Kurs:Analysis II/Kapitel VI: Gewöhnliche Differentialgleichungen/Elementar integrierbare Differentialgleichungen erster Ordnung (§3)

Beispiel 1: Differentialgleichungen mit getrennten Variablen

Wir betrachten die Differentialgleichung

(1) $A_1(x)A_2(y)dx+B_1(x)B_2(y)dy=0$ mit $A_2(y)\ne 0$ und $B_1(x)\ne 0$

mit den stetigen Koeffizientenfunktionen $A_1(x),A_2(y),B_1(x),B_2(y)$. Mit Hilfe des integrierenden Faktors

$M(x,y):=\frac{1}{A_2(y)B_1(x)}$

erhalten wir die exakte Differentialgleichung

(2) $\frac{A_1(x)}{B_1(x)}dx+\frac{B_2(y)}{A_2(y)}dy=0$.

Die Stammfunktion erhalten wir dann durch Integration nämlich

(3) $M(x,y):=\int \frac{A_1(x)}{B_1(x)}dx+\int \frac{B_2(y)}{A_2(y)}dy$.

Die implizite Form der Lösung wird durch die Niveaulinien

$F(x,y)=const$

dargestellt.

Beispiel 2: Ähnlichkeitsdifferentialgleichungen

Wir betrachten Differentialgleichungen des Typs

(4) $y^{\prime }(x)=f\left(\frac{y(x)}{x}\right)$

mit der stetigen Funktion $f$. Diese bringen wir in die Form

(5) $dy-f\left(\frac{y}{x}\right)dx=0$.

Wir verwenden die Substitution

$u(x):=\frac{y(x)}{x},x>0$

und erhalten die Differentialgleichung

(6) $u(x)+x{u}^{\prime }(x)=y^{\prime }(x)=f(u(x))$

bzw.

(7) $(u-f(u))dx+xdu=0$.

Nun ist

$M(x,u):=\frac{1}{x(u-f(u))}$

ein integrierender Faktor und die Differentialgleichung

(8) $\frac{dx}{x}+\frac{du}{u-f(u)}=0$

wird exakt. Letztere können wir gemäß Beispiel 1 lösen. Schließlich ist

(9) $M(x,y):=\frac{1}{xf\left(\frac{y}{x}\right)-y}$

ein integrierender Faktor der ursprünglichen Differentialgleichung (5).

Definition 1

Eine Funktion $f=f(x,y):{ℝ}^2\mapsto ℝ$ heißt homogen vom Grade $k\in ℝ$, wenn für alle $\lambda >0$ und alle Punkte $(x,y)\in {ℝ}^2$ die Beziehung

$f(\lambda x,\lambda y)={\lambda }^{k}f(x,y)$

erfüllt ist.

Beispiel 3: Homogene Differentialgleichungen

Sei nun die Differentialgleichung

(10) $\begin{array}{c}P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0\text{ mit den vom gleichen Grade }k\in ℝ\\ \text{homogenen Funktionen }Q(x,y)\text{ und }P(x,y)\end{array}$

gegeben. Falls $Q\ne 0$ und $x>0$ gilt, ist diese Differentialgleichung äquivalent zu

$\frac{dy}{dx}=-\frac{P(x,y)}{Q(x,y)}=-\frac{x^{k}P(1,\frac{y}{x})}{x^{k}Q(1,\frac{y}{x})}=-\frac{P(1,\frac{y}{x})}{Q(1,\frac{y}{x})}=:f\left(\frac{y}{x}\right)$

bzw.

$dy-f\left(\frac{y}{x}\right)dx=0$.

Gemäß Beispiel 2 haben wir den integrierenden Faktor

$\tilde{M}(x,y)=\frac{1}{xf\left(\frac{y}{x}\right)-y}=\frac{1}{-x\frac{P(x,y)}{Q(x,y)}-y}=\frac{-Q(x,y)}{xP(x,y)+yQ(x,y)}$

für unsere Differentialgleichung

$0=dy-f\left(\frac{y}{x}\right)dx=dy+\frac{P(x,y)}{Q(x,y)}dx$.

Folglich ist die Differentialgleichung

$\frac{-Q(x,y)}{xP(x,y)+yQ(x,y)}dy+\frac{-P(x,y)}{xP(x,y)+yQ(x,y)}dx=0$

exakt. Wir erhalten mit

(11) $M(x,y)=\frac{1}{xP(x,y)+yQ(x,y)}$

einen integrierenden Faktor der homogenen Differentialgleichung (10).

