Kurs:Analysis II/Kapitel V: Das Riemannsche Integral im R^n/Flächeninhalt und Differentialformen

§8 Flächeninhalt und Differentialformen

Definition 1

Sei die offene Menge $T\subset {ℝ}^m$ mit $m\in \mathbb{N}$ als Parameterbereich gegeben. Weiter sei

$X(t)=\left(\begin{array}{c}{x}_1(t_1,\dots ,t_m)\\ ⋮\\ x_n(t_1,\dots ,t_m)\end{array}\right):T\to {ℝ}^n\in C^k(T,{ℝ}^n)$

mit $k,n\in \mathbb{N}$ und $m\le n$ eine Abbildung, deren Funktionalmatrix

$\partial X(t)=(X_{t_1}(t),\dots ,X_{t_m}(t)),t\in T$

für alle $t\in T$ den Rang $m$ hat. Dann nennen wir $X$ eine parametrisierte, reguläre Fläche mit der Parameterdarstellung $X(t):T\to {ℝ}^n$.

Sind $X:T\to {ℝ}^n$ und $\tilde{X}:\tilde{T}\to {ℝ}^n$ zwei Parameterdarstellungen, so nennen wir diese äquivalent, wenn es eine topologische Abbildung

$t=t(s)=(t_1(s_1,\dots ,s_m),\dots ,t_m(s_1,\dots ,s_m)):\tilde{T}\to T\in C^k(\tilde{T},T)$

gibt mit den folgenden Eigenschaften:

1. $J(s):=\frac{\partial (t_1,\dots ,t_m)}{\partial (s_1,\dots ,s_m)}(s)=\left|\begin{array}{ccc}\frac{\partial t_1}{\partial s_1}(s)& \dots & \frac{\partial t_1}{\partial s_m}(s)\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ \frac{\partial t_m}{\partial s_1}(s)& \dots & \frac{\partial t_m}{\partial s_m}(s)\end{array}\right|>0$ für alle $s\in \tilde{T}$,
2. $\tilde{X}(s)=X(t(s))$ für alle $s\in \tilde{T}$.

Man sagt, dass $\tilde{X}$ aus $X$ durch orientierungstreues Umparametrisieren entsteht. Die Äquivalenzklasse $[X]$ aller zu $X$ äquivalenten Parameterdarstellungen nennen wir offene, orientierte, $m$-dimensionale, reguläre Fläche der Klasse $C^k$ im ${ℝ}^n$. Wir nennen eine Fläche eingebettet in den ${ℝ}^n$, falls zusätzlich $X:T\to {ℝ}^n$ injektiv ist.

Seien $X:T\to {ℝ}^n$ eine Fläche mit $T\subset {ℝ}^m$ als Parameterbereich und den Dimensionen $1\le m\le n$. Mit

$g_{ij}(t):=X_{t_i}(t)\cdot X_{t_j}(t),t\in T$ für $i,j=1,\dots ,m$

bezeichnen wir den metrischen Tensor oder Maßtensor der Fläche $X$. Ferner heißt

$g(t):=\det (g_{ij}(t){)}_{i,j=1,\dots ,m},t\in T$

ihre Gramsche Determinante. Ergänzen wir das System $\{X_{t_i}{\}}_{i=1,\dots ,m}$ für beliebiges $t\in T$ durch Vektoren ${\xi }_j(t)$ im ${ℝ}^n$ für $j=1,\dots ,n-m$ mit den Eigenschaften

(a) ${\xi }_j(t)\cdot {\xi }_k(t)={\delta }_{jk}$ für $j,k=1,\dots ,n-m$,

(b) $X_{t_i}(t)\cdot {\xi }_j(t)=0$ für $i=1,\dots ,m$ und $j=1,\dots ,n-m$,

(c) $\det (X_{t_1},\dots ,X_{t_m},{\xi }_1,\dots ,{\xi }_{n-m}){|}_t>0,$

so können wir das Oberflächenelement folgendermaßen berechnen:

(1) $\begin{array}{c}d\sigma (t)=\det (X_{t_1},\dots ,X_{t_m},{\xi }_1,\dots ,{\xi }_{n-m})d{t}_1\dots d{t}_m\\ =\sqrt{\det \{(X_{t_1},\dots ,{\xi }_{n-m}{)}^{*}\circ (X_{t_1},\dots ,{\xi }_{n-m})\}}d{t}_1\dots d{t}_m\\ \sqrt{\det (g_{ij}(t){)}_{i,j=1,\dots ,m}}d{t}_1\dots d{t}_m=\sqrt{g(t)}d{t}_1\dots d{t}_m,t\in T.\end{array}$

Hilfssatz 1

Seien $A,B$ zwei $(n\times m)$-Matrizen mit $m\le n$. Für $1\le i_1<\dots <i_m\le n$ bezeichne $A_{i_1\dots i_m}$ die Matrix, welche aus den Zeilen $i_1,\dots ,i_m$ der Matrix $A$ besteht; entsprechend seien die Untermatrizen von $B$ definiert. Dann gilt

$\det (A^{*}\circ B)\sum _{1\le i_1<\dots <i_m\le n}\det A_{i_1\dots i_m}\det B_{i_1\dots i_m}.$

Beweis

Wir fixieren $A$ und zeigen, dass die Identität für alle Matrizen $B$ gilt.

