Kurs:Analysis II/Kapitel V: Das Riemannsche Integral im R^n/Integration mittels Testfunktionen (§6)

Definition 1

Es seien die Dimensionen $n,m\in \mathbb{N}$ gewählt und die offene Menge $\mathrm{\Omega }\subset {ℝ}^n$ gegeben. Dann wird für eine Funktion $f:\mathrm{\Omega }\to {ℝ}^m\in C^0(\mathrm{\Omega },{ℝ}^m)$ ihr Träger oder auch englisch support durch

$supp(f):=\overline{\{x\in \mathrm{\Omega }:f(x)\ne 0\}}$

erklärt. Hierbei bezeichnet $\bar{\mathrm{\Theta }}$ den topologischen Abschluss der Menge $\mathrm{\Theta }$ im ${ℝ}^n$.

Definition 2

Zum Differenzierbarkeitsgrad $k\in \{0,1,2,\dots ,\mathrm{\infty }\}$ erklären wir die Menge der Testfunktionen durch

$\begin{array}{c}{C}_0^k(\mathrm{\Omega },{ℝ}^m)=C_c^k(\mathrm{\Omega },{ℝ}^m):=\{f\in C_c^k(\mathrm{\Omega },{ℝ}^m):supp(f)istkompakteMengeim{ℝ}^{n}underf\ddot{u}lltsupp(f)\subset \mathrm{\Omega }\}\end{array}$.

Wie üblich vereinbaren wir für reellwertige Funktionen die Klassen

$C_0^k(\mathrm{\Omega })=C_c^k(\mathrm{\Omega }):=C_0^k(\mathrm{\Omega },ℝ)=C_c^k(\mathrm{\Omega },ℝ)$

und

$C_0^k(\mathrm{\Omega },ℂ)=C_c^k(\mathrm{\Omega },ℂ):=C_0^k(\mathrm{\Omega },{ℝ}^2)=C_c^k(\mathrm{\Omega },{ℝ}^2)$.

Bemerkungen

1. Auf einer offenen Menge $\mathrm{\Omega }\subset {ℝ}^n$ kann jede Funktion $f\in C_0^k(\mathrm{\Omega },{ℝ}^m)$ zu einer Funktion

(2) $F(x)=\{\begin{array}{cc}f(x),& \text{falls }x\in \mathrm{\Omega }\\ \\ 0,& \text{falls }x\in {ℝ}^n\setminus \mathrm{\Omega }\end{array}$

der Regularitätsklasse $F\in C_0^k({ℝ}^n,{ℝ}^m)$ fortgesetzt werden. 2. Sei $\mathrm{\Omega }\subset {ℝ}^n$ eine offene Menge mit $\mathrm{\Omega }\ne {ℝ}^n$. Eine Funktion $f\in C_0^0(\mathrm{\Omega },{ℝ}^m)$ erfüllt nach Hilfssatz 1 aus §5 die Aussage

$dist(supp(f),{ℝ}^n\setminus \mathrm{\Omega })>0$.

Es ist nämlich $A:={ℝ}^n\setminus \mathrm{\Omega }$ eine abgeschlossene und $K:=supp(f)$ eine kompakte Menge sowie die Bedingung $({ℝ}^n\setminus \mathrm{\Omega })\cap supp(f)=\mathrm{\varnothing }$ erfüllt.

Wir wollen jetzt gewisse Glättungsfunktionen konstruieren, welche uns gute Dienste leisten werden. In Hilfssatz 3 von §1 in Kapitel III haben wir gezeigt, dass die Funktion

(3) $\psi (t):=\{\begin{array}{cc}\exp (-\frac{1}{t}),& \text{falls }t>0\\ \\ 0,& \text{falls }t\le 0\end{array}$

zur Regularitätsklasse $C^{\mathrm{\infty }}(ℝ)$ gehört. Zu beliebigem $R>0$ betrachten wir die Funktion

(4) ${\omega }_R(x):=\psi (|x{|}^2-R^2),x\in {ℝ}^n$

der Regularitätsklasse $C^{\mathrm{\infty }}({ℝ}^n)$. Wir beobachten ${\omega }_R(x)>0$ falls $|x|>R$ und ${\omega }_R(x)=0$ falls $|x|\le R$ gilt, also folgt

$supp({\omega }_R)=\{x\in {ℝ}^n:|x|\ge R\}$.

Weiter konstruieren wir die Funktion

(5) $\varrho =\varrho (t):ℝ\to ℝ\in C^{\mathrm{\infty }}(ℝ)$ vermöge $t\mapsto \varrho (t):=\psi (1-t)\psi (1+t)$.

