Kurs:Analysis II/Kapitel V: Das Riemannsche Integral im R^n/Integration mittels Standardsubstitutionen (§1)

Definition 1

Eine rationale Funktion $R$ in den reellen Variablen $x_1,...,x_n$ entsteht durch die algebraischen Operationen Addition, Multiplikation und Division aus den Variablen $x_1,...,x_n$. Somit folgt

$R(x_1,...,x_n)=\frac{P(x_1,...,x_n)}{Q(x_1,...,x_n)}$

Dabei sind die Polynome in mehreren Veränderlichen vom Grad $M\in {\mathbb{N}}_0$ durch

$P(x_1,...,x_n)=\sum _{\Vert \mu \Vert =0}^M{a}_{\mu }\left(\prod _{i=1}^n{x}_i^{{\mu }_i}\right)$

mit den Koeffizienten $a_{\mu }\in ℝ$ und den Multiindices

$\mu =({\mu }_1,...,{\mu }_n)\in {\mathbb{N}}_0\times ...\times {\mathbb{N}}_0$

vom Betrag $\Vert \mu \Vert :=\sum _{i=1}^n{\mu }_i$ beziehungsweise vom Grad $N\in {\mathbb{N}}_0$ durch

$Q(x_1,...,x_n)=\sum _{\Vert \nu \Vert =0}^N{b}_{\nu }\left(\prod _{i=1}^n{x}_i^{{\nu }_i}\right)$

mit den Koeffizienten $b_{\nu }\in ℝ$ und den Multiindices

$\nu =({\nu }_1,...,{\nu }_n)\in {\mathbb{N}}_0\times ...\times {\mathbb{N}}_0$

vom Betrag $\Vert \nu \Vert :=\sum _{i=1}^n{\nu }_i$ erklärt.

(I) Integrale vom Typ $\int R(e^x)dx$

Durch die Substitution $t=t(x)=e^x$ mit $dx=\frac{dt}{t}$ entstehen Integrale der Form

$\int R(e^x)dx=\int \frac{R(t)}{t}dt=\int \tilde{R}(t)dt$

mit der gebrochen rationalen Funktion $\tilde{R}$.
Zum Beispiel können wir auf das Integral

$\int \frac{e^x+e^{2x}}{e^{5x}+e^{7x}}dx=\int \frac{1+t}{t^5+t^7}dt=\int \frac{t+1}{t^5\cdot (t-i)\cdot (t+1))}dt$

die Methoden aus §9 in Kapitel III anwenden.

(II) Integrale vom Typ $\int R(\cosh x,\sinh x)dx$

Wegen Definition 1 aus §3 in Kapitel III sind diese Integrale bereits in (I) behandelt worden. Als Beispiel betrachten wir

$\int \frac{1}{\cosh x}dx=2\int \frac{1}{e^x+e^{-x}}dx\stackrel{\text{(I)}}{=}2\int \frac{1}{1+t^2}dt=2\arctan e^x+c$ mit $c\in ℝ$.

(III) Integrale vom Typ $\int R(\cos x,\sin x)dx$ (Halbwinkelmethode)

Durch die Substitution

(1) $z=z(x)=\tan \left(\frac{x}{2}\right)$ für $|x|<\pi (x=2\arctan x\text{ und }dx=\frac{2dz}{1+z^2})$

der sogenannten Halbwinkelmethode erhalten wir wegen der Identitäten

(2) $\begin{array}{c}\cos x=\frac{\cos (2\cdot \frac{x}{2})}{1}=\frac{{\cos }^2\left(\frac{x}{2}\right)-{\sin }^2\left(\frac{x}{2}\right)}{{\cos }^2\left(\frac{x}{2}\right)+{\sin }^2\left(\frac{x}{2}\right)}=\frac{1-{\tan }^2\left(\frac{x}{2}\right)}{1+{\tan }^2\left(\frac{x}{2}\right)}=\frac{1-z^2}{1+z^2},\\ \\ \sin x=\frac{\sin (2\cdot \frac{x}{2})}{1}=\frac{2\cos \left(\frac{x}{2}\right)\cdot \sin \left(\frac{x}{2}\right)}{{\cos }^2\left(\frac{x}{2}\right)+{\sin }^2\left(\frac{x}{2}\right)}=\frac{2\tan \left(\frac{x}{2}\right)}{1+{\tan }^2\left(\frac{x}{2}\right)}=\frac{2z}{1+z^2}\end{array}$

Integrale der Form

$\int R(\cos x,\sin x)dx=2\int \frac{1}{1+z^2}\cdot R(\frac{1-z^2}{1+z^2},\frac{2z}{1+z^2})dz=\int \tilde{R}(z)dz$

mit der gebrochen rationalen Funktion $\tilde{R}$.
So betrachten wir als Beispiel

$\int \frac{dx}{\sin x}=\int \frac{1+z^2}{2z}\cdot \frac{2dz}{1+z^2}=\int \frac{dz}{z}=\ln |\tan \left(\frac{x}{2}\right)|+c$ mit $c\in ℝ$.

(IV) Integrale vom Typ $\int R(x,\sqrt{a{x}^2+bx+c})dx$ mit den Parametern $a,b,c\in ℝ$

Fall 1 ($a=b=0$):

Dann stellt $\int R(x,\sqrt{c})dx$ bereits das Integral einer rationalen Funktion dar.

Fall 2 ($a=0$ und $b,c\ne 0$):

Die Substitution

(3) $w^2=bx+c(x=x(w)=\frac{w^2-c}{b}\text{ und }dx=\frac{2}{b}\cdot wdw)$

führt uns auf den Ausdruck

$\int R(x,\sqrt{a{x}^2+bx+c})dx=\int R(\frac{w^2-c}{b},w)\cdot \frac{2w}{b}dw=\int \tilde{R}(w)dw$,

also ein Integral mit gebrochen rationalen Integranden $\tilde{R}$.

