Kurs:Analysis III/Kapitel II: Grundlagen der Funktionalanalysis/§6 Banach- und Hilberträume

Definition 1

Sei $ℳ$ ein reeller (bzw. komplexer) linearer Raum, d. h.

$f,g\in ℳ,\alpha ,\beta \in ℝ$ (bzw. $ℂ$) $⟹\alpha f+\beta g\in ℳ$.

Dann nennen wir $ℳ$ einen normierten reellen (bzw. komplexen) linearen Raum oder normierten Vektorraum, wenn eine Funktion

$\Vert \cdot \Vert :ℳ\to [0,+\mathrm{\infty })$

existiert mit den folgenden Eigenschaften:

(N1) $\Vert f\Vert =0⟺f=0;$

(N2) Dreiecksungleichung: $\Vert f+g\Vert \le \Vert f\Vert +\Vert g\Vert$ für alle $f,g\in ℳ$;

(N3) Homogenität: $\Vert \lambda f\Vert =|\lambda |\Vert f\Vert$ für alle $f\in ℳ,\lambda \in ℝ$ (bzw. $ℂ$).

Die Funktion $\Vert \cdot \Vert$ nennen wir die Norm auf $ℳ$.

Definition 2

Der normierte Vektorraum $ℳ$ heißt vollständig, falls jede Cauchy-Folge in $ℳ$ konvergiert, d. h. ist $\{f_n\}\subset ℳ$ eine Folge mit

$\underset{k,l\to \mathrm{\infty }}{\lim }\Vert f_k-f_l\Vert =0,$

so gibt es ein $f\in ℳ$ mit

$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }\Vert f-f_k\Vert =0.$

Definition 3

Ein vollständiger normierter Vektorraum heißt Banachraum.

Definition 4

Ein komplexer linearer Raum ${\mathscr{H}}^{\prime }$ heißt Prä-Hilbertraum, falls in ${\mathscr{H}}^{\prime }$ ein Skalarprodukt definiert ist, d. h. eine Funktion

$(\cdot ,\cdot ):{\mathscr{H}}^{\prime }\times {\mathscr{H}}^{\prime }\to ℂ$

mit den folgenden Eigenschaften:

(H1) $(f+g,h)=(f,h)+(g,h)$ für alle $f,g,h\in {\mathscr{H}}^{\prime }$;

(H2) $(f,\lambda g)=\lambda (f,g)$ für alle $f,g\in {\mathscr{H}}^{\prime },\lambda \in ℂ$;

(H3) Hermitescher Charakter: $(f,g)=\overline{(g,h)}$ für alle $f,g\in {\mathscr{H}}^{\prime }$;

(H4) Positive Definitheit: $(f,f)>0$, falls $f\ne 0$.

Definition 5

Ein Prä-Hilbertraum $\mathscr{H}$ nennen wir einen Hilbertraum, falls $\mathscr{H}$ mit der Norm

$\Vert f\Vert :=\sqrt{(f,f)},f\in \mathscr{H}$

vollständig, d. h. ein Banachraum ist.

Satz 1 (Projektionssatz)

Sei $ℳ\subset \mathscr{H}$ ein abgeschlossener, linearer Teilraum eines Hilbertraumes $\mathscr{H}$. Dann gilt für alle Elemente $f\in \mathscr{H}$ die folgende Darstellung:

$f=g+h$ mit $g\in ℳ$ und $h\in {ℳ}^{\perp }$.

Die Elemente $g$ und $h$ sind dabei eindeutig bestimmt.

Beweis

1. Wir zeigen zunächst die Eindeutigkeit. Sei ein Element $f\in \mathscr{H}$ mit

$f=g_1+h_1=g_2+h_2,g_j\in \mathscr{H},h_j\in {\mathscr{H}}^{\perp }$

gegeben. Zunächst sehen wir

$0=f-f=(g_1-g_2)+(h_1-h_2).$

Die Eindeutigkeit folgt nun aus

$0=\Vert (g_1-g_2)+(h_1-h_2){\Vert }^2=((g_1-g_2)+(h_1-h_2),(g_1-g_2)+(h_1-h_2))$

$=\Vert g_1-g_2{\Vert }^2+\Vert h_1-h_2{\Vert }^2.$

2. Es bleibt die Existenz der gewünschten Darstellung zu zeigen. Zu vorgegebenem $f\in \mathscr{H}$ lösen wir folgendes Variationsproblem: Finde ein $g\in ℳ$, so dass

