.$

Wir setzen nun

$M:=\underset{x\in W}{\sup }\Vert \partial f(x)\Vert \text{ und }{\epsilon }_N:=\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{x^{\prime },x^{″}\in W}{|x^{\prime }-x^{″}|\le \sqrt{n}\frac{h}{N}}}{\sup }\Vert \partial f(x^{\prime })-\partial f(x^{″})\Vert$

Sei $𝐍\subset \{1,\dots ,N^n\}$ die Indexmenge, die zu den Würfeln $W_{\alpha }$ gehört, welche mindestens einen Punkt $\xi \in W_{\alpha }$ mit $J_f(\xi )=0$ enthalten. Dann folgt

$W^{*}\subset \bigcup _{\alpha \in 𝐍}{W}_{\alpha }^{*}\text{ mit }{W}_{\alpha }^{*}:=\{y=f(x):x\in W_{\alpha }\}$.

Es gibt nun für jedes $\alpha \in 𝐍$ eine Funktion ${\phi }_{\alpha }={\phi }_{\alpha }(y)\in C_0^0({ℝ}^n,[0,1])$ mit ${\phi }_{\alpha }(y)\ge {\chi }_{W_{\alpha }^{*}}(y),y\in {ℝ}^n$ sowie

$\underset{{ℝ}^n}{\int }{\phi }_{\alpha }(y)dy\le K(M,n){\left(\frac{h}{N}\right)}^n{\epsilon }_N.$

Dabei bezeichnet ${\chi }_A$ die charakteristische Funktion einer Menge $A$. Es folgt

${\chi }_{W^{*}}(y)\le \sum _{\alpha \in 𝐍}{\chi }_{W_{\alpha }^{*}}(y)\le \sum _{\alpha \in 𝐍}{\phi }_{\alpha }(y),y\in {ℝ}^n$

und für die Funktion $\sum _{\alpha \in 𝐍}{\phi }_{\alpha }\left(y\right)\in C_0^0({ℝ}^n,[0,+\mathrm{\infty }))$ gilt

$\underset{{ℝ}^n}{\int }(\sum _{\alpha \in 𝐍}{\phi }_{\alpha }(y))dy\le \sum _{\alpha \in 𝐍}(K(M,n){\left(\frac{h}{N}\right)}^n{\epsilon }_N)\le |W|K(M,n){\epsilon }_N$

für alle $N\in \mathbb{N}$. Für $N\to \mathrm{\infty }$ folgt schließlich ${\epsilon }_N\downarrow 0$ und somit ist $W^{*}$ eine $n$-dimensionale Lebesguesche Nullmenge.

Satz 2 (Generische Endlichkeit)

Sei $\mathrm{\Omega }\subset {ℝ}^n$ eine beschränkte, offene Menge und $f\in A^1(\mathrm{\Omega })$ mit $\underset{x\in \partial \mathrm{\Omega }}{\inf }|f(x)|>\epsilon >0$. Dann gibt es ein $z\in {ℝ}^n$ mit $|z|\le \epsilon$, so dass folgendes gilt:

(1) Die Gleichung $f(x)=z,x\in \bar{\mathrm{\Omega }}$ hat höchstens endlich viele Lösungen $x^{(1)},\dots ,x^{(N)}\in \mathrm{\Omega }$.

(2) Für $\nu =1,\dots ,N$ ist $J_f(x^{(\nu )})\ne 0$ richtig.