1. Seien $e_1,\dots ,e_n$ die Spalteneinheitsvektoren des ${ℝ}^n$, so gilt obige Formel zunächst für alle $B=(e_{j_1},\dots ,e_{j_m})$ mit $j_1,\dots ,j_m\in \{1,\dots ,n\}$.
2. Gilt obige Formel für die Matrix $B=(b_1,\dots ,b_m)$, so gilt sie auch für die Matrix $B^{\prime }=(b_1,\dots ,\lambda b_i,\dots ,b_m)$.
3. Gilt die Formel für Matrizen $B^{\prime }=(b_1,\dots ,{b_i}^{\prime },\dots ,b_m)$ und $B^{″}=(b_1,\dots ,{b_i}^{″},\dots ,b_m)$, so auch für die Matrix $B=(b_1,\dots ,{b_i}^{\prime }+{b_i}^{″},\dots ,b_m)$.

Folgerung

Eine $(n\times m)$-Matrix $A$ erfüllt

$\det (A^{*}\circ A)=\sum _{1\le i_1<\dots <i_m\le n}(\det A_{i_1\dots i_m}{)}^2.$

Schreiben wir nun den metrischen Tensor in der Form

$(g_{ij}(t){)}_{i,j=1,\dots ,m}=\partial X(t{)}^{*}\circ \partial X(t)$

mit der Jacobi-Matrix $\partial X(t)=(X_{t_1}(t),\dots ,X_{t_m}(t))$, so folgt

(2) $g(t)=\det (g_{ij}(t){)}_{i,j=1,\dots ,m}=\sum _{1\le i_1<\dots <i_m\le n}{(\frac{\partial (x_{i_1},\dots ,x_{i_m}}{\partial (t_1,\dots ,t_m)}(t))}^2.$

Also ergibt sich für das Oberflächenelement einer $m$-dimensionalen Fläche im ${ℝ}^n$

(3) $d\sigma (t)=\sqrt{g(t)}d{t}_1\dots d{t}_m=\sqrt{\sum _{1\le i_1<\dots <i_m\le n}{(\frac{\partial (x_{i_1},\dots ,x_{i_m}}{\partial (t_1,\dots ,t_m)}(t))}^2}d{t}_1\dots d{t}_m.$

Definition 2

Unter dem Flächeninhalt einer offenen, orientierten, $m$-dimensionalen, regulären $C^1$-Fläche im ${ℝ}^n$ mit einer Parameterdarstellung $X(T):T\to {ℝ}^n$ verstehen wir das uneigentliche Riemannsche Integral

$A(X):=\underset{T}{\int }\sqrt{\sum _{1\le i_1<\dots <i_m\le n}{(\frac{\partial (x_{i_1},\dots ,x_{i_m}}{\partial (t_1,\dots ,t_m)}(t))}^2}d{t}_1\dots d{t}_m,$

wobei $T\subset {ℝ}^m$ offen und $1\le m\le n$ erfüllt ist. Falls $A(X)<+\mathrm{\infty }$ ausfällt, hat die Fläche $[X]$ endlichen Flächeninhalt.

Bemerkungen

1. Mit Hilfe der Transformationsformel für mehrfache Integrale stellt man fest, dass der Wert des Flächeninhalts unabhängig von der Auswahl der Parameterdarstellung ist.
2. Es treten häufig Integrale auf, die nur von der $m$-dimensionalen Fläche und nicht von ihrer Parameterdarstellung abhängen. Auf diese Weise werden wir zu Integralen über sogenannte Differentialformen geführt.