$\Vert f-g\Vert =\underset{\tilde{g}\in ℳ}{\inf }\Vert f-\tilde{g}\Vert =:d$

gilt. Wir wählen zunächst eine Folge $\{g_k\}\subset ℳ$ mit der Eigenschaft

$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }\Vert f-g_k\Vert =d.$

Wir zeigen, dass diese Folge gegen ein $g\in ℳ$ konvergiert. Hierzu benutzen wir die Parallelogrammgleichung

${\Vert \frac{\phi +\psi }{2}\Vert }^2+{\Vert \frac{\phi -\psi }{2}\Vert }^2=\frac{1}{2}(\Vert \phi {\Vert }^2+\Vert \psi {\Vert }^2)$ für alle $\phi ,\psi \in \mathscr{H}$,

die man durch Ausrechnen der Skalarprodukte auf beiden Seiten leicht überprüft. Diese wenden wir nun auf die Elemente

$\phi =f-g_k,\psi =f-g_l,k,l\in \mathbb{N}$

an und erhalten

${\Vert f-\frac{g_k+g_l}{2}\Vert }^2+{\Vert \frac{g_k-g_l}{2}\Vert }^2=\frac{1}{2}(\Vert f-g_k{\Vert }^2+\Vert f-g_l{\Vert }^2).$

Umstellen dieser Gleichungen bringt

$0\le {\Vert \frac{g_k-g_l}{2}\Vert }^2=\frac{1}{2}(\Vert f-g_k{\Vert }^2+\Vert f-g_l{\Vert }^2)-{\Vert f-\frac{g_k+g_l}{2}\Vert }^2$

$\le \frac{1}{2}(\Vert f-g_k{\Vert }^2+\Vert f-g_l{\Vert }^2)-d^2.$

Nach Ausführen des Grenzübergangs $k,l\to \mathrm{\infty }$ folgt nun die Cauchy-Folgen-Eigenschaft für die Folge $\{g_k\}$. Aus der Abgeschlossenheit des linearen Teilraumes $ℳ$ folgt damit, dass ein Grenzwert $g\in ℳ$ der Folge $\{g_k\}$ existiert.
Wir zeigen schließlich $h=(f-g)\in {ℳ}^{\perp }$ und erhalten dann die gewünschte Darstellung

$f=g+(f-g)=g+h.$

Sei $\phi \in ℳ$ beliebig gewählt und $\epsilon \in (-{\epsilon }_0,{\epsilon }_0)$, so folgt

$\Vert (f-g)+\epsilon \phi {\Vert }^2\ge d^2=\Vert f-g{\Vert }^2.$

Zunächst ist nun

$\Vert f-g{\Vert }^2+2\epsilon \mathrm{Re}(f-g,\phi )+{\epsilon }^2\Vert \phi {\Vert }^2\ge \Vert f-g{\Vert }^2,$

also

$2\epsilon \mathrm{Re}(f-g,\phi )+{\epsilon }^2\Vert \phi {\Vert }^2\ge 0$

und zwar für alle $\phi \in ℳ$ und alle $\epsilon \in (-{\epsilon }_0,{\epsilon }_0)$. Es muss also

$\mathrm{Re}(f-g,\phi )=0$ für alle $\phi \in ℳ$

gelten. Ersetzen wir $\phi$ durch $i\phi$, so erhalten wir $(f-g,\phi )=0$. Da $\phi$ beliebig aus $ℳ$ gewählt wurde, ist $(f-g)\in {ℳ}^{\perp }$ gezeigt.

q.e.d.

Definition 6

Seien $\{{ℳ}_1,\Vert \cdot {\Vert }_1\}$ und $\{{ℳ}_2,\Vert \cdot {\Vert }_2\}$ zwei normierte lineare Räume und $A:{ℳ}_1\to {ℳ}_2$ eine lineare Abbildung. Dann heißt $A$ stetig im Punkte $f\in {ℳ}_1$, wenn es für alle $\epsilon >0$ ein $\delta =\delta (\epsilon ,f)>0$ gibt, so dass gilt

$g\in {ℳ}_1:\Vert g-f{\Vert }_1<\delta \Rightarrow \Vert A(g)-A(f){\Vert }_2<\epsilon .$

Definition 7

Für ein beschränktes, lineares Funktional $A:ℳ\to ℂ$ auf dem normierten, linearen Raum $ℳ$ nennen wir

$\Vert A\Vert :=\underset{f\in ℳ,\Vert f\Vert \le 1}{\sup }|A(f)|$

die Norm des Funktionals $A$.

Definition 8

Mit

${ℳ}^{*}:=\{A:ℳ\to ℂ:Aistbeschr\ddot{a}nktaufℳ\}$

bezeichnen wir den Dualraum des normierten, linearen Raumes $ℳ$.