Diese Funktion ist gemäß $\varrho (-t)=\varrho (t)$ für alle $t\in ℝ$ symmetrisch, erfüllt $\varrho (t)>0$ für alle $t\in (-1,1)$ sowie $\varrho (t)=0$ sonst und wir erhalten

$supp(\varrho )=[-1,1]$.

Schließlich erklären wir zum Mittelpunkt $\xi \in {ℝ}^n$ und Radius $\epsilon >0$ die kompakte Kugel

(6) $\begin{array}{c}{B}_{\epsilon }(\xi ):=\{x\in {ℝ}^n:|x-\xi |\le \epsilon \}\\ \\ \text{mit der }assoziiertenGl\ddot{a}ttungsfunktion\\ \\ {\phi }_{\xi ,\epsilon }(x):=\varrho \left(\frac{|x-\xi {|}^2}{{\epsilon }^2}\right),x\in {ℝ}^n.\end{array}$

Wir bemerken ${\phi }_{\xi ,\epsilon }\in C^{\mathrm{\infty }}({ℝ}^n,ℝ)$ und ermitteln ${\phi }_{\xi ,\epsilon }(x)>0$ für alle $x\in {\stackrel{\circ }{B}}_{\epsilon }(\xi )$ sowie ${\phi }_{\xi ,\epsilon }(x)=0$ für alle $x\in {ℝ}^n\setminus B_{\epsilon }(\xi )$. Damit folgt

$supp({\phi }_{\xi ,\epsilon })=B_{\epsilon }(\xi )$.

Satz 1 (Zerlegung der Eins)

Es sei $K\subset {ℝ}^n$ eine kompakte Menge und zu jedem Punkt $x\in K$ bezeichne ${𝒪}_x\subset {ℝ}^n$ eine offene Menge mit $x\in {𝒪}_x$. Wir können dann endlich – genauer $N\in \mathbb{N}$ – viele Punkte $x^{(1)},\dots ,x^{(N)}\in K$ auswählen, so dass die Überdeckungseigenschaft $K\subset \bigcup _{\nu =1}^N{𝒪}_{x^{(\nu )}}$ gilt. Weiter finden wir Funktionen

${\chi }_{\nu }={\chi }_{\nu }(x):{𝒪}_{x^{(\nu )}}\to [0,+\mathrm{\infty })\in C_0^{\mathrm{\infty }}({𝒪}_{x^{(\nu )}})$ für $\nu =1,\dots ,N$,

so dass die Funktion $\chi (x):=\sum _{\nu =1}^N{\chi }_{\nu }(x),x\in {ℝ}^n$ die folgenden Eigenschaften hat:

(a) Wir haben $\chi \in C_0^{\mathrm{\infty }}({ℝ}^n)$;

(b) Für alle $x\in K$ gilt $\chi (x)=1$;

(c) Für alle $x\in {ℝ}^n$ ist $0\le \chi (x)\le 1$ richtig.

Beweis

1.) Da $K\subset {ℝ}^n$ kompakt ist, gibt es ein $R>0$ mit $K\subset B:=B_R(0)$. Zu jedem $x\in B$ wählen wir nun eine offene Kugel ${\stackrel{\circ }{B}}_{\epsilon (x)}(x)$ vom Radius $\epsilon (x)>0$ derart, dass

(7) $B_{\epsilon (x)}(x)\subset {𝒪}_x$ für $x\in K$ und $B_{\epsilon (x)}(x)\subset {ℝ}^n\setminus K$ für $x\in B\setminus K$

erfüllt ist. Das Mengensystem ${\{{\stackrel{\circ }{B}}_{\epsilon (x)}(x)\}}_{x\in B}$ liefert dann eine offene Überdeckung der kompakten Menge $B$. Nach dem Heine-Borelschen Überdeckungssatz genügen dafür endlich viele offene Mengen, sagen wir

${\stackrel{\circ }{B}}_{{\epsilon }_1}(x^{(1)}),{\stackrel{\circ }{B}}_{{\epsilon }_N}(x^{(N)}),{\stackrel{\circ }{B}}_{{\epsilon }_{N+1}}(x^{(N+1)}),{\stackrel{\circ }{B}}_{{\epsilon }_{N+M}}(x^{(N+M)})$.