Definition 3

Auf der offenen Menge $𝒪\subset {ℝ}^n$ seien die Funktionen $a_{i_1\dots i_m}\in C^k(𝒪),k\in {\mathbb{N}}_0$ mit $i_1,\dots ,i_m\in \{1,\dots ,n\}$ für $1\le m\le n$ gegeben. Wir erklären die Menge

$ℱ:=\{X|X:T\to {ℝ}^n$ ist reguläre, orientierte, $m$-dimensionale Fläche mit

endlichem Flächeninhalt und $X(T)\subset \subset 𝒪\}.$

Unter einer Differentialform vom Grade $m$ der Klasse $C^k(𝒪)$, nämlich

$\omega :=\sum _{i_1,\dots ,i_m=1}^n{a}_{i_1\dots i_m}(x)d{x}_{i_1}\wedge \dots \wedge d{x}_{i_m}$

oder kurz einer $m$-Form der Klasse $C^k(𝒪)$ verstehen wir die Funktion

(4) $\omega :ℱ\to ℝ$ erklärt durch $\omega (X):=\underset{T}{\int }\sum _{i_1,\dots ,i_m=1}^n{a}_{i_1\dots i_m}(X(t))\frac{\partial (x_{i_1},\dots ,x_{i_m})}{\partial (t_1,\dots ,t_m)}d{t}_1\dots d{t}_m,X\in ℱ.$

Bemerkungen

1. Wir schreiben $A\subset \subset 𝒪$, falls $\bar{A}\subset {ℝ}^n$ kompakt und $\bar{A}\subset 𝒪$ erfüllt ist.

2. Da die Koeffizientenfunktion $a_{i_1\dots i_m}(X(t))$ beschränkt sind und die Fläche endlichen Flächeninhalt hat, konvergiert das auftretende Integral absolut.

3. Sind

$\omega =\sum _{i_1,\dots ,i_m=1}^n{a}_{i_1\dots i_m}(x)d{x}_{i_1}\wedge \dots \wedge d{x}_{i_m}$

und

$\tilde{\omega }=\sum _{i_1,\dots ,i_m=1}^n{\tilde{a}}_{i_1\dots i_m}(x)d{x}_{i_1}\wedge \dots \wedge d{x}_{i_m}$

zwei Differentialsymbole, so können wir unter diesen die Äquivalenzrelation

$\omega \sim \tilde{\omega }\iff \omega (X)=\tilde{\omega }(X)$ für alle $X\in ℱ$

erklären. Eine Differentialform kann somit als Äquivalenzklasse von Differentialsymbolen aufgefasst werden, wobei dann ein Repräsentant zu ihrer Kennzeichnung ausgewählt wird.

4. Sind $X,\tilde{X}\in ℱ$ zwei äquivalente Darstellungen der Fläche $[X]$, so gilt

$\omega (\tilde{X})=\underset{T}{\int }\sum _{i_1,\dots ,i_m=1}^n{a}_{i_1\dots i_m}(\tilde{X}(s))\frac{\partial ({\tilde{x}}_{i_1},\dots ,{\tilde{x}}_{i_m})}{\partial (s_1,\dots ,s_m)}d{s}_1\dots d{s}_m$

$=\underset{T}{\int }\sum _{i_1,\dots ,i_m=1}^n{a}_{i_1\dots i_m}(X(t(s)))\frac{\partial (x_{i_1},\dots ,x_{i_m})}{\partial (t_1,\dots ,t_m)}\frac{\partial (t_1,\dots ,t_m)}{\partial (s_1,\dots ,s_m)}d{s}_1\dots d{s}_m$

$=\underset{T}{\int }\sum _{i_1,\dots ,i_m=1}^n{a}_{i_1\dots i_m}(X(t))\frac{\partial (x_{i_1},\dots ,x_{i_m})}{\partial (t_1,\dots ,t_m)}d{t}_1\dots d{t}_m=\omega (X).$

Somit stellt $\omega$ eine Abbildung dar, die auf den Äquivalenzklassen der orientierten Flächen $[X]$ mit $X\in ℱ$ erklärt ist.

5. Bei einer orientierungsumkehrenden Parametertransformation $t=t(s)$ mit $J(s)<0,s\in \tilde{T}$ ändert sich das Vorzeichen gemäß $\omega (\tilde{X})=-\omega (X)$.

Definition 4

Unter einer $0$-Form der Klasse $C^k(𝒪)$ verstehen wir eine Funktion $f(x)\in C^k(𝒪)$ also $\omega =f(x),x\in 𝒪$. Zu $1\le m\le n$ nennen wir

${\beta }^m:=d{x}_{i_1}\wedge \dots \wedge d{x}_{i_m},1\le i_1,\dots ,i_m\le n$

eine Basis-$m$-Form.

Definition 5

Seien die $m$-Formen $\omega ,{\omega }_1,{\omega }_2$ der Klasse $C^0(𝒪)$ und der Skalar $c\in ℝ$ gegeben. Dann erklären wir die Differentialformen $c\omega$ und ${\omega }_1+{\omega }_2$ durch

$(c\omega )(X):=c\omega (X)$ für alle $X\in ℱ$

bzw.