Satz 2 (Darstellungssatz von Fréchet-Riesz)

Jedes beschränkte, lineare Funktional $A:\mathscr{H}\to ℂ$ auf einem Hilbertraum $\mathscr{H}$ lässt sich in der Form

$A(f)=(g,f)$ für alle $f\in \mathscr{H}$

mit einem eindeutig bestimmten, erzeugenden Element $g\in \mathscr{H}$ darstellen.

Beweis

1. Wir zeigen zunächst die Eindeutigkeit. Seien $f\in \mathscr{H}$ und $g_1,g_2\in \mathscr{H}$ zwei erzeugende Elemente. Dann gilt

$A(f)=(g_1,f)=(g_2,f)$ für alle $f\in \mathscr{H}$.

Wir subtrahieren beide Gleichungen voneinander und erhalten

$(g_1,f)-(g_2,f)=(g_1-g_2,f)=0$ für alle $f\in \mathscr{H}$.

Wählen wir nun $f=g_1-g_2$, so folgt $g_1=g_2$ wegen

$0=(g_1-g_2,g_1-g_2)=\Vert g_1-g_2{\Vert }^2.$

2. Zum Nachweis der Existenz von $g$ betrachten wir

$ℳ:=\{f\in \mathscr{H}:A(f)=0\}\subset \mathscr{H}.$

$ℳ$ ist ein abgeschlossener linearer Teilraum von $\mathscr{H}$.

i.) Sei $ℳ=\mathscr{H}$. Dann folgt für $g=0\in \mathscr{H}$ unmittelbar die Identität

$A(f)=(g,f)=0$ für alle $f\in \mathscr{H}$.

ii.) Sei $ℳ⫋\mathscr{H}$. Nach dem Projektionssatz gilt $\mathscr{H}=ℳ\oplus {ℳ}^{\perp }$ mit $\{0\}\ne {ℳ}^{\perp }$. Es existiert also ein $h\in {ℳ}^{\perp }$ mit $h\ne 0$. Wir bestimmen nun ein $\alpha \in ℂ$, so dass für $g=\alpha h$ die Identität

$A(h)=(g,h)$

oder, was äquivalent dazu ist,

$A(h)=(g,h)=(\alpha h,h)=\bar{\alpha }(h,h)=\bar{\alpha }\Vert h{\Vert }^2$

bzw.

$g=\frac{\overline{A(h)}}{\Vert h{\Vert }^2}h.$

Nun gilt $A(f)=(g,f)$ für alle $f\in ℳ$ und für $f=h$. Für beliebiges $f\in \mathscr{H}$ setze nun $c:=\frac{A(f)}{A(h)}$. Dann gelten für $\tilde{f}:=f-ch$ die Identität

$A(\tilde{f})=A(f)-cA(h)=A(f)-\frac{A(f)}{A(h)}A(h)=0$

und somit $\tilde{f}\in ℳ$. Wir haben also für $f\in \mathscr{H}$ die Darstellung $f=\tilde{f}+ch$, wobei $\tilde{f}\in ℳ$ und $ch\in {ℳ}^{\perp }$ gelten. Damit wird

$A(f)=A(\tilde{f})+cA(h)=(g,\tilde{f})+c(g,h)=(g,\tilde{f}+ch)=(g,f)$

richtig für alle $f\in \mathscr{H}$.

Definition 9

Einen Banachraum nennen wir separabel, falls es eine Folge $\{f_k\}\subset ℬ$ gibt, die in $ℬ$ dicht liegt, d. h. zu jedem $f\in ℬ$ und jedem $\epsilon >0$ gibt es ein $k\in \mathbb{N}$ mit

$\Vert f-f_k\Vert <\epsilon .$

Definition 10

Sei ${\mathscr{H}}^{\prime }$ ein Prä-Hilbertraum. Ein System von abzählbar unendlich vielen Elementen $\{{\phi }_1,{\phi }_2,\dots \}\subset {\mathscr{H}}^{\prime }$ nennen wir orthonormiert, falls

$({\phi }_i,{\phi }_j)={\delta }_{ij},i,j\in \mathbb{N}$

richtig ist.

Definition 11

Ein Orthonormalsystem $\{{\phi }_k\}$ heißt vollständig, kurz v. o. n. S., wenn für jedes $f\in {\mathscr{H}}^{\prime }$ des Prä-Hilbertraumes ${\mathscr{H}}^{\prime }$ die Vollständigkeitsrelation

$\Vert f{\Vert }^2=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}|({\phi }_k,f){|}^2$

erfüllt ist.