Kurs:Analysis III/Kapitel I: Differentiation und Integration auf Mannigfaltigkeiten/§1 Der Weierstraßsche Approximationssatz

Satz 1 (Weierstraßscher Approximationssatz)

Seien $\mathrm{\Omega }\subset {ℝ}^n$ eine offene Menge und $f(x)\in C^k(\mathrm{\Omega },ℂ)$ mit $k\in {\mathbb{N}}_0$. Dann gibt es eine Folge von Polynomen mit komplexen Koeffizienten vom Grad $N(m)\in {\mathbb{N}}_0$

$f_m(x)=\sum _{j_1,\dots ,j_n=0}^{N(m)}{c}_{j_1\dots j_n}^{(m)}{x}_1^{j_1}\cdot \dots \cdot x_n^{j_n},x\in {ℝ}^n,m=1,2,\dots$

derart, dass die Relationen

$D^{\alpha }{f}_m(x)\to D^{\alpha }f(x)$ für $m\to \mathrm{\infty },|\alpha |\le k$

gleichmäßig auf jeder kompakten Menge $C\subset \mathrm{\Omega }$ erfüllt sind.

Beweis

Wir betrachten eine Folge ${\mathrm{\Omega }}_1\subset {\mathrm{\Omega }}_2\subset \dots \subset \mathrm{\Omega }$ beschränkter, offener Mengen, die $\mathrm{\Omega }$ ausschöpft. Dabei gelte ${\bar{\mathrm{\Omega }}}_j\subset {\mathrm{\Omega }}_{j+1}$ für alle $j$. Mit Hilfe der Zerlegung der Eins konstruieren wir eine Folge von Funktionen ${\varphi }_j(x)\in C_0^{\mathrm{\infty }}$ mit $0\le {\varphi }_j(x)\le 1,x\in \mathrm{\Omega }$ und ${\varphi }_j(x)=1$ auf ${\bar{\mathrm{\Omega }}}_j$ für $j=1,2,\dots$. Wir betrachten dann die Funktionenfolge

$f_j(x):=\{\begin{array}{cc}f(x){\varphi }_j(x),& x\in \mathrm{\Omega }\\ 0,& x\in ℝ\setminus \mathrm{\Omega }\end{array}$

mit den folgenden Eigenschaften:

$f_j(x)\in C_0^k({ℝ}^n)$ und $D^{\alpha }{f}_j(x)=D^{\alpha }f(x),x\in {\mathrm{\Omega }}_j,|\alpha |\le k$.

Da ${\mathrm{\Omega }}_j$ beschränkt ist, gibt es nun zu jedem $f_j(x)$ ein Polynom $p_j(x)$ mit

$\underset{x\in {\mathrm{\Omega }}_j}{\sup }|D^{\alpha }{p}_j(x)-D^{\alpha }{f}_j(x)|=\underset{x\in {\mathrm{\Omega }}_j}{\sup }|D^{\alpha }{p}_j(x)-D^{\alpha }f(x)|\le \frac{1}{j},|\alpha |\le k$.

Für eine beliebige kompakte Menge $C\subset \mathrm{\Omega }$ gibt es ein $j_0=j_0(C)\in \mathbb{N}$, so dass $C\subset {\mathrm{\Omega }}_j$für alle $j\ge j_0(C)$ richtig ist. Somit folgt

$\underset{x\in C}{\sup }|D^{\alpha }{p}_j(x)-D^{\alpha }f(x)|\le \frac{1}{j},|\alpha |\le k,j\ge j_0(C)$.

Im Grenzfall $j\to \mathrm{\infty }$ erhalten wir schließlich

$\underset{x\in C}{\sup }|D^{\alpha }{p}_j(x)-D^{\alpha }f(x)|\to 0$

für alle $|\alpha |\le k$ und alle kompakten Teilmengen $C\subset \mathrm{\Omega }$.

q.e.d.

Satz 2 (Tietzescher Ergänzungssatz)

Sei $C\subset {ℝ}^n$ eine kompakte Menge und $f(x)\in C^0(C,ℂ)$ eine auf $C$ stetige Funktion. Dann gibt es eine Erweiterung von $f$ auf den ganzen ${ℝ}^n$, d. h. es gibt eine Funktion $g(x)\in C^0({ℝ}^n,ℂ)$ mit

$f(x)=g(x)$ für alle $x\in C$.

Beweis

1. Für $x\in {ℝ}^n$ erklären wir die Funktion

$d(x):=\underset{y\in C}{\min }|y-x|,$

welche die Distanz eines Punktes $x$ zur Menge $C$ misst. Da $C$ kompakt ist, gibt es zu jedem $x\in {ℝ}^n$ ein $\bar{y}\in C$ mit

$|\bar{y}-x|=d(x)$.