$({\omega }_1+{\omega }_2)(X):={\omega }_1(X)+{\omega }_2(X)$ für alle $X\in ℱ$.

Die $m$-dimensionalen Differentialformen bilden einen Vektorraum mit dem Nullelement

$o(X)=0$ für alle $X\in ℱ$.

Definition 6

Seien die Differentialformen

${\omega }_1:=\sum _{1\le i_1,\dots ,i_l\le n}{a}_{i_1\dots i_l}(x)d{x}_{i_1}\wedge \dots \wedge d{x}_{i_l}$

vom Grade $l$ sowie

${\omega }_2:=\sum _{1\le j_1,\dots ,j_m\le n}{b}_{j_1\dots j_m}(x)d{x}_{j_1}\wedge \dots \wedge d{x}_{j_m}$

vom Grade $m$ der Klasse $C^k(𝒪)$ mit $k\in {\mathbb{N}}_0$ gegeben. Dann erklären wir das äußere Produkt von ${\omega }_1$ und ${\omega }_2$ als die $(l+m)$-Form

$\omega ={\omega }_1\wedge {\omega }_2:=\sum _{1\le i_1,\dots ,i_l;j_1,\dots ,j_m\le n}{a}_{i_1\dots i_l}(x)b_{j_1\dots j_m}(x)d{x}_{i_1}\wedge \dots \wedge d{x}_{i_l}\wedge d{x}_{j_1}\wedge \dots \wedge d{x}_{j_m}$

der Klasse $C^k(𝒪)$.

Bemerkungen

1. Für beliebige Differentialformen ${\omega }_1,{\omega }_2,{\omega }_3$ gilt das Assoziativgesetz

$({\omega }_1\wedge {\omega }_2)\wedge {\omega }_3={\omega }_1\wedge ({\omega }_2\wedge {\omega }_3).$

2. Seien ${\omega }_1,{\omega }_2$ zwei $l$-Formen und ${\omega }_3$ eine $m$-Form, so gilt das Distributivgesetz

$({\omega }_1+{\omega }_2)\wedge {\omega }_3={\omega }_1\wedge {\omega }_3+{\omega }_2\wedge {\omega }_3.$

3. Wegen des alternierenden Charakters der Determinante ergibt sich das Permutationsgesetz

$d{x}_{i_1}\wedge \dots \wedge d{x}_{i_l}=\mathrm{sign}(\pi )d{x}_{i_{\pi (1)}}\wedge \dots \wedge d{x}_{i_{\pi (l)}}.$

Dabei bezeichnet $\pi :\{1,\dots ,l\}\to \{1,\dots ,l\}$ eine Permutation mit dem Vorzeichen $\mathrm{sign}(\pi )$.

4. Stimmen zwei Indizes $i_{j_1}$ und $i_{j_2}$ überein, so folgt

$d{x}_{i_1}\wedge \dots \wedge d{x}_{i_l}=0.$

Daher verschwindet jede $m$-Form im ${ℝ}^n$ der Dimension $m>n$ identisch.

5. Für eine $l$-Form ${\omega }_1$ und eine $m$-Form ${\omega }_2$ gilt die Vertauschungsregel

${\omega }_1\wedge {\omega }_2=(-1{)}^{lm}{\omega }_2\wedge {\omega }_1.$

Das äußere Produkt ist also nicht kommutativ.

6. Wir können jede $m$-Form in der folgenden Weise darstellen:

$\omega =\sum _{1\le i_1,\dots ,i_m\le n}{a}_{i_1\dots i_m}(x)d{x}_{i_1}\wedge \dots \wedge d{x}_{i_m}.$

Die Basis-$m$-Formen

$d{x}_{i_1}\wedge \dots \wedge d{x}_{i_m}$ für $1\le i_1<\dots <i_m\le n$

bilden eine Basis des Raumes der Differentialformen mit Koeffizientenfunktionen der Klasse $C^k(𝒪)$ und $k\in {\mathbb{N}}_0$

Definition 7

Sei eine stetige Differentialform

$\omega =\sum _{1\le i_1,\dots ,i_m\le n}{a}_{i_1\dots i_m}(x)d{x}_{i_1}\wedge \dots \wedge d{x}_{i_m},x\in 𝒪$

auf der offenen Menge $𝒪\subset {ℝ}^n$ mit $1\le m\le n$ erklärt. Dann definieren wir das uneigentliche Riemannsche Integral der Differentialform $\omega$ über die Fläche $[X]\subset 𝒪$ vermöge