Beweis

Sei

$F:=\{x\in \bar{\mathrm{\Omega }}:|f(x)|\le \epsilon \},$

so ist $F\subset {ℝ}^n$ kompakt und es gilt $F\subset \mathrm{\Omega }$. Die Menge

$F^{*}:=\{y=f(x):x\in F,J_f(x)=0\}$

der kritischen Werte von $f$ ist nach dem Sardschen Lemma eine Lebesguesche Nullmenge. Somit existiert ein $z\in {ℝ}^n$ mit $|z|\le \epsilon$ und $z\notin F^{*}$. Wir zeigen nun, dass mit diesem $z$ die Eigenschaft (1) gilt: Angenommen, die Gleichung $f(x)=z$ hätte unendlich viele Lösungen $x^1,x^2,\dots \in \bar{\mathrm{\Omega }}$ und ohne Einschränkung gelte $x^{\nu }\to \xi$ für $\nu \to \mathrm{\infty }$. Wegen $f(x^{\nu })=f(\xi )=z$ für alle $\nu \in \mathbb{N}$ würden sich die $z$-Stellen von $f$ im Punkt $\xi$ häufen. Da aber $\xi \in \mathrm{\Omega }$ und $J_f(\xi )\ne 0$ sind, ist $f$ dort lokal injektiv und wir erhalten einen Widerspruch. Folglich gibt es nur endlich viele Lösungen der Gleichung $f(x)=z,x\in \bar{\mathrm{\Omega }}$, die offenbar alle die Eigenschaft (2) haben.

q.e.d.

§5 Der Produktsatz

Definition 1

Sei $𝒪\subset {ℝ}^n$ eine offene Menge und $x\in 𝒪$. Dann nennen wir die Menge

$G_x:=\{y\in 𝒪:\begin{array}{c}esexistiertein\phi (t):[0,1]\to 𝒪\in C^0([0,1])\\ mit\phi (0)=xund\phi (1)=y\end{array}\}$

die Zusammenhangskomponente von $x$ in $𝒪$.

Definition 2

Zu einer Funktion $\phi \in C_0^0({ℝ}^n)$ nennen wir

$\mathrm{supp}\phi =\overline{\{x\in {ℝ}^n:\phi (x)\ne 0\}}$

den Träger von $\phi$.

Definition 3

Sei $f\in A^0(\mathrm{\Omega })$ und $z\in {ℝ}^n\setminus f(\partial \mathrm{\Omega })$. Dann setzen wir

$d(f,\mathrm{\Omega },z):=d(f(x)-z,\mathrm{\Omega },0)$

für den Abbildungsgrad von $f$ bezüglich des Punktes $z$.

Definition 4

Sei $G\subset {ℝ}^n\setminus f(\partial \mathrm{\Omega })$ ein Gebiet, so setzen wir

$d(f,\mathrm{\Omega },G):=d(f,\mathrm{\Omega },z)$ für ein $z\in G$.

Satz 1 (Produktsatz)

Seien $f,g\in C^0({ℝ}^n,{ℝ}^n)$ und sei $\mathrm{\Omega }\subset {ℝ}^n$ offen und beschränkt. Wir setzen $E:=f(\partial \mathrm{\Omega })$. Mit $\{D_i{\}}_{i=1,\dots ,N_0},N_0\in \{0,1,\dots ,+\mathrm{\infty }\}$ bezeichnen wir die beschränkten Zusammenhangskomponenten von ${ℝ}^n\setminus E$. Schließlich wählen wir ein $z\in {ℝ}^n\setminus g(E)$. Dann gilt die Identität

$d(g\circ f,\mathrm{\Omega },z)=\sum _{i=1}^{N_0}d(f,\mathrm{\Omega },D_i)d(g,D_i,z),$

wobei die Reihe nur endlich viele nicht verschwindende Terme hat.

Beweis

1. Wir setzen

$h(x):=g\circ f(x).$

Nach dem Weierstraßschen Approximationssatz aus Kapitel I, §1 können wir Folgen $\{f_l(x){\}}_{l=1,2,\dots }\subset C^1({ℝ}^n,{ℝ}^n)$ und $\{g_k(y){\}}_{k=1,2,\dots }\subset C^1({ℝ}^n,{ℝ}^n)$ wählen, die gleichmäßig auf jedem Kompaktum gegen $f(x)$ bzw. $g(x)$ konvergieren. Wir erklären noch die Funktionen

$h_k(x):=g_k\circ f(x),h_{kl}(x):=g_k\circ f_l(x),k,l\in \mathbb{N}.$

Damit folgen

$h_k(x)\to h(x)$ für $k\to \mathrm{\infty }$

sowie

$h_{kl}(x)\to h_k(x)$ für $l\to \mathrm{\infty }$

auf jedem Kompaktum.

