Kurs:Analysis II/Kapitel VI: Gewöhnliche Differentialgleichungen/Der Existenzsatz von Peano (§4)

Voraussetzung (a):

Seien die Zahl $\xi \in ℝ$ und der Vektor $\eta =({\eta }_1,\dots ,{\eta }_m)\in {ℝ}^m$ mit $m\in \mathbb{N}$ vorgegeben. Zu den festen positiven Konstanten $a,b_1,\dots ,b_m\in (0,+\mathrm{\infty })$ betrachten wir das Rechteck

$R:=\{(x,y)=(x,y_1,\dots ,y_m)\in {ℝ}^{1+m}:|x-\xi |\le a,|y_i-{\eta }_i|\le b_i,i=1,\dots ,m\}$.

Hierauf sind die beschränkten, stetigen Funktionen

$f_i=f_i(x,y_1,\dots ,y_m):R\to ℝ\in C^0(R)$ mit $|f_i|\le M$ in $R$

für $i=1,\dots ,m$ mit der Schranke $M>0$ gegeben. Wir behandeln im folgenden das Anfangswertproblem: Gibt es eine Größe $h\in (0,a]$ und einmal stetig differenzierbare Funktionen

(1) $y_i=y_i(x):[\xi -h,\xi +h]\to [{\eta }_i-b_i,{\eta }_i+b_i]$ für $i=1,\dots ,m$,

die das folgende Differentialgleichungssystem

(2) $y{\text{'}}_i(x)=f_i(x,y_1(x),\dots ,y_m(x)),x\in [\xi -h,\xi +h]$ für $i=1,\dots ,m$

mit den Anfangsbedingungen

(3) $y_i(\xi )={\eta }_i$ für $i=1,\dots ,m$

lösen? Dieses Anfangswertproblem können wir mit den Setzungen

(4) $y(x):=\left(\begin{array}{c}{y}_1(x)\\ ⋮\\ y_m(x)\end{array}\right),\eta :=\left(\begin{array}{c}{\eta }_1\\ ⋮\\ {\eta }_m\end{array}\right);f(x,y):=\left(\begin{array}{c}{f}_1(x,y_1,\dots ,y_m)\\ ⋮\\ f_m(x,y_1,\dots ,y_m)\end{array}\right)$

wie folgt zusammenfassen:

(5) $y^{\prime }(x)=f(x,y(x)),x\in [\xi -h,\xi +h];y(\xi )=\eta$.

Nun stellen sich die folgenden drei Fragen:

1. Existenz: Gibt es eine Lösung des Anfangswertproblems (1) – (3)?
2. Eindeutigkeit: Ist diese Lösung eindeutig bestimmt?
3. Stabilität: Bleibt die Lösung in der Umgebung der ursprünglichen Lösung, falls man die Anfangswerte ${\eta }_i$ und die rechten Seiten $f_i$ etwas stört? Hängt die Lösung sogar differenzierbar von den Anfangswerten ab?

Satz 1 (Gewöhnliche Regularität)

Unter der Voraussetzung (a) sind die folgenden beiden Aussagen äquivalent:

I. Es gibt Funktionen $y_i=y_i(x)\in C^1([\xi -h,\xi +h])$ für $i=1,\dots ,m$, die das Anfangswertproblem (1) – (3) lösen.

II. Es gibt Funktionen $y_i=y_i(x)\in C^0([\xi -h,\xi +h])$ für $i=1,\dots ,m$, die (1) erfüllen und das Integralgleichungssystem

(6) $y_i(x)={\eta }_i+\underset{\xi }{\overset{x}{\int }}{f}_i(t,y_1(t),\dots ,y_m(t))dt,x\in [\xi -h,\xi +h],i=1,\dots ,m$

lösen.

Beweis

$1.⟹2.$: Die Funktionen $y_i=y_i(x)\in C^1([\xi -h,\xi +h])$ für $i=1,\dots ,m$ lösen das Anfangswertproblem (1) – (3); somit erhalten wir durch Integration

$y_i(x)={\eta }_i+\underset{\xi }{\overset{x}{\int }}{f}_i(t,y_1(t),\dots ,y_m(t))dt,x\in [\xi -h,\xi +h]$ für $i=1,\dots ,m$.

$2.⟹1.$: Die Funktionen $y_i(x)$ lösen (6) für $i=1,\dots ,m$. Somit folgt $y_i(x)\in C^1([\xi -h,\xi +h])$ sowie $y_i(\xi )={\eta }_i$ und Differentiation liefert

$y_i(x)=f_i(x,y_1(x),\dots ,y_m(x)),x\in [\xi -h,\xi +h]$ für $i=1,\dots ,m$.

