Kurs:Analysis III/Kapitel I: Differentiation und Integration auf Mannigfaltigkeiten/§6 Kurvenintegrale

Definition 1

Seien $\mathrm{\Omega }\subset {ℝ}^n,n\ge 2$ ein Gebiet und $P,Q\in \mathrm{\Omega }$ zwei Punkte. Dann definieren wir die Klasse $𝒞(\mathrm{\Omega },P,Q)$ der stückweise stetig differenzierbaren Wege in $\mathrm{\Omega }$ von $P$ nach $Q$ gemäß

$𝒞(\mathrm{\Omega },P,Q):=\{X(t):[a,b]\to \mathrm{\Omega }\in C^0([a,b]):-\mathrm{\infty }<a<b<+\mathrm{\infty },$

$X(a)=P,X(b)=Q;esgibteineZerlegunga=t_0<t_1<\dots <t_N=b,sodass$

$X{|}_{[t_i,t_{i+1}]}\in C^1([t_i,t_{i+1}],\mathrm{\Omega })f\ddot{u}ri=0,\dots ,N-1gilt\}.$

Mit

$𝒞(\mathrm{\Omega }):=\bigcup _{P\in \mathrm{\Omega }}𝒞(\mathrm{\Omega },P,P)$

erhalten wir die Menge der geschlossenen Wege in $\mathrm{\Omega }$. Falls $X(t)\equiv P,a\le t\le b$ gilt, so sprechen wir von einer Punktkurve.

Definition 2

Seien

$\omega =\sum _{i=1}^n{f}_i(x)d{x}_i,x\in \mathrm{\Omega }$

eine stetige Pfaffsche Form in dem Gebiet $\mathrm{\Omega }$ und $X\in 𝒞(\mathrm{\Omega },P,Q)$ ein stückweise stetig differenzierbarer Weg zwischen den Punkten $P,Q\in \mathrm{\Omega }$. Mit

$X^{(j)}:=X{|}_{[t_j,t_{j+1}]}\in C^1([t_j,t_{j+1}]),j=0,\dots ,N-1$

setzen wir

$\underset{X}{\int }\omega :=\sum _{j=0}^{N-1}\underset{X^{(j)}}{\int }\omega =\sum _{j=0}^{N-1}\underset{t_j}{\overset{t_{j+1}}{\int }}\sum _{i=1}^n{f}_i(X(t)){x_i}^{\prime }(t)dt$

für das Wegintegral von $\mathrm{\Omega }$ über $X$.

Definition 3

Sei

$\omega =\sum _{i=1}^n{f}_i(x)d{x}_i,x\in \mathrm{\Omega }$

eine stetige Pfaffsche Form im Gebiet $\mathrm{\Omega }\subset {ℝ}^n$. Wir nennen dann $F(x)\in C^1(\mathrm{\Omega })$ eine Stammfunktion von $\omega$, falls

$dF=\omega$ in $\mathrm{\Omega }$

bzw.

$F_{x_i}(x)=f_i(x)$ für $x\in \mathrm{\Omega }$ und $i=1,\dots ,n$

gilt. Falls $\omega$ eine Stammfunktionen besitzt, sprechen wir von einer exakten Pfaffschen Form.

Satz 1 (Erster Hauptsatz über Kurvenintegrale)

Seien $\mathrm{\Omega }\subset {ℝ}^n$ ein Gebiet und $\omega$ eine stetige Pfaffsche Form in $\mathrm{\Omega }$. Genau dann besitzt $\omega$ eine Stammfunktion $F$ in $\mathrm{\Omega }$, wenn für jede geschlossene Kurve $X\in 𝒞(\mathrm{\Omega },P,P)$ mit einem $P\in \mathrm{\Omega }$ die Identität

$\underset{X}{\int }\omega =0$

richtig ist. In diesem Fall erhalten wir eine Stammfunktion wie folgt: Für ein festes $P\in \mathrm{\Omega }$ und ein beliebiges $Q\in \mathrm{\Omega }$ gilt

$F(Q):=\gamma +\underset{Y}{\int }\omega ,Y\in 𝒞(\mathrm{\Omega },P,Q),$

wobei $\gamma \in ℝ$ eine Konstante ist.