$\underset{[X]}{\int }\omega :=\underset{T}{\int }\sum _{1\le i_1,\dots ,i_m\le n}{a}_{i_1\dots i_m}(X(t))\frac{\partial (x_{i_1},\dots ,x_{i_m})}{\partial (t_1,\dots ,t_m)}d{t}_1\dots d{t}_m,$

falls $\omega$ absolut integrierbar über $X$ im folgenden Sinne ist:

$\underset{[X]}{\int }|\omega |:=\underset{T}{\int }\left|\sum _{1\le i_1,\dots ,i_m\le n}{a}_{i_1\dots i_m}\right(X(t)\left)\frac{\partial (x_{i_1},\dots ,x_{i_m})}{\partial (t_1,\dots ,t_m)}\right|d{t}_1\dots d{t}_m<+\mathrm{\infty }.$

Bemerkung

Mit Hilfe der Transformationsformel zeigt man leicht, dass diese Integrale von der Auswahl des Repräsentanten der Fläche unabhängig sind. Wir können also

$\underset{[X]}{\int }|\omega |=\underset{X}{\int }|\omega |,\underset{[X]}{\int }\omega =\underset{X}{\int }\omega$

schreiben.

Definition 8

Für eine $0$-Form $f(x)$ der Klasse $C^1(𝒪)$ erklären wir ihre äußere Ableitung als das Differential

$df(x)=\sum _{i=1}^n{f}_{x_i}(x)d{x}_i,x\in 𝒪.$

Bezeichnet

$\omega =\sum _{1\le i_1<\dots <i_m\le n}{a}_{i_1\dots i_m}(x)d{x}_{i_1}\wedge \dots \wedge d{x}_{i_m}$

eine $m$-Form der Klasse $C^1(𝒪)$, so erklären wir ihre äußere Ableitung als die $(m+1)$-Form

$d\omega :=\sum _{1\le i_1<\dots <i_m\le n}(d{a}_{i_1\dots i_m}(x))\wedge d{x}_{i_1}\wedge \dots \wedge d{x}_{i_m}.$

Bemerkungen

1. Sind ${\omega }_1$ und ${\omega }_2$ zwei $m$-Formen im ${ℝ}^n$ und ${\alpha }_1,{\alpha }_2\in ℝ$, so gilt

$d({\alpha }_1{\omega }_1+alph{a}_2{\omega }_2)={\alpha }_{1}d{\omega }_1+alph{a}_{2}d{\omega }_2.$

Der Differentiator $d$ stellt also einen linearen Operator dar.

2. Ist $\lambda$ eine $l$-Form und $\omega$ eine $m$-Form der Klasse $C^1(𝒪)$, so folgt

$d(\omega \wedge \lambda )=(d\omega )\wedge \lambda +(-1{)}^m\omega \wedge d\lambda .$

Wir wollen die letzte Behauptung beweisen: Offenbar reicht es aus, den folgenden Fall zu betrachten:

$\omega =f(x){\beta }^m,\lambda =g(x){\beta }^l.$

Dabei sind ${\beta }^m$ und ${\beta }^l$ Basisformen der Ordnung $m$ bzw. $l$. Nun erhalten wir

$\omega \wedge \lambda =f(x)g(x){\beta }^m\wedge {\beta }^l$

und somit

(6) $\begin{array}{c}d(\omega \wedge \lambda )=d(f(x)g(x))\wedge {\beta }^m\wedge {\beta }^l\\ =d(g(x)df(x)+f(x)dg(x))\wedge {\beta }^m\wedge {\beta }^l=(d\omega )\wedge \lambda +(-1{)}^m\omega \wedge d\lambda .\end{array}$

Wir betrachten nun die folgende $(n-1)$-Form im ${ℝ}^n$ der Klasse $C^1(𝒪)$

(7) $\omega =\sum _{i=1}^n{a}_i(x)(-1{)}^{i+1}d{x}_1\wedge \dots \wedge d{x}_{i-1}\wedge d{x}_{i+1}\wedge \dots \wedge d{x}_n,x\in 𝒪\subset {ℝ}^n,$

welche wir Gaußsche Differentialform nennen wollen. Ihre äußere Ableitung berechnet sich wie folgt:

$d\omega =\sum _{i=1}^n(-1{)}^{i+1}(d{a}_i(x))\wedge d{x}_1\wedge \dots \wedge d{x}_{i-1}\wedge d{x}_{i+1}\wedge \dots \wedge d{x}_n$

$=\sum _{i,j=1}^n(-1{)}^{i+1}\frac{\partial a_i}{\partial x_j}(x)d{x}_j\wedge d{x}_1\wedge \dots \wedge d{x}_{i-1}\wedge d{x}_{i+1}\wedge \dots \wedge d{x}_n$

