Kurs:Analysis II/Kapitel VI: Gewöhnliche Differentialgleichungen/Differentialgleichungen höherer Ordnung (§8)

Wir werden nun die explizite Differentialgleichung $m$-ter Ordnung $(m\in \mathbb{N})$

(1) $y^{(m)}(x)=f(x,y(x),y^{\prime }(x),\dots ,y^{(m-1)}(x))$

auf ein Differentialgleichungssystem erster Ordnung zurückführen.
Sei also $y(x)$ eine Lösung von (1). Dann erhalten wir die Funktionen

$y_1(x):=y(x),y_2(x):=y^{\prime }(x),y_3(x):=y^{″}(x),\dots ,y_m(x):=y^{(m-1)}(x)$

und wir erhalten folgendes Differentialgleichungssystem

(2) $\begin{array}{ccc}{y_1}^{\prime }(x)=y_2(x)& & \\ {y_2}^{\prime }(x)=y_3(x)& & \\ ⋮& & \\ {y_m}^{\prime }(x)=y^{(m)}(x)& =& f(x,y_1,\dots ,y_m).\end{array}$

Haben wir nun umgekehrt eine Lösung des Systems (2), so erhalten wir mit der Funktion $y(x):=y_1(x)$ eine Lösung von (1) wie folgt:

$y_2(x)=y^{\prime }(x),y_3(x)={y_2}^{\prime }(x)=y^{″}(x),\dots ,y_m(x):=y^{(m-1)}(x),$

$y^{(m)}(x)=f(x,y(x),y^{\prime }(x),\dots ,y^{(m-1)}(x))$.

Dem Anfangswertproblem für das System (2) mit den Anfangswerten

$y_i(\xi )={\eta }_i\in ℝ$ für $i=1,\dots ,m$

entspricht das folgende Anfangswertproblem für die Differentialgleichung $m$-ter Ordnung

(3) $y^{(m)}(x)=f(x,y(x),y^{\prime }(x),\dots ,y^{(m-1)}(x)),y^{(i-1)}(\xi )={\eta }_i$ für $i=1,\dots ,m$.

Satz 1 (Existenz- und Eindeutigkeitssatz für Differentialgleichungen höherer Ordnung)

Voraussetzungen: Die Funktion $f=f(x,y_1,\dots ,y_m):R\to ℝ$ ist auf dem Rechtflach

$R:=\{(x,y_1,\dots ,y_m){\in }^{1+m}:|x-\xi |\le a,|y_i-{\eta }_i|\le b_{i}f\ddot{u}ri=1,\dots ,m\}$

stetig und erfüllt $|f(x,y)|\le M$ für alle $(x,y)\in R$. Dabei sind $\xi \in ℝ,\eta =({\eta }_1,\dots ,{\eta }_m{)}^{*}\in {ℝ}^m$und $a,b_1,\dots ,b_m\in (0,+\mathrm{\infty })$ sowie $M\in (0,+\mathrm{\infty })$ gewählt worden. Weiter erklären wir die Größen

$M^{*}:=\max \{M,b_2+|{\eta }_2|,\dots ,b_m+|{\eta }_m|\}$ und $h:=\min \{a,\frac{b_1}{M^{*}},\dots ,\frac{b_m}{M^{*}}\}$.

Behauptung: Dann gibt es eine Funktion $y=y(x)\in C^m((\xi -h,\xi +h))$ mit der Eigenschaft

$(x,y(x),y^{\prime }(x),\dots ,y^{(m-1)}(x))\in R$ für alle $x\in (\xi -h,\xi +h)$,

welche das Anfangswertproblem

(4) $\begin{array}{c}{y}^{(m)}(x)=f(x,y(x),y^{\prime }(x),\dots ,y^{(m-1)}(x)),x\in (\xi -h,\xi +h)\\ y^{(i-1)}(\xi )={\eta }_i,i=1,\dots ,m\end{array}$

für die Differentialgleichung $m$-ter Ordnung zu den Anfangswerten ${\eta }_1,\dots ,{\eta }_m$ löst.

Zusatz: Genügt zusätzlich die rechte Seite $f$ der Lipschitzbedingung

(5) $\begin{array}{c}|f(x,{\tilde{y}}_1,\dots ,{\tilde{y}}_m)-f(x,y_1,\dots ,y_m)|\le L\sum _{k=1}^m|{\tilde{y}}_k-y_k|\\ f\ddot{u}rallePunkte(x,y_1,\dots ,y_m),(x,{\tilde{y}}_1,\dots ,{\tilde{y}}_m)\in R\end{array}$

mit einer Lipschitzkonstante $L\in (0,+\mathrm{\infty })$, so ist die Lösung des Anfangswertproblems (4) eindeutig bestimmt.

Beweis

Wir betrachten das dem AWP (4) zugehörige System

${y_i}^{\prime }(x)=g_i(x,y_1,\dots ,y_m),y_i(\xi )={\eta }_i$ für $i=1,\dots ,m$

mit den rechten Seiten $g_i(\dots ):=y_{i+1}$ für $i=1,\dots ,m-1$ und $g_m:=f(x,y_1,\dots ,y_m)$. Die Funktionen $g_i$ sind in $R$ stetig und es gilt auf $R$ die Ungleichung

$|g_i|\le \max \{b_2+|{\eta }_2|,\dots ,b_m+|{\eta }_m|,M\}=M^{*}$ für $i=1,\dots ,m$.

Somit liefert der Peanosche Existenzsatz eine Lösung des Systems auf dem Intervall $(\xi -h,\xi +h)$. Mit den obigen Vorbetrachtungen erhalten wir dann eine Lösung des AWP (4). Erfüllt nun $f$ zusätzlich die Lipschitzbedingung (5), so folgt

$|g_i(x,{\tilde{y}}_1,\dots ,{\tilde{y}}_m)-g_i(x,y_1,\dots ,y_m)|\le (L+1)\sum _{k=1}^m|{\tilde{y}}_k-y_k|$

für alle $(x,y_1,\dots ,y_m),(x,{\tilde{y}}_1,\dots ,{\tilde{y}}_m)\in R$ und $i=1,\dots ,m$. Nach dem Eindeutigkeitssatz für Systeme erhalten wir dann auch Eindeutigkeit für das Anfangswertproblem höherer Ordnung.

q.e.d.

Reduktion der Ordnung bei Differentialgleichungen $F(y,\frac{dy}{dx},\dots ,\frac{d^{m}y}{d{x}^m})=0$

Ist $y^{\prime }(x)\ne 0$ erfüllt, so können wir gemäß $x=x(y)$ auflösen. Wir erhalten dann

${\frac{dy}{dx}|}_{x(y)}={y^{\prime }|}_{x(y)}=p(y)\Rightarrow \frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{dp}{dy}\frac{dy}{dx}=\frac{dp}{dy}p\Rightarrow \dots$

$\Rightarrow \frac{d^{m}y}{d{x}^m}=\mathrm{\Pi }(p,\frac{dp}{dy},\dots ,\frac{d^{m-1}p}{d{y}^{m-1}})$ mit einem gewissen Polynom $\mathrm{\Pi }$

$\Rightarrow 0=\tilde{F}(y,p(y),\dots ,\frac{d^{m-1}p}{d{y}^{m-1}})$.

In dieser Gleichung ist die Ordnung um eins reduziert. Haben wir $p=p(y)$ ermittelt, dann lösen wir $\frac{dy}{dx}=p(y)$ durch Trennung der Variablen. Man nennt diese Differentialgleichungen auch autonom, da sie die Variable $x$ nicht explizit enthalten.