Beweis

1. $\omega$ besitzt eine Stammfunktion $F$, das heißt

$\omega =\sum _{i=1}^n{f}_i(x)d{x}_i=\sum _{i=1}^n{F}_{x_i}(x)d{x}_i,x\in \mathrm{\Omega }.$

Seien nun $X\in 𝒞(\mathrm{\Omega },P,P)$ mit $P\in \mathrm{\Omega }$ sowie

$X^{(j)}:=X{|}_{[t_j,t_{j+1}]}\in C^1([t_j,t_{j+1}]),j=0,\dots ,N-1$

gegeben. Dann folgt

$\underset{X}{\int }\omega =\sum _{j=0}^{N-1}\underset{X^{(j)}}{\int }\omega =\sum _{j=0}^{N-1}\underset{t_j}{\overset{t_{j+1}}{\int }}\left(\sum _{i=1}^n{F}_{x_i}\right(X(t)){x_i}^{\prime }(t)dt)$

$=\sum _{j=0}^{N-1}\underset{t_j}{\overset{t_{j+1}}{\int }}\frac{d}{dt}F(X(t))dt=\sum _{j=0}^{N-1}\left\{F\right(X(t_{j+1}))-F(X(t_j)\left)\right\}$

$=F(X(t_N))-F(X(t_0))=F(P)-F(P)=0.$

2. Nun sei

$\underset{X}{\int }\omega =0$ für alle $X\in 𝒞(\mathrm{\Omega },P,P)$ mit $P\in \mathrm{\Omega }$

erfüllt. Zu festem $P\in \mathrm{\Omega }$ und beliebigem $Q\in \mathrm{\Omega }$ wählen wir einen Weg

$X\in 𝒞(\mathrm{\Omega },P,Q)$

und erklären

$F(Q):=\underset{X}{\int }\omega .$

Wir haben die Unabhängigkeit dieser Definition von der Auswahl der Kurve $X$ zu zeigen. Sei also

$Y\in 𝒞(\mathrm{\Omega },P,Q)$

eine weitere Kurve, so müssen wir

$\underset{X}{\int }\omega =\underset{Y}{\int }\omega$

nachweisen. Zu $X:[a,b]\to {ℝ}^n$ und $Y:[c,d]\to {ℝ}^n$ betrachten wir die Kurve

$Z(t):=\{\begin{array}{c}X(t),t\in [a,b]\\ Y(b+d-t),t\in [b,b+d-c]\end{array}$.

Offensichtlich gilt $Z\in 𝒞(\mathrm{\Omega },P,P)$ und es folgt

$0=\underset{Z}{\int }\omega =\underset{X}{\int }\omega -\underset{Y}{\int }\omega ,$

also

$\underset{X}{\int }\omega =\underset{Y}{\int }\omega .$

3. Schließlich haben wir noch

$F_{x_i}(Q)=f_i(Q),i=1,\dots ,n$

zu zeigen. Hierzu gehen wir bei festem $i\in \{1,\dots ,n\}$ von $Q$ zu

$Q_{\epsilon }:=Q+\epsilon e_i,e_i:=(0,\dots ,\underset{\text{i-te}}{\underbrace{1}},\dots ,0)$

auf dem Weg

$Y(t):=[0,\epsilon ]\to ℝ,Y(t)=Q+t{e}_i.$

Nun ist

$F(Q_{\epsilon })=F(Q)+F(Q_{\epsilon })-F(Q)=F(Q)+\underset{Y}{\int }\omega$

$=F(Q)+\underset{0}{\overset{\epsilon }{\int }}\sum _{i=1}^n{f}_i(Y(t)){y_i}^{\prime }(t)dt$

$=F(Q)+\underset{0}{\overset{\epsilon }{\int }}{f}_i(Q+t{e}_i)dt$

und wir erhalten schließlich

$\frac{d}{d{x}_i}F{|}_Q=\frac{d}{d\epsilon }F(Q_{\epsilon }){|}_{\epsilon =0}=f_i(Q),i=1,\dots ,n,$

weshalb die Behauptung folgt.

q.e.d.

Definition 4

Eine $m$-Form $\omega \in C^1(\mathrm{\Omega })$ in einem Gebiet $\mathrm{\Omega }\subset {ℝ}^n$ heißt geschlossen, falls $d\omega =0$ in $\mathrm{\Omega }$ gilt.