Sind nun $x_1,x_2\in {ℝ}^n$, so folgt für ${\bar{y}}_2\in C$ mit $|{\bar{y}}_2-x_2|=d(x_2)$ die Ungleichung

$d(x_1)-d(x_2)=\underset{y\in C}{\inf }(|x_1-y_1|-|x_2-{\bar{y}}_2|)$

$\le |x_1-{\bar{y}}_2|-|x_2-{\bar{y}}_2|$

$\le |x_1-x_2|$.

Durch Vertauschen von $x_1$ und $x_2$ erhält man eine analoge Ungleichung, so dass

$|d(x_1)-d(x_2)|\le |x_1-x_2|$ für alle $x_1,x_2\in {ℝ}^n$

folgt. Insbesondere ist also $d:{ℝ}^n\to ℝ$ eine stetige Funktion.

2. Für $x\notin C,a\in {ℝ}^n$ betrachten wir die Funktion

$\varrho (x,a):=\max \{2-\frac{|x-a|}{d(x)},0\}$.

Für festes $a$ ist die Funktion $\varrho (x,a)$ im ${ℝ}^n\setminus C$ nach obigen Betrachtungen stetig. Weiter haben wir $0\le \varrho (x,a)\le 2$ sowie

$\varrho (x,a)=0$ für $|x-a|\ge 2d(x)$ und $\varrho (x,a)\ge \frac{1}{2}$ für $|x-a|\le \frac{3}{2}d(x)$.

3. Sei nun $\left\{a^{(k)}\right\}\subset C$ eine in $C$ dichte Punktfolge. Da $f(x):C\to ℂ$ beschränkt ist, konvergieren die Reihen

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{2}^{-k}\varrho (x,a^{(k)})f\left(a^{(k)}\right)$ und $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{2}^{-k}\varrho (x,a^{(k)})$

gleichmäßig für alle $x\in {ℝ}^n\setminus C$ und stellen dort stetige Funktionen in $x$ dar. Ferner wird

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{2}^{-k}\varrho (x,a^{(k)})>0$ für $x\in {ℝ}^n\setminus C$,

denn zu jedem $x\in {ℝ}^n\setminus C$ gibt es mindestens ein $k$ mit $\varrho (x,a^{(k)})>0$. Somit ist die Funktion

$h(x):=\frac{\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{2}^{-k}\varrho (x,a^{(k)})f\left(a^{(k)}\right)}{\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{2}^{-k}\varrho (x,a^{(k)})}=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{\varrho }_k(x)f\left(a^{(k)}\right),x\in {ℝ}^n\setminus C$

stetig. Hierbei haben wir

${\varrho }_k(x):=\frac{2^{-k}\varrho (x,a^{(k)})}{\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{2}^{-k}\varrho (x,a^{(k)})}$ für $x\in {ℝ}^n\setminus C$

gesetzt. Auf ${ℝ}^n\setminus C$ gilt weiterhin

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{\varrho }_k(x)\equiv 1$.

4. Wir erklären nun die Funktion

$g(x):=\{\begin{array}{cc}f(x),& x\in C\\ h(x),& x\in {ℝ}^n\setminus C\end{array}$.

Wir haben nur noch die Stetigkeit von $g$ auf $\partial C$ zu zeigen. Für $z\in C$ und $x\notin C$ gilt die Abschätzung

$|h(x)-f(z)|=|\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{\varrho }_k(x)\{f\left(a^{(k)}\right)-f(z)\}|$

$\le \sum _{k:|a^{(k)}-x|\le 2d(x)}{\varrho }_k(x)|f\left(a^{(k)}\right)-f(z)|$

$\le \underset{a\in C:|a-x|\le 2d(x)}{\sup }|f(a)-f(z)|$

$\le \underset{a\in C:|a-z|\le 2d(x)+|x-z|}{\sup }|f(a)-f(z)|$

$\le \underset{a\in C:|a-z|\le 3|x-z|}{\sup }|f(a)-f(z)|.$

Da $f:C\to ℂ$ gleichmäßig stetig ist, folgt j

$\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{x\to z}{x\notin C}}{\lim }h(x)=f(z)$ für $z\in \partial C$ und $x\notin C$.

q.e.d.

Satz 3 (Zerlegung der Eins)

Es sei $K\subset {ℝ}^n$ eine kompakte Menge und zu jedem Punkt $x\in K$ bezeichne ${𝒪}_x\subset {ℝ}^n$ eine offene Menge mit $x\in {𝒪}_x$. Wir können dann endlich – genauer $N\in \mathbb{N}$ – viele Punkte $x^{(1)},\dots ,x^{(N)}\in K$ auswählen, so dass die Überdeckungseigenschaft

$K\subset \bigcup _{\nu =1}^N{𝒪}_{x^{(\nu )}}$

gilt. Weiter finden wir Funktionen

${\chi }_{\nu }={\chi }_{\nu }(x):{𝒪}_{x^{(\nu )}}\to [0,+\mathrm{\infty })\in C_0^{\mathrm{\infty }}({𝒪}_{x^{(\nu )}})$ für $\nu =1,\dots ,N$,

so dass die Funktion $\chi (x):=\sum _{\nu =1}^N{\chi }_{\nu }(x),x\in {ℝ}^n$ die folgenden Eigenschaften hat:

(a) Wir haben $\chi \in C_0^{\mathrm{\infty }}({ℝ}^n)$;

(b) Für alle $x\in K$ gilt $\chi (x)=1$;

(c) Für alle $x\in {ℝ}^n$ ist $0\le \chi (x)\le 1$ richtig.