Fall 3 ($a,b,c\ne 0$):

Diese Integrale lassen sich auf Integrale über rationale Funktionen von trigonometrischen Funktionen oder Hyperbelfunktionen zurückführen: Zunächst liefert die quadratische Ergänzung im Radikanden

(4) $\begin{array}{c}a{x}^2+bx+c=a(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a})=a[{(x+\frac{b}{2a})}^2-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{c}{a}]\\ \\ =a[{(x+\frac{b}{2a})}^2+\frac{4ac-b^2}{4a^2}]\end{array}$.

Fall 3a ($b^2=4ac$):

Dann folgt die Identität

$\sqrt{a{x}^2+bx+c}=\pm \sqrt{|a|}\cdot (x^2+\frac{b}{2a})$.

Hier lässt sich die Wurzel im Integranden ziehen und es bleibt das Integral einer rationalen Funktion zu ermitteln.

Fall 3b ($b^2\ne 4ac$):

Wir setzen dann

$D:=\frac{1}{2|a|}\sqrt{|4ac-b^2|}$

und wählen die Vorzeichenfaktoren $E,F\in \{-1,+1\}$ so, dass

(5) $\begin{array}{c}a{x}^2+bx+c=|a|\cdot [E{(x+\frac{b}{2a})}^2+F\cdot D^2]\\ \\ =|a|\cdot D^2\cdot [E{(\frac{x}{D}+\frac{b}{2aD})}^2+F]\end{array}$

erfüllt ist. Durch die Substitution

(6) $t=t(x)=\frac{x}{D}+\frac{b}{2aD}(x=D\cdot t-\frac{b}{2a}\text{ und }dx=D\cdot dt)$

entstehen Integrale der folgenden Form

$\int R(x,\sqrt{a{x}^2+bx+c})dx=\int R(Dt-\frac{b}{2a},D\cdot \sqrt{|a|}\cdot \sqrt{E\cdot t^2+F})Ddt$.

Somit sind die folgenden Grundintegrale vom Typ

(7) $\begin{array}{c}\int R_1(x,\sqrt{1+x^2})dx,\int R_2(x,\sqrt{1-x^2})dx,\int R_3(x,\sqrt{x^2-1})dx\end{array}$

zu berechnen. Die Substitutionen

(8) $x=\sinh t$ in $\int R_1(x,\sqrt{1+x^2})dx$

bzw.

(9) $x=\cosh t$ in $\int R_3(x,\sqrt{x^2-1})dx$

führen uns auf Integrale vom Typ (I). Für die Integrale

$\int R_2(x,\sqrt{1-x^2})dx$

liefern sowohl die Substitution $x=\cos t$ als auch $x=\sin t$ Integrale vom Typ (III).

(V) Integrale vom Typ $\int R(x^{r_1},x^{r_2},...,x^{r_n})dx$ mit $r_k\in \mathbb{Q}$

Wir gehen von den Exponenten

$r_k=\frac{p_k}{q}$ mit $p_k\in \mathbb{Z}$ und $q\in \mathbb{N}$ für $k=1,2,...,n$

aus. Das Integral lässt sich durch die Substitution

(10) $t=t(x)=x^{\frac{1}{q}}(x=t^q\text{ und }dx=q\cdot t^{q-1}dt)$

rationalisieren, d. h. es gilt

(11) $\begin{array}{c}\int R(x^{\frac{p_1}{q}},x^{\frac{p_2}{q}},...,x^{\frac{p_n}{q}})dx=q\int R(t^{p_1},t^{p_2},...,t^{p_n})\cdot t^{q-1}dt=\int \tilde{R}(t)dt\end{array}$

mit der gebrochen rationalen Funktion $\tilde{R}$.

Bemerkungen zu (IV)

Wir wollen nun geeignete Substitutionen angeben, um die obigen Grundintegrale aus Teil (IV) direkt in gebrochen rationale Integranden umzurechnen: Für $R_3$ können wir das Integral durch die Substitution $x=\frac{1}{x}$ auf den zweiten Typ zurückführen, denn es gilt

(12) $\begin{array}{c}\int R_3(x,\sqrt{x^2-1})dx=-\int \frac{1}{z^2}{R}_3(\frac{1}{z},\frac{1}{z}\sqrt{1-z^2})dz=\int R_2(z,\sqrt{1-z^2})dz\end{array}$.

Zur Rationalisierung von $R_2$ substituieren wir

(13) $x=x(w)=\frac{1-w^2}{1+w^2}$

und erhalten

(14) $\int R_2(x,\sqrt{1-x^2})dx=-\int R_2(\frac{1-w^2}{1+w^2},\frac{2w}{1+w^2})\cdot \frac{4w}{(1+w^2{)}^2}dw=\int \tilde{R}(w)dw$

mit der gebrochen rationalen Funktion $\tilde{R}$.
Setzen wir $y=\sqrt{x^2+1}$ im Falle des Integranden $R_1$, so folgt

$y^2-x^2=(y-x)(y+x)=1$.

Mit $x+y=v$ erhalten wir $x-y=\frac{1}{v}$ sowie $2x=v-\frac{1}{v}$. Die Substitution

(15) $x=x(v)=\frac{1}{2}(v-\frac{1}{v})$

liefert schließlich

(16) $\int R_1(x,\sqrt{1+x^2})dx=\frac{1}{2}\int R_1(\frac{v-\frac{1}{v}}{2},\frac{v+\frac{1}{v}}{2})\cdot (1+\frac{1}{v^2})dv=\int \tilde{R}(v)dv$

mit der gebrochen rationalen Funktion $\tilde{R}$.