2. Es gibt ein $\epsilon >0$, so dass

$|h(x)-z|>\epsilon ,|h_k(x)-z|>\epsilon$ für alle $x\in \partial \mathrm{\Omega }$ und alle $k\ge k_0(\epsilon )$

richtig ist. Wir wählen nun eine zulässige Testfunktion $\omega \in C_0^0((0,\epsilon ),ℝ)$ mit der Eigenschaft $\underset{{ℝ}^n}{\int }\omega (|u|)du=1$. Dann gilt für alle $k\ge k_0(\epsilon )$ und $l\ge l_0(k)$ die Identität

$d(h_k,\mathrm{\Omega },z)=d(h_{kl},\mathrm{\Omega },z)=\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }\omega (|h_{kl}(x)-z|)J_{h_{kl}}(x)dx$

$=\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }\omega (|g_k(f_l(x))-z|)J_{g_k}(f_l(x))J_{f_l}(x)dx.$

Setzen wir

${\phi }_k(y):=\omega (|g_k(y)-z|)J_{g_k}(y)\in C_0^0({ℝ}^n\setminus E)$ für $k\ge k_0$,

dann gilt

$d(h_k,\mathrm{\Omega },z)=\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }{\phi }_k(f_l(x))J_{f_l}(x)dx=\sum _{i=1}^{N_0}d(f,\mathrm{\Omega },D_i)\underset{D_i}{\int }{\phi }_k(y)dy$

für $k\ge k_0$. Hierbei sind nur endlich viele Terme der Summe ungleich 0. Beachten wir noch

$\underset{D_i}{\int }{\phi }_k(y)dy=\underset{D_i}{\int }\omega (|g_k(y)-z|)J_{g_k}(y)dy=d(g_k,D_i,z),k\ge k_0,$

so folgt

$d(h_k,\mathrm{\Omega },z)=\sum _{i=1}^{N_0}d(f,\mathrm{\Omega },D_i)d(g_k,D_i,z)$

Nun gibt es ein $k_1\ge k_0$, so dass

$d(h_k,\mathrm{\Omega },z)=d(h,\mathrm{\Omega },z)$ für alle $k\ge k_1$

gilt. Weiter gibt es ein $k_2\ge k_1$, so dass

$d(g_k,D_i,z)=d(g,D_i,z)$ für alle $k\ge k_1$ und alle $i=1,\dots ,N_0$

richtig ist. Insgesamt erhalten wir

$d(h,\mathrm{\Omega },z)=\sum _{i=1}^{N_0}d(f,\mathrm{\Omega },D_i)d(g,D_i,z).$

q.e.d.

§6 Die Sätze von Jordan-Brouwer

Satz 1 (Jordan-Brouwer)

Gegeben seien zwei homöomorphe kompakte Mengen $F$ und $F^{*}$ im ${ℝ}^n$. Dann gilt $N(F)=N(F^{*})$.

Beweis

Da $F$ und $F^{*}$ homöomorph sind, gibt es eine topologische Abbildung $\hat{f}:F\to F^{*}$ mit der Umkehrabbildung ${\hat{f}}^{-1}:F^{*}\to F$. Mit dem Tietzeschen Ergänzungssatz konstruieren wir Abbildungen $f,g\in C^0({ℝ}^n)$ mit $f(x)=\hat{f}(x)$ für alle $x\in F$ und $g(y)={\hat{f}}^{-1}(y)$ für alle $y\in F^{*}$. Wir nehmen nun