Beweis

1.) Da $K\subset {ℝ}^n$ kompakt ist, gibt es ein $R>0$ mit $K\subset B:=B_R(0)$. Zu jedem $x\in B$ wählen wir nun eine offene Kugel ${\stackrel{\circ }{B}}_{\epsilon (x)}(x)$ vom Radius $\epsilon (x)>0$ derart, dass

$B_{\epsilon (x)}(x)\subset {𝒪}_x$ für $x\in K$ und $B_{\epsilon (x)}(x)\subset {ℝ}^n\setminus K$ für $x\in B\setminus K$

erfüllt ist. Das Mengensystem ${\{{\stackrel{\circ }{B}}_{\epsilon (x)}(x)\}}_{x\in B}$ liefert dann eine offene Überdeckung der kompakten Menge $B$. Nach dem Heine-Borelschen Überdeckungssatz genügen dafür endlich viele offene Mengen, sagen wir

${\stackrel{\circ }{B}}_{{\epsilon }_1}(x^{(1)}),{\stackrel{\circ }{B}}_{{\epsilon }_N}(x^{(N)}),{\stackrel{\circ }{B}}_{{\epsilon }_{N+1}}(x^{(N+1)}),{\stackrel{\circ }{B}}_{{\epsilon }_{N+M}}(x^{(N+M)})$.

Hierbei haben wir $x^{(\nu )}\in K$ für $\nu =1,2,\dots ,N$ sowie $x^{(\nu )}\in B\setminus K$ für $\nu =N+1,\dots ,N+M$ gewählt und ${\epsilon }_{\nu }:=\epsilon (x^{(\nu )})$ gesetzt – mit gewissen natürlichen Zahlen $N$ sowie $M$. Mit den assoziierten Glättungsfunktionen aus (5) betrachten wir nun die nicht negativen Funktionen

${\phi }_{\nu }(x):={\phi }_{x^{(\nu )},{\epsilon }_{\nu }}(x),x\in {ℝ}^n$

der Regularitätsklasse ${\phi }_{\nu }\in C_0^{\mathrm{\infty }}({𝒪}_{x^{(\nu )}})$ für $\nu =1,\dots ,N$ bzw. ${\phi }_{\nu }\in C_0^{\mathrm{\infty }}({ℝ}^n\setminus K)$ für $\nu =N+1,\dots ,N+M$. Ferner erklären wir die Funktion ${\phi }_{N+M+1}(x):={\omega }_R(x)$, wobei ${\omega }_R$ in (4) definiert wurde. Offenbar erhalten wir dann die Positivität $\sum _{\nu =1}^{N+M+1}{\phi }_{\nu }(x)>0$ für alle $x\in {ℝ}^n$.

2.) Wir erklären nun die Funktionen ${\chi }_{\nu }$ vermöge

(9) ${\chi }_{\nu }(x):={[\sum _{\nu =1}^{N+M+1}{\phi }_{\nu }(x)]}^{-1}{\phi }_{\nu }(x),x\in {ℝ}^n$ für $\nu =1,\dots ,N+M+1$.

Dabei gehören die Funktionen ${\chi }_{\nu }$ und ${\phi }_{\nu }$ für $\nu =1,\dots ,N+M+1$ jeweils der gleichen Regularitätsklasse an. Zusätzlich gilt

$\sum _{\nu =1}^{N+M+1}{\chi }_{\nu }(x):={[\sum _{\nu =1}^{N+M+1}{\phi }_{\nu }(x)]}^{-1}\cdot \sum _{\nu =1}^{N+M+1}{\phi }_{\nu }(x)\equiv 1$ für alle $x\in {ℝ}^n$.

Die Eigenschaften (a), (b) und (c) der Funktion $<math>\chi (x)=\sum _{\mu =1}^m{\chi }_{\mu }(x)$ liest man direkt von der obigen Konstruktion ab.

Definition 1

Die Funktionen ${\chi }_1,{\chi }_2,\dots ,{\chi }_m$ aus Satz 3 nennen wir eine der offenen Überdeckung $\{{𝒪}_x{\}}_{x\in K}$ von $K$ untergeordnete Zerlegung der Eins.