Bemerkung

Wir fassen (6) zusammen zu der Identität

$y(x)=\eta +\underset{\xi }{\overset{x}{\int }}f(t,y(t))dt$.

Wir werden eine Lösung dieser Integralgleichung konstruieren, indem wir diese durch eine Folge von Polygonzügen approximieren. Hierzu benötigen wir den fundamentalen Auswahlsatz von Arzelà-Ascoli,den wir für Funktionen in mehreren Veränderlichen bereitstellen. Eine Indizierung der Komponenten ist hierbei überflüssig, so dass wir jeweils die Folgen eindeutig mit den Indizes kennzeichnen können.

Satz 2 (Auswahlsatz von Arzelà-Ascoli)

Seien die Zahlen $m,n\in \mathbb{N}$ fest und die Menge $K\subset {ℝ}^n$ kompakt. Die Funktionenfamilie

$ℱ:=\{f_{\iota }:K\to {ℝ}^m|\iota \in J\}$ mit der Indexmenge $J$

sei mit den nachfolgenden Eigenschaften gegeben:

I. Die Menge $ℱ$ ist gleichmäßig beschränkt, d. h. es gibt eine Konstante $N>0$, so dass

$|f_{\iota }(x)|\le N$ für alle $x\in K$ und alle $\iota \in J$

II. Die Menge $ℱ$ ist gleichgradig stetig, d. h. zu jedem $\epsilon >0$ gibt es ein $\delta =\delta (\epsilon )>0$ mit der Eigenschaft:

$x,y\in K,|x-y|<\delta ,\iota \in J,⟹|f_{\iota }(x)-f_{\iota }(y)|<\epsilon$.

Behauptung: Dann enthält $ℱ$ eine auf der Menge $K$ gleichmäßig konvergente Teilfolge

$g^k(x)\in ℱ,k=1,2,\dots$,

welche gleichmäßig gegen die stetige Funktion

$g(x):K\to {ℝ}^m\in C^0(K,{ℝ}^m)$

konvergiert.

Beweis

1. Wir zählen die rationalen Gitterpunkte in der kompakten Menge $K$ wie folgt ab:

(7) $K\cap {\mathbb{Q}}^n=\{q_1,q_2,q_3,\dots \}$.

Da die Menge

$\{f_{\iota }(q_1)\in {ℝ}^m:\iota \in J\}$

beschränkt ist, gibt es eine Teilfolge

$f_{11},f_{12},f_{13},\dots \subset ℱ$,

so dass

$g(q_1):=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }{f}_{1k}(q_1)$

existiert. Da wiederum die Menge

$\{f_{\iota }(q_2)\in {ℝ}^m:\iota \in J\}$

beschränkt ist, gibt es eine weitere Teilfolge

$\{f_{2k}{\}}_{k=1,2,3,\dots }\subset \{f_{1k}{\}}_{k=1,2,3,\dots }$,

so dass

$g(q_2):=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }{f}_{2k}(q_2)$

existiert. Offenbar gilt weiter

$g(q_1):=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }{f}_{2k}(q_1)$.

Wir konstruieren so eine Folge von Teilfolgen

$\{f_{1k}{\}}_{k=1,2,3,\dots }\supset \{f_{2k}{\}}_{k=1,2,3,\dots }\supset \dots$,

so dass

$g(q_l):=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }{f}_{lk}(q_l)$ für alle $l\in \mathbb{N}$

existiert. Durch den Übergang zur Diagonalfolge

$g^k(x):=f_{kk}(x)\in ℱ,k=1,2,3,\dots$

erhalten wir eine Folge mit der Eigenschaft

$g(q_l):=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }{g}^k(q_l)$ für alle $l\in \mathbb{N}$.

2. Wir zeigen nun die gleichmäßige Konvergenz der Funktionenfolge

$g^k(x):K\to {ℝ}^m\in C^0(K,{ℝ}^m),k=1,2,3,\dots$.

Zu vorgegebenem $\epsilon >0$ reichen nach dem Heine-Borelschen Überdeckungssatz endlich viele der offenen Mengen

$U_{\delta }(q_l):=\{y\in {ℝ}^m:|y-q_l|<\delta \},l\in \mathbb{N}$ mit $\delta =\delta (\epsilon )$

zur Überdeckung der kompakten Menge $K$ aus, also etwa die offenen Kugeln

$U_{\delta }(q)$ mit $q\in \{q_{l_1},\dots ,q_{l_p}\}=:Q$.