$=\sum _{i=1}^n(-1{)}^{i+1}\frac{\partial a_i}{\partial x_i}(x)d{x}_i\wedge d{x}_1\wedge \dots \wedge d{x}_{i-1}\wedge d{x}_{i+1}\wedge \dots \wedge d{x}_n$

$=(\sum _{i=1}^n\frac{\partial a_i}{\partial x_i}(x))d{x}_1\wedge \dots \wedge d{x}_n=(\mathrm{div}a(x))d{x}_1\wedge \dots \wedge d{x}_n.$

Definition 9

Für ein Vektorfeld $a(x)=(a_1(x),\dots ,a_n(x))\in C^1(𝒪,{ℝ}^n)$ auf der offenen Menge $𝒪\subset {ℝ}^n$ erklären wir dessen Divergenz oder auch Quelldichte als

$\mathrm{div}a(x):=\sum _{i=1}^n\frac{\partial a_i}{\partial x_i}(x),x\in 𝒪.$

Wir können nun die $n$-Form

$d\omega =(\mathrm{div}a(x))d{x}_1\wedge \dots \wedge d{x}_n$

über einen $n$-dimensionalen Quader integrieren. Diese Differentialform kann man auch über große Klassen von nicht-eben berandeten Gebieten im ${ℝ}^n$ mit Hilfe des Gaußschen Integralsatzes integrieren, eines der wichtigsten Sätze der Vektoranalysis. Darum erlauben wir uns die Differentialform (7) auch als Gaußsche Differentialform zu bezeichnen.

Beispiel

Wir integrieren $d\omega$ zunächst über den Halbwürfel

(8) $H:=\{x=(x_1,\dots ,x_n)\in {ℝ}^n|x_1\in (-r,0),x_i\in (-r,+r)\mathrm{f}\ddot{\mathrm{u}}\mathrm{r}i=2,\dots ,n\}$

mit der oberen begrenzenden Seite

(9) $S:=\{x=(0,x_2,\dots ,x_n)||x_i|<r\mathrm{f}\ddot{\mathrm{u}}\mathrm{r}i=2,\dots ,n\}$

für ein gegebenes $r>0$. Der äußere Normalenvektor an $S$ ist

$e_1=(1,0,\dots ,0)\in {ℝ}^n.$

Wir fassen $H$ und $S$ als Flächen im ${ℝ}^n$ auf:

(10) $H:X(t_1,\dots ,t_n)=(t_1,\dots ,t_n),(t_1,\dots ,t_n)\in H$

bzw.

(11) $S:Y({\tilde{t}}_1,\dots ,{\tilde{t}}_{n-1})=(0,{\tilde{t}}_1,\dots ,{\tilde{t}}_{n-1}),|{\tilde{t}}_i|<r$ für $i=1,\dots ,n-1$.

Wir setzen nun von der Differentialform $\omega \in C_0^1(H\cup S)$ voraus, was sich auf die Qualität ihrer Koeffizienten bezieht. Dann erhalten wir

(12) $\begin{array}{c}\underset{H}{\int }d\omega =\underset{X}{\int }d\omega =\underset{-r}{\overset{0}{\int }}\underset{-r}{\overset{+r}{\int }}\dots \underset{-r}{\overset{+r}{\int }}(\frac{\partial a_1}{\partial x_1}+\dots +\frac{\partial a_n}{\partial x_n})d{x}_1\dots d{x}_n\\ \underset{-r}{\overset{+r}{\int }}\dots \underset{-r}{\overset{+r}{\int }}{a}_1(0,x_2,\dots ,x_n)d{x}_2\dots d{x}_n=\underset{S}{\int }\omega .\end{array}$

Definition 10

In einer offenen Menge $𝒪\subset {ℝ}^n$ sei

$\omega =\sum _{1\le i_1<\dots <i_m\le n}{a}_{i_1\dots i_m}(x)d{x}_{i_1}\wedge \dots \wedge d{x}_{i_m}$

eine stetige $m$-Form. Sei weiter $T\subset {ℝ}^l$ mit $l\in \mathbb{N}$ eine offene Menge und die Abbildung

(13) $x=(x_1,\dots ,x_n)=\mathrm{\Phi }(y)=({\phi }_1(y_1,\dots ,y_l),\dots ,{\phi }_n(y_1,\dots ,y_l)):T\to 𝒪$

der Klasse $C^1(T,{ℝ}^n)$ sei gegeben. Mit

$d{\phi }_i=\sum _{j=1}^l\frac{\partial {\phi }_i}{\partial y_j}(y)d{y}_j,i=1,\dots ,n$

und

${\omega }_{\mathrm{\Phi }}=\sum _{1\le i_1<\dots <i_m\le n}{a}_{i_1\dots i_m}(\mathrm{\Phi }(y))d{\phi }_{i_1}\wedge \dots \wedge d{\phi }_{i_m}$

erhalten wir die unter der Abbildung $\mathrm{\Phi }$ transformierte $m$-Form ${\omega }_{\mathrm{\Phi }}$.