Definition 5

Sei $\mathrm{\Omega }\subset {ℝ}^n$ ein Gebiet. Zwei geschlossene Kurven

$X(t):[a,b]\to \mathrm{\Omega },Y(t):[a,b]\to \mathrm{\Omega },X,Y\in 𝒞(\mathrm{\Omega })$

heißen homotop in $\mathrm{\Omega }$, falls es eine Abbildung

$Z(t,s):[a,b]\times [0,1]\to \mathrm{\Omega }\in C^0([a,b]\times [0,1],{ℝ}^n)$

mit den Eigenschaften

$Z(a,s)=Z(b,s)$ für alle $s\in [0,1]$

sowie

$Z(t,0)=X(t),Z(t,1)=Y(t)$ für alle $t\in [a,b]$

gibt.

Satz 2 (Zweiter Hauptsatz über Kurvenintegrale)

Sei $\mathrm{\Omega }\subset {ℝ}^n$ ein Gebiet, in dem die beiden geschlossenen Kurven $X,Y\in 𝒞(\mathrm{\Omega })$ zueinander homotop sind. Schließlich sei

$\omega =\sum _{i=1}^n{f}_i(x)d{x}_i,x\in \mathrm{\Omega }$

eine geschlossene Pfaffsche Form der Klasse $C^1(\mathrm{\Omega })$. Dann gilt

$\underset{X}{\int }\omega =\underset{Y}{\int }\omega .$

Beweis

1. Seien $X,Y\in 𝒞(\mathrm{\Omega })$ zwei zueinander homotope, geschlossene Kurven. Dann gibt es eine stetige Funktion

$Z(t,s):[a,b]\times [0,1]\to \mathrm{\Omega }\in C^0([a,b]\times [0,1],{ℝ}^n)$

mit den Eigenschaften

$Z(a,s)=Z(b,s)$ für alle $s\in [0,1]$

sowie

$Z(t,0)=X(t),Z(t,1)=Y(t)$ für alle $t\in [a,b]$.

Wir setzen $Z$ auf das Rechteck $[a,b]\times [-2,3]$ fort zu

$\mathrm{\Phi }(t,s):=\{\begin{array}{c}X(t),(t,s)\in [a,b]\times [-2,0]\\ Z(t,s),(t,s)\in [a,b]\times [0,1]\\ Y(t),(t,s)\in [a,b]\times [1,3]\end{array}$.

Mittels

$\mathrm{\Phi }(t+k(b-a),s)=\mathrm{\Phi }(t,s)$ für $t\in ℝ,s\in [-2,3]$ und $k\in \mathbb{Z}$

setzen wir die Funktion auf den Streifen $ℝ\times [-2,3]$ fort zu einer stetigen, in der ersten Variablen periodischen Funktion mit der Periode $(b-a)$.

2. In dem Quader $Q:=[a,b]\times [-1,2]$ betrachten wir die Funktion

${\mathrm{\Phi }}^{\epsilon }(u,v):=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{\Phi }(\xi ,\eta ){\chi }_{u,\epsilon }(\xi ){\chi }_{v,\epsilon }(\eta )d\xi d\eta$ für alle $0<\epsilon <1$.

Nun ist ${\mathrm{\Phi }}^{\epsilon }\in C^{\mathrm{\infty }}(Q)$ erfüllt und es gilt

${\mathrm{\Phi }}^{\epsilon }(u,v)\to \mathrm{\Phi }(u,v)$ für $\epsilon \to 0$ gleichmäßig in $[a,b]\times [-1,2]$.

Somit folgt ${\mathrm{\Phi }}^{\epsilon }(Q)\subset \mathrm{\Omega },0<\epsilon <{\epsilon }_0$. Weiter ist

${\mathrm{\Phi }}^{\epsilon }(u+k(b-a),v)={\mathrm{\Phi }}^{\epsilon }(u,v)$ für alle $(u,v)\in ℝ\times [-1,2],k\in \mathbb{Z}$

erfüllt und für $a\le u\le b$ haben wir

${\mathrm{\Phi }}^{\epsilon }(u,-1)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{\Phi }(\xi ,\eta ){\chi }_{u,\epsilon }(\xi ){\chi }_{-1,\epsilon }(\eta )d\xi d\eta$

$=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}X(\xi ){\chi }_{u,\epsilon }(\xi ){\chi }_{-1,\epsilon }(\eta )d\xi d\eta$