Hierbei haben wir $x^{(\nu )}\in K$ für $\nu =1,2,\dots ,N$ sowie $x^{(\nu )}\in B\setminus K$ für $\nu =N+1,\dots ,N+M$ gewählt und ${\epsilon }_{\nu }:=\epsilon (x^{(\nu )})$ gesetzt – mit gewissen natürlichen Zahlen $N$ sowie $M$. Mit den assoziierten Glättungsfunktionen aus (5) betrachten wir nun die nicht negativen Funktionen

(8) ${\phi }_{\nu }(x):={\phi }_{x^{(\nu )},{\epsilon }_{\nu }}(x),x\in {ℝ}^n$

der Regularitätsklasse ${\phi }_{\nu }\in C_0^{\mathrm{\infty }}({𝒪}_{x^{(\nu )}})$ für $\nu =1,\dots ,N$ bzw. ${\phi }_{\nu }\in C_0^{\mathrm{\infty }}({ℝ}^n\setminus K)$ für $\nu =N+1,\dots ,N+M$. Ferner erklären wir die Funktion ${\phi }_{N+M+1}(x):={\omega }_R(x)$, wobei ${\omega }_R$ in (4) definiert wurde. Offenbar erhalten wir dann die Positivität $\sum _{\nu =1}^{N+M+1}{\phi }_{\nu }(x)>0$ für alle $x\in {ℝ}^n$.

2.) Wir erklären nun die Funktionen ${\chi }_{\nu }$ vermöge

(9) ${\chi }_{\nu }(x):={[\sum _{\nu =1}^{N+M+1}{\phi }_{\nu }(x)]}^{-1}{\phi }_{\nu }(x),x\in {ℝ}^n$ für $\nu =1,\dots ,N+M+1$.

Dabei gehören die Funktionen ${\chi }_{\nu }$ und ${\phi }_{\nu }$ für $\nu =1,\dots ,N+M+1$ jeweils der gleichen Regularitätsklasse an. Zusätzlich gilt

$\sum _{\nu =1}^{N+M+1}{\chi }_{\nu }(x):={[\sum _{\nu =1}^{N+M+1}{\phi }_{\nu }(x)]}^{-1}\cdot \sum _{\nu =1}^{N+M+1}{\phi }_{\nu }(x)\equiv 1$ für alle $x\in {ℝ}^n$.

Die Eigenschaften (a), (b) und (c) der Funktion $<math>\chi (x)=\sum _{\mu =1}^m{\chi }_{\mu }(x)$ liest man direkt von der obigen Konstruktion ab.

Definition 3

Die Funktionen ${\chi }_1,\dots ,{\chi }_N$ aus Satz 1 nennen wir eine der offenen Überdeckung $\{{𝒪}_x{\}}_{x\in K}$ von $K$ untergeordnete Zerlegung der Eins.

Hilfssatz 1 (Ausschöpfung durch Testfunktionen)

Für jede offene Menge $\mathrm{\Omega }\subset {ℝ}^n$ gibt es eine Folge von Testfunktionen

${\omega }_k:\mathrm{\Omega }\to [0,1]\in C_0^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega }),k=1,2,\dots$,

die kompakt gleichmäßig in $\mathrm{\Omega }$ gegen die Funktion $\omega (x):=1,x\in \mathrm{\Omega }$ konvergiert. Genauer schöpfen die kompakten Mengen

${\mathrm{\Omega }}_k:=\{x\in \mathrm{\Omega }:{\omega }_k(x)=1\},k=1,2,\dots$

die offene Menge $\mathrm{\Omega }$ gemäß ${\mathrm{\Omega }}_k\to \mathrm{\Omega }(k\to \mathrm{\infty })$ aus.

Beweis

Nach Hilfssatz 2 aus §5 gibt es eine Folge von Jordanbereichen $J_k\subset \mathrm{\Omega }$ für $k=1,2,\dots$ mit $J_k\to \mathrm{\Omega }(k\to \mathrm{\infty })$. Für jedes $k\in \mathbb{N}$ gilt $dist(J_k,{ℝ}^n\setminus \mathrm{\Omega })>0$ gemäßHilfssatz 1 in §5 und wir können folglich geeignete Radien $\epsilon =\epsilon (x),x\in J_k$ so finden, dass ${\left\{{\stackrel{\circ }{B}}_{\epsilon (x)}\right\}}_{x\in J_k}$ ein offenes Überdeckungssystem von $J_k$ bildet. Wir finden mit Satz 1 eine untergeordnete Zerlegung der Eins ${\chi }_1^{(k)},\dots ,{\chi }_{N_k}^{(k)}$ und erklären die Funktionen

${\omega }_k:=\sum _{l=1}^{N_k}{\chi }_l^{(k)}(x),x\in \mathrm{\Omega }$ für $k=1,2,\dots$.

Diese Funktionenfolge besitzt offenbar die gewünschten Eigenschaften.

q.e.d.