Da $Q$ eine endliche Menge ist, gibt es eine Zahl $k_{*}=k_{*}(\epsilon )\in \mathbb{N}$, so dass

$|g^k(q)-g(q)|<\epsilon$ für alle $k\ge k_{*}(\epsilon )$ und alle $q\in Q$

gilt. Nun folgt für alle $x\in K$ und alle $k,l\ge k_{*}(\epsilon )$ die Ungleichung

(8) $|g^k(x)-g^l(x)|\le |g^k(x)-g^k(q)|+|g^k(q)-g^l(q)|+|g^l(q)-g^l(x)|\le \epsilon +\epsilon +\epsilon =3\epsilon$.

Hierbei haben wir zu $x\in K$ einen Punkt $q\in Q$ mit $|x-q|<\delta$ ausgewählt, was wegen der obigen Überdeckungseigenschaft möglich ist. Folglich existiert

$g(x):=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }{g}^k(x),x\in K$

und es gilt

$|g(x)-g^l(x)|\le 3\epsilon$ für alle $x\in K,l\ge k_{*}(\epsilon )$.

Somit konvergiert $\{g^l{\}}_{l=1,2,3,\dots }$ gleichmäßig gegen die stetige Funktion

$g(x),x\in K$.

q.e.d.

Satz 3 (Existenzsatz von Peano)

Sei die Voraussetzung (a) erfüllt und die Größe

$h:=\min \{a,\frac{b_1}{M},\dots ,\frac{b_m}{M}\}$

erklärt. Dann gibt es Funktionen

$y_i=y_i(x)\in C^1([\xi -h,\xi +h])$ für $i=1,\dots ,m$,

die das Anfangswertproblem (1), (2), (3) lösen.

Beweis

Offenbar reicht es aus, eine Lösung auf dem Intervall $[\xi ,\xi +h]$ zu konstruieren.

1. Sei $𝒵:\xi =:x_0<x_1<\dots <x_n:=\xi +h$ eine beliebige Zerlegung des Intervalls $[\xi ,\xi +h]$ in $n\in \mathbb{N}$ Teilintervalle mit dem Feinheitsmaß

$|𝒵|:=\underset{k=1,\dots ,n}{\max }|x_k-x_{k-1}|$.

Zu dieser Zerlegung $𝒵$ konstruieren wir nun den Euler-Cauchyschen Polygonzug

$𝐳(x)=(z_1(x),\dots ,z_m(x))={𝐳}^{𝒵}:[\xi ,\xi +h]\to {ℝ}^m$

wie folgt: Auf dem Intervall $[\xi ,x_1]$ definieren wir

$𝐳(x):=\eta +(x-\xi )f(\xi ,\eta ),\xi \le x\le x_1$

und wir berechnen

${𝐳}^{\prime }(x)=f(\xi ,\eta ),\xi \le x\le x_1$.

Somit folgt

(9) $|z_i(x)-{\eta }_i|\le |x-\xi ||f_i(\xi ,\eta )|\le h\cdot M\le b_i,x\in [\xi ,x_1]$ für $i=1,\dots ,m$.

Auf dem Intervall $(x_1,x_2]$ definieren wir

$𝐳(x):=𝐳(x_1)+(x-x_1)f(x_1,𝐳(x_1)),x_1\le x\le x_2$

und wir berechnen

${𝐳}^{\prime }(x)=f(x_1,𝐳(x_1)),x_1\le x\le x_2$.

Wir schätzen nun wie folgt ab

(10) $\begin{array}{c}|z_i(x)-{\eta }_i|\le \underset{\xi }{\overset{x}{\int }}|{z_i}^{\prime }(t)|dt=\underset{\xi }{\overset{x_1}{\int }}|f_i(\xi ,\eta )|dt+\underset{x_1}{\overset{x}{\int }}|f_i(x_1,𝐳(x_1))|dt\\ \le M\cdot |x-\xi |\le M\cdot h\le b_i,x\in [x_1,x_2]\mathrm{f}\ddot{\mathrm{u}}\mathrm{r}i=1,\dots ,m.\end{array}$

Wir führen nun das Verfahren fort und enden mit

$𝐳(x):=𝐳(x_{n-1})+(x-x_{n-1})f(x_{n-1},𝐳(x_{n-1})),x_{n-1}\le x\le x_n$.