Bemerkungen

1. Sind ${\omega }_1,{\omega }_2$ zwei $m$-Formen und ${\alpha }_1,{\alpha }_2\in ℝ$, so folgt

$({\alpha }_1{\omega }_1+{\alpha }_2{\omega }_2{)}_{\mathrm{\Phi }}={\alpha }_1({\omega }_1{)}_{\mathrm{\Phi }}+{\alpha }_2({\omega }_2{)}_{\mathrm{\Phi }}.$

2. Sind $\lambda$ eine $l$-Form und $\omega$ eine $m$-Form, so gilt

$(\omega \wedge \lambda {)}_{\mathrm{\Phi }}={\omega }_{\mathrm{\Phi }}\wedge {\lambda }_{\mathrm{\Phi }}.$

Satz 1 (Zurückziehen der Differentialform)

Sei $\omega$ eine stetige $m$-Form in der offenen Menge $𝒪\subset {ℝ}^n$. Weiter sei auf der offenen Menge $T\subset {ℝ}^m$ eine Fläche $X$ durch die Parameterdarstellung

$x=\mathrm{\Phi }(y):T\to 𝒪\in C^1(T)$

mit $\mathrm{\Phi }(T)\subset \subset 𝒪$ gegeben. Schließlich erklären wir die Fläche

$Y(t)=(t_1,\dots ,t_m),t\in T$

und beachten

$X(t)=\mathrm{\Phi }\circ Y(t),t\in T$.

Dann gilt die folgende Identität:

$\underset{X}{\int }\omega =\underset{Y}{\int }{\omega }_{\mathrm{\Phi }}.$

Beweis

Wir berechnen

$d{\phi }_{i_1}\wedge \dots \wedge d{\phi }_{i_m}=\left(\sum _{j_1=1}^m\frac{\partial {\phi }_{i_1}}{\partial y_{j_1}}d{y}_{j_1}\right)\wedge \dots \wedge \left(\sum _{j_m=1}^m\frac{\partial {\phi }_{i_m}}{\partial y_{j_m}}d{y}_{j_m}\right)$

$=\frac{\partial ({\phi }_{i_1},\dots ,{\phi }_{i_m})}{\partial (y_1,\dots ,y_m)}d{y}_1\wedge \dots \wedge d{y}_m$

sowie

${\omega }_{\mathrm{\Phi }}=\sum _{1\le i_1<\dots <i_m\le n}{a}_{i_1\dots i_m}(\mathrm{\Phi }(y))\frac{\partial ({\phi }_{i_1},\dots ,{\phi }_{i_m})}{\partial (y_1,\dots ,y_m)}d{y}_1\wedge \dots \wedge d{y}_m.$

Es folgt somit

$\underset{Y}{\int }{\omega }_{\mathrm{\Phi }}=\underset{T}{\int }\sum _{1\le i_1<\dots <i_m\le n}{a}_{i_1\dots i_m}(X(t))\frac{\partial (x_{i_1},\dots ,x_{i_m})}{\partial (t_1,\dots ,t_m)}d{t}_1\dots d{t}_m=\underset{X}{\int }\omega$

und der Satz ist bewiesen.

q.e.d.

Satz 2

Sei $\omega$ eine $m$-Form in der offenen Menge $𝒪\subset {ℝ}^n$ der Regularitätsklasse $C^1(𝒪)$. Auf der offenen Menge $T\subset {ℝ}^l$ mit $l\in \mathbb{N}$ sei die Abbildung

$x=\mathrm{\Phi }(y):T\to 𝒪\in C^2(T)$

gegeben. Dann gilt

$d({\omega }_{\mathrm{\Phi }})=(d\omega {)}_{\mathrm{\Phi }}.$

Beweis

Zunächst gilt für eine beliebige Funktion $\mathrm{\Psi }(y)\in C^2(𝒪)$ die Identität

$d^2\mathrm{\Psi }=d(d\mathrm{\Psi })=d\left(\sum _{i=1}^n{\mathrm{\Psi }}_{y_i}d{y}_i\right)=\sum _{i,j=1}^n{\mathrm{\Psi }}_{y_i{y}_j}d{y}_j\wedge d{y}_i=0.$