Wir sind nun vorbereitet, den Beweis der Transformationsformel mehrfacher Integrale aus Satz 5 von §5 zu führen und vereinbaren hierzu die

Voraussetzung (T):

Zur fest gewählten Dimension $n\in \mathbb{N}$ seien $\mathrm{\Omega }\subset {ℝ}^n$ eine offene Punktmenge und $y:\mathrm{\Omega }\to {ℝ}^n$ vermöge

$x=(x_1,\dots ,x_n)\mapsto y(x)=(y_1(x),\dots ,y_n(x))$

eine injektive Abbildung mit den Eigenschaften $y\in C^1(\mathrm{\Omega },{ℝ}^n)$ und der Jacobischen

$J_y(x):=\det {\left(\frac{\partial y_i(x)}{\partial x_k}\right)}_{i,k=1,\dots ,n}\ne 0$ für alle $x\in \mathrm{\Omega }$.

Nach dem Fundamentalsatz über die inverse Abbildung (Satz 1 aus §4 in Kapitel IV) ist die Bildmenge

$\mathrm{\Theta }:=y(\mathrm{\Omega })=\{y\in {ℝ}^n:y=y(x),x\in \mathrm{\Omega }\}\subset {ℝ}^n$

offen. Die Abbildung $y=y(x):\mathrm{\Omega }\to \mathrm{\Theta }$ ist bijektiv und besitzt die Umkehrabbildung $x=x(y):\mathrm{\Theta }\to \mathrm{\Omega }\in C^1(\mathrm{\Theta },{ℝ}^n)$.

Wir werden unter der Voraussetzung (T) die folgende Frage beantworten: Man bestimme sinnvolle Klassen von Funktionen $f:\mathrm{\Theta }\to ℂ$, in welcher die Transformationsformel $𝔗(f)=0$ mit dem Transformationsfunktional

(10) $𝔗(f):=\underset{\mathrm{\Theta }}{\int }f(y)dy-\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }f(y(x))\cdot |J_y(x)|dx=0$

gilt.

Wir belassen dem Leser den Beweis der nachfolgenden Aussage als Übungsaufgabe.

Hilfssatz 2

Unter der Voraussetzung (T) werde die offene Menge $\mathrm{\Theta }$ durch die Kompakta ${\mathrm{\Theta }}_k,k=1,2,\dots$ ausgeschöpft. Dann schöpfen deren kompakte Urbildmengen

${\mathrm{\Omega }}_k:=\{x\in \mathrm{\Omega }:y(x)\in {\mathrm{\Theta }}_k\},k=1,2,\dots$

die kompakte Menge $\mathrm{\Omega }$ aus.

Hilfssatz 3

Unter der Voraussetzung (T) sind folgende Aussagen äquivalent:

$(i)$ Für alle Testfunktionen $f\in C_0^0(\mathrm{\Theta })$ gilt $𝔗(f)=0$.

$(ii)$ Für jeden Punkt $\eta \in \mathrm{\Theta }$ gibt es eine Zahl $\epsilon =\epsilon (\eta )>0$, so dass die Kugel $B_{\epsilon }(\eta ):=\{y\in {ℝ}^n:|y-\eta |\le \epsilon \}$ die Inklusionsbedingung $B_{\epsilon }(\eta )\subset \mathrm{\Theta }$ erfüllt und für alle lokalen Testfunktionen $f\in C_0^0({\stackrel{\circ }{B}}_{\epsilon }(\eta ))$ die Identität $𝔗(f)=0$ gilt.

Beweis

Da $(i)\Rightarrow (ii)$ selbstverständlich ist, zeigen wir nur $(ii)\Rightarrow (i)$: Für eine beliebige Funktion $f\in C_0^0(\mathrm{\Theta })$ ist die Menge $K:=supp(f)\subset \mathrm{\Theta }$ kompakt und wir betrachten deren offene Überdeckung $\{{\stackrel{\circ }{B}}_{\epsilon (\eta )}(\eta ):\eta \in K\}$. Mit Hilfe von Satz 1 konstruieren wir eine dem Mengensystem $\{{\stackrel{\circ }{B}}_{\epsilon (\eta )}(\eta ):\eta \in K\}$ untergeordnete Zerlegung der Eins von $supp(f)$ mit den Funktionen

(11) ${\chi }_{\nu }\in C_0^{\mathrm{\infty }}({\stackrel{\circ }{B}}_{{\epsilon }_{\nu }}({\eta }^{(\nu )}))$ mit ${\eta }^{(\nu )}\in K$ und ${\epsilon }_{\nu }:=\epsilon ({\eta }^{(\nu )})$ für $\nu =1,\dots ,N$.