$N:=N(F)\ne N(F^{*})=:N^{*}$

an und können ohne Einschränkung von $N^{*}<N$ ausgehen. Somit ist $N^{*}$ endlich. Wir bezeichnen mit $\{D_i{\}}_{i=1,\dots ,N}$ und $\{D_i^{*}{\}}_{i=1,\dots ,N^{*}}$ die beschränkten Zusammenhangskomponenten von ${ℝ}^n\setminus F$ bzw. ${ℝ}^n\setminus F^{*}$. Ist $z\in D_k$ und $k\in \{1,\dots ,N^{*}+1\}$, so liefert der Produktsatz

${\delta }_{ik}=d(g\circ f,D_i,D_k)=d(g\circ f,D_i,z)=\sum _{j=1}^{N^{*}}\underset{:=a_{ij}}{\underbrace{d(f,D_i,D_j^{*})}}\underset{:=b_{jk}}{\underbrace{d(g,D_j^{*},z)}}$

$=\sum _{j=1}^{N^{*}}{a}_{ij}{b}_{jk}$ für $i,k=1,\dots ,N^{*}+1$.

Nun gibt es ein $\xi =({\xi }_1,\dots ,{\xi }_{N^{*}+1})\in {ℝ}^{N^{*}+1}\setminus \{0\}$ mit

$\sum _{k=1}^{N^{*}+1}{b}_{jk}{\xi }_k=0$ für $j=1,\dots ,N^{*}$.

Somit erhalten wir in

${\xi }_i=\sum _{j=1}^{N^{*}}\sum _{k=1}^{N^{*}+1}{a}_{ij}{b}_{jk}=\sum _{j=1}^{N^{*}}{a}_{ij}\left(\sum _{k=1}^{N^{*}+1}{b}_{jk}{\xi }_k\right)=0,i=1,\dots ,N^{*}+1$

einen Widerspruch. Die Annahme war also falsch, es gilt die Gleichheit.

q.e.d.

Satz 2 (Jordan-Brouwer)

Sei $S^{*}\subset {ℝ}^n$ homöomorph zur Einheitssphäre $S=\{x\in {ℝ}^n:|x|=1\}$ mit der topologischen Abbildung $\hat{f}:S\to S^{*}$. Dann zerlegt die topologische Sphäre $S^{*}$ den ${ℝ}^n$ in ein beschränktes Gebiet $G_1$, das wir Innengebiet nennen und ein unbeschränktes Gebiet $G_2$, das wir Außengebiet nennen. Für $\hat{f}$ gilt

$v(\hat{f},S,z)=\{\begin{array}{cc}\pm 1,& f\ddot{u}rz\in G_1\\ 0,& f\ddot{u}rz\in G_2\end{array}$

Beweis

Wie im Beweis von Satz 1 setzen wir die Abbildungen $\hat{f}:S\to S^{*}$ und ${\hat{f}}^{-1}:S^{*}\to S$ zu stetigen Abbildungen $f$ bzw. $g$ auf den ${ℝ}^n$ fort. Da die Sphäre $S$ den ${ℝ}^n$ in ein Innengebiet und ein Außengebiet zerlegt, folgt

$N(S^{*})=N(S)=1$

nach Satz 1. Für die Abbildung $g\circ f$ gilt $g\circ f(x)=x$ für alle $x\in S$. Der Produktsatz liefert

$1=d(g\circ f,B,0)=d(f,B,G_1)d(g,G_1,0),B:=B_1(0).$

Aus der Ganzzahligkeit des Abbildungsgrades folgt für $z\in G_1$

$v(\hat{f},S,z)=d(f,B,G_1)=\pm 1.$

q.e.d.

Satz 3 (Gebietsinvarianz)

Sei $G\subset {ℝ}^n$ ein Gebiet und $f:G\to {ℝ}^n$ eine stetige, injektive Abbildung. Dann ist $G^{*}:=f(G)$ wieder ein Gebiet.