$=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}X(\xi ){\chi }_{u,\epsilon }(\xi )d\xi =X^{\epsilon }(u)$

und ebenso

${\mathrm{\Phi }}^{\epsilon }(u,2)=Y^{\epsilon }(u),a\le u\le b.$

3. Mit dem Stokesschen Integralsatz für den Quader $Q$ erhalten wir für alle $0<\epsilon <{\epsilon }_0$

$\underset{X^{\epsilon }}{\int }\omega -\underset{Y^{\epsilon }}{\int }\omega =\underset{\partial Q}{\oint }{\omega }_{{\mathrm{\Phi }}^{\epsilon }}=\underset{Q}{\int }d({\omega }_{{\mathrm{\Phi }}^{\epsilon }})=\underset{Q}{\int }(d\omega {)}_{{\mathrm{\Phi }}^{\epsilon }}=0.$

Für $\epsilon \to 0+$ ergibt sich mit

$0=\underset{\epsilon \to 0+}{\lim }(\underset{X^{\epsilon }}{\int }\omega -\underset{Y^{\epsilon }}{\int }\omega )=\underset{X}{\int }\omega -\underset{Y}{\int }\omega$

die Behauptung.

q.e.d.

Definition 6

Seien das Gebiet $\mathrm{\Omega }\subset {ℝ}^n$ sowie die Punkte $P,Q\in \mathrm{\Omega }$ gegeben. Zwei Kurven

$X(t),Y(t):[a,b]\to \mathrm{\Omega }\in 𝒞(\mathrm{\Omega },P,Q)$

heißen homotop in $\mathrm{\Omega }$ mit festem Anfangspunkt $P$ und Endpunkt $Q$, falls es eine stetige Abbildung

$Z(t,s):[a,b]\times [0,1]\to \mathrm{\Omega }$

mit den folgenden Eigenschaften gibt:

$Z(a,s)=P,Z(b,s)=Q$ für alle $s\in [0,1]$

sowie

$Z(t,0)=X(t),Z(t,1)=Y(t)$ für alle $t\in [a,b]$.

Definition 7

Ein Gebiet $\mathrm{\Omega }\subset {ℝ}^n$ heißt einfach zusammenhängend, falls jede geschlossene Kurve $X(t)\in 𝒞(\mathrm{\Omega })$ homotop zu einer Punktkurve in $\mathrm{\Omega }$ ist, jede geschlossene Kurve sich also auf einen Punkt zusammenziehen lässt.

Satz 3 (Kurvenintegrale in einfach zusammenhängenden Gebieten)

Seien $\mathrm{\Omega }\subset {ℝ}^n$ ein einfach zusammenhängendes Gebiet und

$\omega =\sum _{i=1}^n{f}_i(x)d{x}_i,x\in \mathrm{\Omega }$

eine Pfaffsche Form der Klasse $C^1(\mathrm{\Omega })$. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:

1. $\omega$ ist eine exakte Pfaffsche Form, besitzt also eine Stammfunktion $F$.

2. Für alle $X\in 𝒞(\mathrm{\Omega },P,P)$ mit einem $P\in \mathrm{\Omega }$ gilt

$\underset{X}{\int }\omega =0.$

3. $\omega$ ist eine geschlossene Pfaffsche Form, d. h. es gilt

$d\omega =0$ in $\mathrm{\Omega }$

bzw. die Matrix

${(\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x))}_{i,j=1,\dots ,n}$

ist symmetrisch für alle $x\in \mathrm{\Omega }$.

Beweis

Nach dem ersten Hauptsatz über Kurvenintegrale gilt die Äquivalenz „$1.\iff 2.$“. Die Aussage „$1.\Rightarrow 3.$“ ergeben die Überlegungen vor der Definition 4. Wir haben nur noch die Richtung „$3.\Rightarrow 2.$“ zu zeigen. Sei dazu

$X(t)\in 𝒞(\mathrm{\Omega },P,P)$

eine geschlossene Kurve, so ist diese Kurve $X$ nach Voraussetzung an das Gebiet $\mathrm{\Omega }$ homotop zu einer Punktkurve

$Y(t)\equiv P,a\le t\le b.$

Anwendung von Satz 2 liefert uns schließlich

$\underset{X}{\int }\omega =\underset{Y}{\int }\omega =\underset{a}{\overset{b}{\int }}\sum _{i=1}^n{f}_i(Y(t)){y_i}^{\prime }(t)dt=0,$

woraus der Satz folgt.

q.e.d.