Dann erklären wir die Funktionen $f_{\nu }$ vermöge

(12) $f_{\nu }(y):=f(y)\cdot {\chi }_{\nu }(y):{\stackrel{\circ }{B}}_{{\epsilon }_{\nu }}\left({\eta }^{(\nu )}\right)\to ℝ\in C_0^0\left({\stackrel{\circ }{B}}_{{\epsilon }_{\nu }}\left({\eta }^{(\nu )}\right)\right)$

und die Voraussetzung $(ii)$ liefert die Identität $𝔗(f_{\nu })=0$ für $\nu =1,\dots ,N$. Wir erhalten dann

(13) $\begin{array}{c}𝔗(f)=\underset{\mathrm{\Theta }}{\int }f(y)dy-\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }f(y(x))\cdot |J_y(x)|dx\\ \\ =\underset{\mathrm{\Theta }}{\int }\{\sum _{\nu =1}^{N}f(y)\cdot {\chi }_{\nu }(y)\}dy-\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }\{\sum _{\nu =1}^{N}f(y(x))\cdot {\chi }_{\nu }(y(x))\}\cdot |J_y(x)|dx\\ \\ =\underset{\mathrm{\Theta }}{\int }\{\sum _{\nu =1}^N{f}_{\nu }(y)\}dy-\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }\{\sum _{\nu =1}^N{f}_{\nu }(y(x))\}\cdot |J_y(x)|dx\\ \\ =\sum _{\nu =1}^N\{\underset{\mathrm{\Theta }}{\int }{f}_{\nu }(y)dy-\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }{f}_{\nu }(y(x))\cdot |J_y(x)|dx\}=\sum _{\nu =1}^N𝔗(f_{\nu })=0.\end{array}$

q.e.d.

Hilfssatz 4

Unter der Voraussetzung (T) gilt die Identität

$𝔗(f)=0$ für alle $f\in C_0^0(\mathrm{\Theta })$.

Beweis

1.) Wir zeigen diese Aussage durch vollständige Induktion über die Raumdimension $n$ und sichern zunächst den Induktionsanfang $n=1$. Gemäß Hilfssatz 3 haben wir nur die lokale Aussage zu beweisen. Zum beliebigen Punkt $\eta \in \mathrm{\Theta }\subset {ℝ}^1$ wählen wir $\epsilon =\epsilon (\eta )>0$ mit der Eigenschaft

$B_{\epsilon }(\eta )=[\eta -\epsilon ,\eta +\epsilon ]\subset \mathrm{\Theta }$.

Dann definieren wir die Urbildpunkte $x_1,x_2$ gemäß $y(x_1):=\eta -\epsilon$ sowie $y(x_2):=\eta +\epsilon$ und ihr zugehöriges Intervall durch

$I:=\{x\in ℝ:x=\lambda x_1+(1-\lambda )x_2,0\le \lambda \le 1\}$.

Nun liefert Satz 7 aus §5 in Kapitel II die Identität

(14) $\begin{array}{c}\underset{\mathrm{\Theta }}{\int }f(y)dy=\underset{\eta -\epsilon }{\overset{\eta +\epsilon }{\int }}f(y)dy\\ \\ =\underset{x_1}{\overset{x_2}{\int }}f(y(x))\cdot y^{\prime }(x)dx=\mathrm{sgn}{y}^{\prime }(x)\cdot \underset{x_1}{\overset{x_2}{\int }}f(y(x))\cdot |J_y(x)|dx\\ \\ =\underset{I}{\int }f(y(x))\cdot |J_y(x)|dx=\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }f(y(x))\cdot |J_y(x)|dx\end{array}$

für alle Funktionen $f\in C_0^0({\stackrel{\circ }{B}}_{\epsilon }(\eta ))$. Dabei handelt es sich beim 2. – 4. Integral obiger Identität (14) um orientierte eindimensionale Integrale. Schließlich beachten wir, dass die Signumfunktion von $y^{\prime }(x),x\in I$ konstant ist.

2.) Im Induktionsschritt $n\to n+1$ verwenden wir eine Feldeinbettung und interpretieren das $(n+1)$-dimensionale Integral als iteriertes Integral gemäß Satz 12 aus §3. Letzteres ist insbesondere für Testfunktionen möglich.
Es sei der Punkt $(\eta ,\zeta )=({\eta }_1,\dots ,{\eta }_n,\zeta )\in \subset {ℝ}^{n+1}$ gewählt. Die $(n+1)$-dimensionale Abbildung

$Y:\mathrm{\Omega }\to \mathrm{\Theta }$ vermöge $(x,t)=(x_1,\dots ,x_n,t)\mapsto Y(x,t)=Y(x_1,\dots ,x_n,t)$

erfülle die Voraussetzung (T) und es gelte

$Y(\xi ,\tau )=Y({\xi }_1,\dots ,{\xi }_n,\tau )=(\eta ,\zeta )$.