Beispiel 4: Differentialgleichungen der Form $y^{\prime }(x)=f\left(\frac{a_{1}x+b_{1}y+c_1}{a_{2}x+b_{2}y+c_2}\right)$

Dabei sind $a_1,b_1,c_1,a_2,b_2,c_2$ reelle Koeffizienten. Wir betrachten die folgenden beiden Möglichkeiten:

1. Fall:

(12) $\left|\begin{array}{cc}{a}_1& b_1\\ a_2& b_2\end{array}\right|=a_1{b}_2-a_2{b}_1\ne 0$.

Es existiert nun ein Punkt $(\xi ,\eta )\in {ℝ}^2$, der das eindeutig lösbare Gleichungssystem

(13) $\begin{array}{c}{a}_1\xi +b_1\eta +c_1=0\\ a_2\xi +b_2\eta +c_2=0\end{array}$

löst. Aus (13) folgt mit den neuen Variablen $u:=x-\xi ,v:=y-\eta$ das System

(14) $\begin{array}{c}{a}_{1}u+b_{1}v=a_{1}x+b_{1}y+c_1\\ a_{2}u+b_{2}v=a_{2}x+b_{2}y+c_2.\end{array}$

Wir erhalten die Differentialgleichung

(15) $\frac{dv}{du}=f\left(\frac{a_{1}u+b_{1}v}{a_{2}u+b_{2}v}\right)=f\left(\frac{a_1+b_1\frac{v}{u}}{a_2+b_2\frac{v}{u}}\right)=:g\left(\frac{v}{u}\right)$,

welche sich gemäß Beispiel 2 lösen lässt.

2. Fall

(16) $\left|\begin{array}{cc}{a}_1& b_1\\ a_2& b_2\end{array}\right|=a_1{b}_2-a_2{b}_1=0$.

Insofern $b_1=b_2=0$ erfüllt ist, erhalten wir die sofort integrierbare Differentialgleichung

$y^{\prime }(x)=f\left(\frac{a_{1}x+c_1}{a_{2}x+c_2}\right)$.

Sei anderenfalls o. B. d. A. $b_1\ne 0$ richtig und wir erhalten $a_2=a_1{b}_2\frac{1}{b_1}$. Dieses liefert die Identitäten

(17) $\begin{array}{c}{a}_{1}x+b_{1}y+c_1=b_1(\frac{a_1}{b_1}x+y)+c_1\\ a_{2}x+b_{2}y+c_2=b_2(\frac{a_1}{b_1}x+y)+c_2.\end{array}$

Mit der Substitution $\omega =\frac{a_1}{b_1}x+y$ erhalten wir die Differentialgleichung

(18) $\frac{d\omega }{dx}=\frac{a_1}{b_1}+f\left(\frac{b_1\omega +c_1}{b_2\omega +c_2}\right)=:g(\omega )$.

Wir erhalten die Gleichung $dx=\frac{d\omega }{g(\omega )}$, die wir gemäß $x=\int \frac{d\omega }{g(\omega )}$ integrieren.

Beispiel 5: Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung

Wir betrachten die Differentialgleichung

(19) $y^{\prime }(x)+a(x)y(x)+b(x)=0$ mit stetigen Koeffizienten $a(x)$ und $b(x)$.

Wir geben zwei Methoden zu ihrer Lösung an.

1. Methode: Integrierender Faktor

Wir schreiben die Differentialgleichung in die Form

(20) $P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$ mit $P(x,y):=a(x)y+b(x)$ und $Q(x,y):=1$.

Mit dem integrierenden Faktor

$M(x)=\exp (\varphi (x))$

wollen wir die Differentialgleichung (20) exakt machen. Somit erfüllt $M$ die Bedingung

$0=\frac{M_x}{M}Q-\frac{M_y}{M}P+(Q_x-P_y)=[\log M{]}_{x}Q-a(x)={\varphi }_x-a(x)$

und wir erhalten

$\varphi (x)=\int a(x)dx$ sowie $M(x)=\exp [\int a(x)dx]$.

Die Differentialgleichung

(21) $[a(x)y+b(x)]\exp [\int a(x)dx]dx+\exp [\int a(x)dx]dy=0$

ist dann exakt. Wir suchen nun eine Stammfunktion $F(x,y)$, welche folgende Gleichungen erfüllt:

(22) $F_x(x,y)=[a(x)y+b(x)]\exp [\int a(x)dx]$ und $F_y(x,y)=\exp [\int a(x)dx]$.