Beweis

Da $G$ zusammenhängend und $f$ stetig ist, folgt zunächst, dass $G^{*}=f(G)$ zusammenhängend ist. Wir zeigen die Offenheit von $G^{*}$: Sei $z\in G$ beliebig und $\varrho >0$ so klein gewählt, dass $\overline{B_{\varrho }(z)}\subset G$ erfüllt ist. Für die stetige, injektive Abbildung

$g(x):=f(x)-f(z),x\in \overline{B_{\varrho }(z)}$

gilt $i(g,z)=\pm 1$. Somit folgt

$d(f,B_{\varrho }(z),f(z))=d(g,B_{\varrho }(z),0)=\pm 1.$

Mit einem hinreichend kleinen $\epsilon >0$ gilt $|f(x)-f(z)|>\epsilon$ für alle $x\in \partial B_{\varrho }(z)$. Wir erhalten nun aus dem Homotopiesatz

$d(f,B_{\varrho }(z),\zeta )=d(f,B_{\varrho }(z),f(z))=\pm 1$ für $|\zeta -f(z)|<\frac{\epsilon }{2}$.

Für alle $\zeta \in {ℝ}^n$ mit $|\zeta -f(z)|<\frac{\epsilon }{2}$ existiert also ein $x\in B_{\varrho }(z)$ mit $f(x)=\zeta$. Das bedeutet $B_{\frac{\epsilon }{2}}(f(z))\subset f(G)$. Somit ist $f$ eine offene Abbildung und die Menge $G^{*}=f(G)$ ist ein Gebiet.

q.e.d.

Satz 4 (Jordan-Brouwer)

Jede topologische Sphäre $S^{*}\subset {ℝ}^n$ zerlegt den ${ℝ}^n$ in ein Innengebiet $G_1$ und ein Außengebiet $G_2$, d. h.

${ℝ}^n=G_1\dot{\cup }{S}^{*}\dot{\cup }{G}_2$

und es gilt $\partial G_1=S^{*}=\partial G_2$.

Beweis

Wir haben nur $\partial G_i=S^{*}$ für $i=1,2$ zu zeigen. Sei $f:S\to S^{*}$ die topologische Abbildung und sei $\tilde{x}\in S^{*}$ ein beliebiger Punkt. Wir setzen dann $\xi :=f^{-1}(\tilde{x})\in S$ und betrachten die Mengen

$E:=\{x\in S:|x-\xi |\le \epsilon \},F:=\{x\in S:|x-\xi |\ge \epsilon \}$

mit $S=E\cup F$. Gehen wir zu den Bildmengen $E^{*}:=f(E)$ und $F^{*}:=f(F)$ über, so folgt $S^{*}=E^{*}\cup F^{*}$. Da ${ℝ}^n\setminus F$ zusammenhängend ist, bleibt nach Satz 1 auch ${ℝ}^n\setminus F^{*}$ zusammenhängend. Somit gibt es zu festen Punkten $a_1\in G_1$ und $a_2\in G_2$ einen stetigen Weg $\pi$, der $a_1$ und $a_2$ verbindet und $F^{*}$ nicht trifft. Da jedoch $S^{*}$ die Gebiete $G_1$ und $G_2$ trennt, folgt $\pi \cap S^{*}\ne \mathrm{\varnothing }$ und somit $\pi \cap E^{*}\ne \mathrm{\varnothing }$. Ist nun ${a_1}^{\prime }\in \pi$ der erste Punkt von $a_1$, der $E^{*}$ trifft und ${a_2}^{\prime }\in \pi$ der erste Punkt von $a_2$, der $E^{*}$ trifft, so wählen wir Punkte ${a_i}^{″}\in G_i$ für $i=1,2$ auf $\pi$ mit $|{a_i}^{″}-{a_i}^{\prime }|\le \epsilon$. Lassen wir nun $\epsilon \downarrow 0$ sächsischen erhalten wir Punktfolgen $\{a^{\prime }{\text{'}}_{i,j}{\}}_{j=1,2,\dots }\subset G_i,i=1,2$ mit

$\underset{j\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_{i^{″},j}=\tilde{x}$ für $i=1,2$.

Somit folgt $\partial G_1=S^{*}=\partial G_2$.

q.e.d.