Durch eine Drehung um den Punkt $(\eta ,\zeta )$ können wir erreichen, dass die folgende Bedingung erreicht wird:

(15) $\frac{\partial Y(\xi ,\tau )}{\partial t}=Y_t(\xi ,\tau )=\lambda \cdot e_{n+1}$ mit einem $\lambda >0$.

Dabei ist der Einheitsvektor $e_{n+1}:=(0,\dots ,0,1)\in {ℝ}^{n+1}$ wie üblich erklärt. Ohne es zu erwähnen, werden wir in den nachfolgenden Überlegungen den Parameter $\epsilon >0$ mehrmals verkleinern. Zunächst definieren wir einen Quader

$Q:=({\xi }_1-\epsilon ,{\xi }_1+\epsilon )\times \dots \times ({\xi }_n-\epsilon ,{\xi }_n+\epsilon )\subset {ℝ}^n$

und ein offenes Intervall $I:=(\tau -\epsilon ,\tau +\epsilon )$. Weiter betrachten wir die Flächenschar

(16) $\begin{array}{c}{ℱ}_t:=\{Y(x,t)\in {ℝ}^{n+1}:x\in Q\}\\ \\ =\{Y(x_1,\dots ,x_n,t):x_i\in ({\xi }_i-\epsilon ,{\xi }_i+\epsilon )\mathrm{f}\ddot{\mathrm{u}}\mathrm{r}i=1,\dots ,n\}\end{array}$

in Abhängigkeit vom Parameter $t\in I$. Wir zerlegen nun die Abbildung $Y$ gemäß

(17) $Y(x,t)=(f(x,t),z(x,t))=(f_1(x,t),\dots ,f_n(x,t),z(x,t)),(x,t)\in Q\times I$.

Mit den Identitäten (15) bis (17) erhalten wir durch Entwicklung nach der letzten Spalte die folgenden Determinanten

(18) $\begin{array}{c}0\ne J_Y(\xi ,\tau )=\left|\begin{array}{cccc}\frac{\partial f_1(\xi ,\tau )}{\partial x_1}& \dots & \frac{\partial f_1(\xi ,\tau )}{\partial x_n}& \frac{\partial f_1(\xi ,\tau )}{\partial t}\\ \\ ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ \\ \frac{\partial f_n(\xi ,\tau )}{\partial x_1}& \dots & \frac{\partial f_n(\xi ,\tau )}{\partial x_n}& \frac{\partial f_n(\xi ,\tau )}{\partial t}\\ \\ \frac{\partial z(\xi ,\tau )}{\partial x_1}& \dots & \frac{\partial z(\xi ,\tau )}{\partial x_n}& \frac{\partial z(\xi ,\tau )}{\partial t}\end{array}\right|\\ \\ =\det (Y_{x_1}(\xi ,\tau {)}^{*},\dots ,Y_{x_n}(\xi ,\tau {)}^{*},\lambda \cdot e_{n+1}^{*})\\ \\ =\lambda \cdot {\left(\frac{\partial f_i(\xi ,\tau )}{\partial x_k}\right)}_{i,k=1,\dots ,n}=:\lambda \cdot J_f(\xi ,\tau ).\end{array}$

3.) Jetzt betrachten wir die Abbildung

(19) $F:Q\times I\to Z\in C^1(Q\times I,{ℝ}^{n+1})$ vermöge $(x,t)\mapsto F(x,t):=(f(x,t),t)$

mit der Jacobischen $J_F(\xi ,\tau )\ne 0$. Nach dem Fundamentalsatz über die inverse Abbildung (siehe Satz 1 aus §4 in Kapitel IV) gibt es eine zu $F$ inverse Abbildung

(20) $G:Z\to Q\times I\in C^1(Z,{ℝ}^{n+1})$ vermöge $(y,t)\mapsto G(y,t):=(g(y,t),t)$

mit der Variablen $y=(y_1,\dots ,y_n)$. Die Abbildung (19) stellt also einen $C^1$-Diffeomorphismus von $Q\times I$ auf $Z$ dar, wobei wir $\epsilon >0$ hinreichend klein zu wählen haben. Erklären wir die Projektionsbereiche

${\mathrm{\Omega }}^{(t)}:=\{y\in {ℝ}^n:(y,t)\in Z\}$ für $t\in I$,

so liefern (19) und (20) die Identität

$f(g(y,t),t)=y$ für alle $y\in {\mathrm{\Omega }}^{(t)}$ und $t\in I$.