Hier integrieren wir zunächst die zweite Gleichung und erhalten

$F(x,y)=y\cdot \exp [\int a(x)dx]+f(x)$

mit der unbestimmten Funktion $f(x)$. Mit Hilfe der ersten Gleichung in (22) ermitteln wir

$f^{\prime }(x)=F_x(x,y)-y\cdot a(x)\exp [\int a(x)dx]=b(x)\exp [\int a(x)dx]$

und schließlich

$f(x)=\int \{b(x)\exp [\int a(x)dx]\}dx$.

Wir erhalten mit

(23) $F(x,y)=y\cdot \exp [\int a(x)dx]+\int \{b(x)\exp [\int a(x)dx]\}dx$

eine Stammfunktion der Differentialgleichung (21). Die Gesamtheit der Lösungen erhalten wir als Niveaulinien $F(x,y)=c$ wie folgt

(24) $y=c\cdot \exp [-\int a(x)dx]-\exp [-\int a(x)dx]\cdot \int \{b(x)\exp [\int a(x)dx]\}dx$,

mit einer Konstante $c\in ℝ$. Dabei stellt der erste Summand auf der rechten Seite die allgemeine Lösung der homogenen Differentialgleichung

$y^{\prime }(x)+a(x)y(x)=0$

dar, während der zweite Summand eine partikuläre Lösung der inhomogenen Differentialgleichung

$y^{\prime }(x)+a(x)y(x)+b(x)=0$

angibt.

2. Methode: Variation der Konstanten

Wir betrachten zunächst die homogene Differentialgleichung

(25) $y^{\prime }(x)+a(x)y(x)=0$,

die wir in

$[\log y(x){]}^{\prime }=\frac{y^{\prime }(x)}{y(x)}=-a(x)$

umformen und gemäß

$\log y(x)=-\int a(x)dx$

integrieren. Wir erhalten die allgemeine Lösung der homogenen Differentialgleichung (25) wie oben in der Gestalt

(26) $y(x)=c\cdot y_0(x)$ mit $y_0(x):=\exp [-\int a(x)dx]$ und beliebigem $c\in ℝ$.

Zur Lösung der inhomogenen Gleichung

(27) $y^{\prime }(x)+a(x)y(x)+b(x)=0$

machen wir den Ansatz der Variation der Konstanten

$y(x)=c(x)\cdot y_0(x)$ mit der Funktion $c=c(x)$.

Wir ermitteln

(28) $\begin{array}{c}0=[c(x)\cdot y_0(x){]}^{\prime }+a(x)c(x)\cdot y_0(x)+b(x)\\ =c^{\prime }(x)\cdot y_0(x)+c(x)\cdot {y_0}^{\prime }(x)+a(x)c(x)\cdot y_0(x)+b(x)\\ =c^{\prime }(x)\cdot y_0(x)+c(x)({y_0}^{\prime }(x)+a(x)\cdot y_0(x))+b(x)=c^{\prime }(x)\cdot y_0(x)+b(x)\end{array}$

bzw.

$c^{\prime }(x)=-b(x)\cdot \exp [\int a(x)dx]$

und schließlich

$c(x)=-\int \{b(x)\cdot \exp [\int a(x)dx\left]\right\}dx$.

Mit

(29) $y_1(x)=-\exp [-\int a(x)dx]\cdot \int \{b(x)\cdot \exp [\int a(x)dx\left]\right\}dx$

erhalten wir eine partikuläre Lösung der inhomogenen Differentialgleichung (27). Nun stellt

$ℒ(y):=y^{\prime }(x)+a(x)y(x)$

einen linearen Differentialoperator erster Ordnung dar, d. h.

$ℒ(\alpha y+\beta z)=\alpha ℒ(y)+\beta ℒ(z)$ für alle $y(x),z(x)\in C^1(I)$ und $\alpha ,\beta \in ℝ$.

Die allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung (27) erhalten wir durch Superposition wie folgt

(30) $y(x):=y_1(x)+c{y}_0(x)$ mit beliebigem $c\in ℝ$.

Satz 1 (Einfachverhältnis)

Sind $z_j(x)$ – mit $j=1,2,3$ – drei Lösungen der inhomogenen Differentialgleichung (27), so ist das Einfachverhältnis

$\frac{z_3(x)-z_1(x)}{z_2(x)-z_1(x)}=const,x\in I$

in diesem Sinne konstant.

Beweis

Für die drei Lösungen gilt die Darstellung

$z_j(x)=y_1(x)+c_j\cdot y_0(x)$ mit den Konstanten $c_j\in ℝ,j=1,2,3$.

Somit folgt

$\frac{z_3(x)-z_1(x)}{z_2(x)-z_1(x)}=\frac{(c_3-c_1)\cdot y_0}{(c_2-c_1)\cdot y_0}=\frac{c_3-c_1}{c_2-c_1}=:const$.