Wir berechnen

${𝐳}^{\prime }(x)=f(x_{n-1},𝐳(x_{n-1})),x_{n-1}\le x\le x_n$

und schätzen nun wie folgt ab:

(11) $\begin{array}{c}|z_i(x)-{\eta }_i|\le \underset{\xi }{\overset{x}{\int }}|{z_i}^{\prime }(t)|dt=\underset{\xi }{\overset{x_1}{\int }}|f_i(\xi ,\eta )|dt+\underset{x_{n-1}}{\overset{x}{\int }}|f_i(x_{n-1},𝐳(x_{)})|dt\\ \le M\cdot |x-\xi |\le M\cdot h\le b_i,x\in [x_{n-1},x_n]\mathrm{f}\ddot{\mathrm{u}}\mathrm{r}i=1,\dots ,m.\end{array}$

Schließlich erklären wir noch die stückweise konstante Funktion

(12) $\zeta (x):=\{\begin{array}{c}𝐳(x_0),x_0\le x\le x_1\\ 𝐳(x_1),x_1<x\le x_2\\ ⋮\\ 𝐳(x_{n-1}),x_{n-1}<x\le x_n\end{array}$.

2. Wir betrachten nun die Funktionenfamilie

(13) $ℱ:=\{𝐳(x)={𝐳}^{𝒵}(x):[\xi ,\xi +h]\to {ℝ}^m|𝒵\text{ ist Zerlegung von }[\xi ,\xi +h]\}$.

Wie in Teil 1. zeigt man, dass für jedes $𝐳(x)=(z_1(x),\dots ,z_m(x))\in ℱ$ die Abschätzung

(14) $|z_i(x)-z_i(y)|\le M|x-y|$ für alle $x,y\in [\xi ,\xi +h]$ mit $i=1,\dots ,m$

richtig ist. Somit ist $ℱ$ eine gleichmäßig beschränkte, gleichgradig stetige Funktionenklasse. Auf Grund von Satz 2 können wir nun eine Zerlegungsfolge $\stackrel{k}{𝒵}$ vom Intervall $[\xi ,\xi +h]$ mit dem Feinheitsmaß

(15) $|\stackrel{k}{𝒵}|\to 0$ für $k\to \mathrm{\infty }$

finden, so dass für die zugehörigen Euler-Cauchyschen Polygonzüge

(16) ${𝐳}^k(x):={𝐳}^{\stackrel{k}{𝒵}},x\in [\xi ,\xi +h],k=1,2,3,\dots$

folgendes gilt: Die Funktionenfolge $\{{𝐳}^k(x){\}}_{k=1,2,3,\dots }$ konvergiert auf dem Intervall $[\xi ,\xi +h]$ gleichmäßig gegen die stetige Funktion

$y(x):=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }{𝐳}^k(x),x\in [\xi ,\xi +h]$.

Die zugehörigen Treppenfunktionen bezeichnen wir mit

${\zeta }^k(x):[\xi ,\xi +h]\to {ℝ}^m,k=1,2,3,\dots$.

3. Beachten wir nun die Eigenschaften (14) und (15), so konvergiert die Folge von Treppenfunktionen

(17) ${\zeta }^k(x)\to y(x)$ gleichmäßig auf dem Intervall $[\xi ,\xi +h]$ für $k\to \mathrm{\infty }$.

Auf Grund der gleichmäßigen Stetigkeit der Funktionen $f_i:R\to ℝ$ für $i=1,\dots ,m$ folgt die gleichmäßige Konvergenz von

(18) $\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(t,{\zeta }^k(t))=f(t,y(t)),t\in [\xi ,\xi +h]$.

Mit einem Konvergenzsatz für Riemannsche Integrale (siehe Satz 2 aus §5 in Kapitel V) erhalten wir die Identität

(19) $\begin{array}{c}y(x)-\eta =\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }({𝐳}^k(x)-\eta )=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{\xi }{\overset{x}{\int }}f(t,{\zeta }^k(t))dt\\ =\underset{\xi }{\overset{x}{\int }}\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(t,{\zeta }^k(t))dt=\underset{\xi }{\overset{x}{\int }}f(t,y(t))dt\end{array}$

für alle $x\in [\xi ,\xi +h]$. Der Satz 1 liefert nun die Behauptung.

q.e.d.

Beispiel 1: Mehrdeutigkeit beim Anfangswertproblem

Das Anfangswertproblem

(20) $y^{\prime }(x)=n|y{|}^{1-\frac{1}{n}},y(0)=0$

hat für $n=1,2,3,\dots$ die Lösungen

(21) $y_1(x):=0,x\in ℝ$

und

(22) $y_2(x):=\{\begin{array}{cc}{x}^n,& 0\le x\\ 0,& x\le 0\end{array}$.