Schließlich erklären wir für jedes $t\in I$ die Funktion

$\chi (y,t):=z(g(y,t),t),y\in {\mathrm{\Omega }}^{(t)}$

und beachten

$\begin{array}{c}Y(G(y,t))=(f(G(y,t)),z(G(y,t)))\\ \\ =(f(g(y,t),t),z(g(y,t),t))=(y,\chi (y,t))\mathrm{f}\ddot{\mathrm{u}}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{e}(y,t)\in Z\end{array}$

sowie die Identität

$J_G(y,t)=\det {\left(\frac{\partial g_i(y,t)}{\partial x_k}\right)}_{i,k=1,\dots ,n}=J_g(y,t),(y,t)\in Z$.

4.) Da nach Induktionsvoraussetzung und Hilfssatz 3 die Transformationsformel für ein festes $n\in \mathbb{N}$ bereits global gilt, ermitteln wir für beliebige Funktionen $f\in C_0^0({\stackrel{\circ }{B}}_{\epsilon }(\eta ,\zeta ))$, mit hinreichend kleinem Radius $\epsilon =\epsilon (\eta ,\zeta )>0$, die folgende Identität:

(22) $\begin{array}{c}\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }f(Y(x,t))\cdot |J_Y(x,t)|dxdt=\underset{\tau -\epsilon }{\overset{\tau +\epsilon }{\int }}\{\underset{Q}{\int }f(Y(x,t))\cdot |J_Y(x,t)|dx\}dt\\ \\ =\underset{\tau -\epsilon }{\overset{\tau +\epsilon }{\int }}\{\underset{{\mathrm{\Omega }}^{(t)}}{\int }f(Y(g(y,t),t))\cdot |J_Y(g(y,t),t)|\cdot |J_g(y,t)|dy\}dt\\ \\ =\underset{\tau -\epsilon }{\overset{\tau +\epsilon }{\int }}\{\underset{{\mathrm{\Omega }}^{(t)}}{\int }f(y,\chi (y,t))\cdot |J_Y(G(y,t))|\cdot |J_G(y,t)|dy\}dt\\ \\ =\underset{\tau -\epsilon }{\overset{\tau +\epsilon }{\int }}\{\underset{{\mathrm{\Omega }}^{(t)}}{\int }f(y,\chi (y,t))\cdot |J_{Y\circ G}(y,t)|dy\}dt\\ \\ =\underset{\tau -\epsilon }{\overset{\tau +\epsilon }{\int }}\{\underset{{ℝ}^n}{\int }f(y,\chi (y,t))\cdot {\chi }_t(y,t)dy\}dt\\ \\ =\underset{{ℝ}^n}{\int }\{\underset{\tau -\epsilon }{\overset{\tau +\epsilon }{\int }}f(y,\chi (y,t))\cdot {\chi }_t(y,t)dt\}dy=\underset{\mathrm{\Theta }}{\int }f(y,t)dydt.\end{array}$

Über Hilfssatz 3 erhalten wir die Gültigkeit von $𝔗(f)=0$ für alle $f\in C_0^0(\mathrm{\Theta })$ im Fall $n+1$.

q.e.d.

Satz 2

Sei die Voraussetzung (T) erfüllt und die stetige Funktion $f:\mathrm{\Theta }\to ℂ$ besitze das konvergente uneigentliche Integral $\underset{\mathrm{\Theta }}{\int }|f(y)|dy<+\mathrm{\infty }$. Dann gilt die Transformationsformel

(23) $\underset{\mathrm{\Theta }}{\int }f(y)dy=\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }f(y(x))\cdot |J_y(x)|dx.$

Beweis

1.) Sei die Funktion

$f=f_1(y)+i{f}_2(y):\mathrm{\Theta }\to ℂ$ mit $f_j\in C^0(\mathrm{\Theta })$ für $j=1,2$

gegeben. Dann ermitteln wir für $j=1,2$ die Abschätzung

(24) $\underset{\mathrm{\Theta }}{\int }{f}_j^{\pm }(y)dy\le \underset{\mathrm{\Theta }}{\int }|f_j(y)|dy\le \underset{\mathrm{\Theta }}{\int }|f(y)|dy<+\mathrm{\infty }$

mit dem Positivteil

$f_j^{+}(y):=\frac{1}{2}(|f_j(y)|+f_j(y)),y\in \mathrm{\Theta }$

und dem Negativteil

$f_j^{-}(y):=\frac{1}{2}(|f_j(y)|-f_j(y)),y\in \mathrm{\Theta }$.