Beispiel 6: Die Bernoullische Differentialgleichung

Wir betrachten nun die Bernoullische Differentialgleichung

(31) $y^{\prime }(x)+a(x)y(x)+b(x)y(x{)}^n=0$ mit dem Exponenten $n\in \mathbb{Z}$.

Im Falle $n=0$ stellt dies eine inhomogene lineare Differentialgleichung dar, während wir im Falle $n=1$ eine homogene lineare Differentialgleichung erhalten. Ist nun $n\in \mathbb{Z}\setminus \{0,1\}$ erfüllt, so können wir die Differentialgleichung (31) mittels einer nichtlinearen Transformation auf eine lineare Differentialgleichung zurückführen. Hierzu multiplizieren wir (31) mit der Funktion $y(x{)}^{-n}$ und erhalten

(32) $y(x{)}^{-n}{y}^{\prime }(x)+a(x)y(x{)}^{1-n}+b(x)=0$.

Wir verwenden nun die Substitution

$z(x):=\frac{1}{1-n}y(x{)}^{1-n}$

und erhalten mit

(33) $z^{\prime }(x)+(1-n)a(x)z(x)+b(x)=0$

eine lineare Differentialgleichung für $z=z(x)$. Deren Lösung können wir gemäß Beispiel 5 ermitteln und führen schließlich eine Resubstitution durch.

Beispiel 7: Die Riccatische Differentialgleichung

Zum Abschluss dieses Paragraphen betrachten wir die folgende Differentialgleichung

(34) $y^{\prime }(x)+a(x)y(x{)}^2+b(x)y(x)+c(x)=0$ mit stetigen $a(x),b(x),c(x)$.

Diese Riccatische Differentialgleichung reduziert sich für $a=0$ auf eine lineare und für $c=0$ auf eine Bernoullische Differentialgleichung, welche über die Substitution

$z(x)=\frac{-1}{y(x)}$

wiederum auf eine lineare Differentialgleichung führt. Haben wir bereits eine partikuläre Lösung $y_0(x)$ der Riccatischen Differentialgleichung (34) gefunden, so ermitteln wir alle weiteren Lösungen mit dem folgenden Ansatz

$y(x)=y_0(x)+u(x)$.

Wir berechnen

(35) $\begin{array}{c}0=y^{\prime }(x)+a(x)y(x{)}^2+b(x)y(x)+c(x)\\ ={y_0}^{\prime }(x)+u^{\prime }(x)+a(x)y_0(x{)}^2+2a(x)u(x)y_0(x)+a(x)u(x{)}^2+b(x)y_0(x)\\ +b(x)u(x)+c(x)=u^{\prime }(x)+2a(x)u(x)y_0(x)+a(x)u(x{)}^2+b(x)u(x)\\ =u^{\prime }(x)+[2a(x)y_0(x)+b(x)]u(x)+a(x)u(x{)}^2\end{array}$

Somit genügt $u(x)$ einer Bernoullischen Differentialgleichung; die Riccatische Differentialgleichung (34) wird also lösbar, sofern wir bereits eine partikuläre $y_0(x)$ kennen.

Satz 2 (Doppelverhältnis)

Sind $z_j(x)$ – mit $j=1,2,3,4$ – vier paarweise verschiedene Lösungen der Riccatischen Differentialgleichung (34), so ist das Doppelverhältnis

$\frac{z_4(x)-z_2(x)}{z_4(x)-z_1(x)}:\frac{z_3(x)-z_2(x)}{z_3(x)-z_1(x)}=const,x\in I$

in diesem Sinne konstant.

Beweis

Wir erhalten mit den Funktionen

$\frac{-1}{z_4(x)-z_1(x)},\frac{-1}{z_3(x)-z_1(x)},\frac{-1}{z_2(x)-z_1(x)}$

drei paarweise verschiedene Lösungen der zugehörigen linearen Differentialgleichung. Satz 1 liefert die gesuchte Identität

(36) $\frac{\frac{1}{z_4(x)-z_1(x)}-\frac{1}{z_2(x)-z_1(x)}}{\frac{1}{z_3(x)-z_1(x)}-\frac{1}{z_2(x)-z_1(x)}}=\frac{z_2-z_4}{(z_4-z_1)(z_2-z_1)}:\frac{z_2-z_3}{(z_3-z_1)(z_2-z_1)}$ $=\frac{z_2(x)-z_4(x)}{z_4(x)-z_1(x)}:\frac{z_2(x)-z_3(x)}{z_3(x)-z_1(x)},x\in I$.

q.e.d.