Wir beachten nun

${\omega }_{\mathrm{\Phi }}=\sum _{1\le i_1<\dots <i_m\le n}{a}_{i_1\dots i_m}(\mathrm{\Phi }(y))d{\phi }_{i_i}\wedge \dots \wedge d{\phi }_{i_m}$

und erhalten

$d{\omega }_{\mathrm{\Phi }}=\sum _{1\le i_1<\dots <i_m\le n}d{a}_{i_1\dots i_m}(\mathrm{\Phi }(y))\wedge d{\phi }_{i_i}\wedge \dots \wedge d{\phi }_{i_m}$

$=\sum _{1\le i_1<\dots <i_m\le n}\sum _{j=1}^n\sum _{k=1}^l\frac{\partial a_{i_1\dots i_m}}{\partial y_j}(\mathrm{\Phi }(y))\frac{\partial {\phi }_j}{\partial y_k}d{y}_k\wedge d{\phi }_{i_i}\wedge \dots \wedge d{\phi }_{i_m}$

$=\sum _{1\le i_1<\dots <i_m\le n}\sum _{j=1}^n\frac{\partial a_{i_1\dots i_m}}{\partial y_j}(\mathrm{\Phi }(y)){\phi }_j\wedge d{\phi }_{i_i}\wedge \dots \wedge d{\phi }_{i_m},$

also

$d{\omega }_{\mathrm{\Phi }}=(d\omega {)}_{\mathrm{\Phi }}.$

q.e.d.

Satz 3 (Kettenregel für Differentialformen)

Sei $\omega$ eine stetige $m$-Form in einer offenen Menge $𝒪\subset {ℝ}^n$. Auf den offenen Mengen $T^{\prime }\subset {ℝ}^{l^{\prime }}$ und $T^{″}\subset {ℝ}^{l^{″}}$ mit $l^{\prime },l^{″}\in \mathbb{N}$ seien die $C^1$-Funktionen $\mathrm{\Phi },\mathrm{\Psi }$ gemäß

$\mathrm{\Psi }:T^{″}\to T^{\prime },\mathrm{\Phi }:T^{\prime }\to 𝒪$ mit $z\stackrel{\mathrm{\Psi }}{\mapsto }y\stackrel{\mathrm{\Phi }}{\mapsto }x$

gegeben. Dann gilt

$({\omega }_{\mathrm{\Phi }}{)}_{\mathrm{\Psi }}={\omega }_{\mathrm{\Phi }\circ \mathrm{\Psi }}.$

Beweis

Wir berechnen

${\omega }_{\mathrm{\Phi }\circ \mathrm{\Psi }}=\sum _{i_1,\dots ,i_m}{a}_{i_1\dots i_m}(\mathrm{\Phi }\circ \mathrm{\Psi }(z))d({\phi }_{i_1}\circ \mathrm{\Psi })\wedge \dots \wedge d({\phi }_{i_m}\circ \mathrm{\Psi })$

$=\sum _{i_1,\dots ,i_m;j_1,\dots ,j_m;k_1,\dots ,k_m}{a}_{i_1\dots i_m}(\mathrm{\Phi }\circ \mathrm{\Psi }(z))\left(\frac{\partial {\phi }_{i_1}}{\partial y_{j_1}}\frac{\partial {\psi }_{j_1}}{\partial z_{k_1}}d{z}_{k_1}\right)\wedge \dots \dots \wedge \left(\frac{\partial {\phi }_{i_m}}{\partial y_{j_m}}\frac{\partial {\psi }_{j_m}}{\partial z_{k_m}}d{z}_{k_m}\right)$

$=\sum _{\genfrac{}{}{0ex}{}{i_1,\dots ,i_m}{j_1,\dots ,j_m}}{a}_{i_1\dots i_m}(\mathrm{\Phi }\circ \mathrm{\Psi }(z))\left(\frac{\partial {\phi }_{i_1}}{\partial y_{j_1}}d{\psi }_{j_1}\right)\wedge \dots \wedge \left(\frac{\partial {\phi }_{i_m}}{\partial y_{j_m}}d{\psi }_{j_m}\right)$

$={\left(\sum _{i_1,\dots ,i_m}{a}_{i_1\dots i_m}\right(\mathrm{\Phi }(y))d{\phi }_{i_1}\wedge \dots \wedge d{\phi }_{i_m})}_{y=\mathrm{\Psi }(z)},$

also

${\omega }_{\mathrm{\Phi }\circ \mathrm{\Psi }}=({\omega }_{\mathrm{\Phi }}{)}_{\mathrm{\Psi }},$

wobei über $i_1,\dots ,i_m\in \{1,\dots ,n\},j_1,\dots ,j_m\in \{1,\dots ,l^{\prime }\}$ und $k_1,\dots ,k_m\in \{1,\dots ,l^{″}\}$ summiert wird.

q.e.d.