Diese nicht negativen, stetigen Funktionen erfüllen die Darstellung

$f_j(y)=f_j^{+}(y)-f_j^{-}(y),y\in \mathrm{\Theta }$ für $j=1,2$.

Wenn wir also die Identität (23) einzeln für die Funktionen $f_j^{\pm }$ mit $j=1,2$ gezeigt haben, so ist diese Identität auch für $f$ bewiesen. Deshalb können wir ohne Einschränkung

(25) $f:\mathrm{\Theta }\to [0,+\mathrm{\infty })\in C^0(\mathrm{\Theta })$ mit $\underset{\mathrm{\Theta }}{\int }f(y)dy<+\mathrm{\infty }$

für unsere weiteren Überlegungen annehmen.

2.) Mit Hilfssatz 1 konstruieren wir eine, die offene Menge $\mathrm{\Theta }$ ausschöpfende, Funktionenfolge

(26) ${\theta }_k={\theta }_k(y):\mathrm{\Theta }\to [0,1]\in C_0^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Theta })$ für $k=1,2,\dots$.

Dann bildet die Folge

(27) ${\omega }_k(x):={\theta }_k(y(x)),x\in \mathrm{\Omega }$ für $k=1,2,\dots$

eine ausschöpfende Funktionenfolge der offenen Urbildmenge $\mathrm{\Omega }$. Aufgrund der Hilfssätze 1 und 2 erhalten wir folgende Ausschöpfungen durch Kompakta:

(28) $\begin{array}{c}{\mathrm{\Theta }}_k:=\{y\in \mathrm{\Theta }:{\theta }_k(y)=1\}\to \mathrm{\Theta }(k\to \mathrm{\infty }),\\ \\ {\mathrm{\Omega }}_k:=\{y\in \mathrm{\Omega }:{\omega }_k(y)=1\}\to \mathrm{\Omega }(k\to \mathrm{\infty }).\end{array}$

Die Anwendung von Hilfssatz 4 auf die Funktion

(29) $f_k(y):=f(y)\cdot {\theta }_k(y)\in C_0^0(\mathrm{\Theta })$

liefert für $k=1,2,\dots$ die Identitäten

(30) $\begin{array}{c}\underset{\mathrm{\Theta }}{\int }{f}_k(y)dy=\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }{f}_k(y(x))\cdot |J_y(x)|dx\\ \\ =\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }f(y(x))\cdot {\theta }_k(y(x))\cdot |J_y(x)|dx=\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }f(y(x))\cdot {\omega }_k(x)\cdot |J_y(x)|dx.\end{array}$

3.) Nach Satz 3 aus §5 gilt

(31) $\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{\mathrm{\Theta }}{\int }{f}_k(y)dy=\underset{\mathrm{\Theta }}{\int }f(y)dy$.

Wenn $K\subset \mathrm{\Omega }$ ein beliebiger Jordanbereich ist, dann gibt es eine natürliche Zahl $k_0=k_0(K)$ mit der Eigenschaft

${\omega }_k(x)=1$ für alle $x\in K$ und alle $k\ge k_0$.

Damit folgt die Abschätzung

(32) $\begin{array}{c}\underset{K}{\int }f(y(x))\cdot |J_y(x)|dx\le \underset{\mathrm{\Omega }}{\int }{\omega }_k(x)\cdot f(y(x))\cdot |J_y(x)|dx\\ \\ =\underset{\mathrm{\Theta }}{\int }{f}_k(y)dy\le \underset{\mathrm{\Theta }}{\int }f(y)dy.\end{array}$

Alle Jordan-Bereiche $K\subset \mathrm{\Omega }$ erfüllen (32) und Satz 1 aus §5 ergibt die Existenz des uneigentlichen Integrals

$\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }f(y(x))\cdot |J_y(x)|dx$.

Mit Satz 3 aus §5 ermitteln wir die Identität

(33) $\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }{\omega }_k(x)\cdot f(y(x))\cdot |J_y(x)|dx=\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }f(y(x))\cdot |J_y(x)|dx$.

Insgesamt erhalten wir durch Grenzübergang in (30) – mit Hilfe der Aussagen (31) und (33) – für alle stetigen Funktionen $f$ aus (25) die Behauptung

(34) $\begin{array}{c}\underset{\mathrm{\Theta }}{\int }f(y)dy=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{\mathrm{\Theta }}{\int }{f}_k(y)dy\\ \\ \underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }{\omega }_k(x)\cdot f(y(x))\cdot |J_y(x)|dx=\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }f(y(x))\cdot |J_y(x)|dx.\end{array}$

q.e.d.