Kurs:Analysis I/Kapitel III: Die elementaren Funktionen/§9 Partialbruchzerlegung gebrochen rationaler Funktionen

Definition 1

Sei die gebrochen rationale Funktion

$h(z):=\frac{g(z)}{f(z)}$ für $z\in {ℂ}^{*}:=\{\zeta \in ℂ:f(\zeta )\ne 0\}$

gegeben: Hierbei tritt im Nenner das nicht konstante Polynom

$f(z):=\sum _{k=0}^n{a}_k{z}^k,z\in ℂ$

wie in §8 mit den komplexen Koeffizienten $a_k\in ℂ$ für $k=0,1,\dots ,n$ sowie $a_n\ne 0$ vom $Gradf=n\in \mathbb{N}$ auf. Im Zähler erscheint das Polynom

$g(z):=\sum _{j=0}^N{b}_j{z}^j,z\in ℂ$

mit den komplexen Koeffizienten $b_j\in ℂ$ für $j=0,1,\dots ,N$. Falls $b_N\ne 0$ für $N>0$ gilt, erhalten wir den $Gradg=N\in \mathbb{N}$. Falls $g(z)\equiv b_0\in ℂ$ gilt, setzen wir $Gradg=0$. Wir sprechen von einer echt gebrochen rationalen Funktion $h$, falls $Gradg<Gradf$ erfüllt ist.

Wir fixieren nun das Nennerpolynom $f$ und zerlegen es gemäß Satz 2 aus §8 in Linearfaktoren im Komplexen. Nehmen wir dessen Nullstellen aus $ℂ$ heraus, so erhalten wir die eventuell mehrfach punktierte komplexe Ebene ${ℂ}^{*}:=ℂ\setminus \{z_1,\dots ,z_m\}$. Nun betrachten wir die echt gebrochen rationalen Funktionen

$h_k(z):=\frac{z^k}{f(z)},z\in {ℂ}^{*}$ für $k=0,1,\dots ,n-1$.

Definition 2

Die Funktionen $h_0=h_0(z),\dots ,h_{n-1}=h_{n-1}(z):{ℂ}^{*}\to ℂ$ heißen linear unabhängig, wenn für alle $c_0,\dots ,c_{n-1}\in ℂ$ aus der Identität

$c_0\cdot h_0(z)+\dots +c_{n-1}\cdot h_{n-1}(z)=0$ für alle $z\in {ℂ}^{*}$

die Beziehung $c_0=\dots =c_{n-1}=0$ folgt. Dabei ist $n\in \mathbb{N}$ beliebig gewählt worden.

Nun spannen die Funktionen $h_0,\dots ,h_{n-1}$ den $n$-dimensionalen Vektorraum

(2) $𝕍[f]:=\{h(z)=\sum _{k=0}^{n-1}{c}_k\cdot h_k(z)=\frac{\sum _{k=0}^{n-1}{c}_k\cdot z^k}{f(z)},z\in {ℂ}^{*}|c_0,\dots ,c_{n-1}\in ℂ\}$

auf. Zum festen Nennerpolynom $f$ enthält die Menge $𝕍[f]$ gerade alle echt gebrochen rationalen Funktionen gemäß Definition 1.

Satz 1 (Partialbruchzerlegung)

Die echt gebrochen rationale Funktion $h$ aus Definition 1, dessen Nennerpolynom $f$ gemäß Satz 2 aus §8 in Linearfaktoren zerlegt sei, lässt sich in der Form

(3) $h(z)=\sum _{l_1=1}^{k_1}\frac{c_1^{(l_1)}}{(z-z_1{)}^{l_1}}+\dots +\sum _{l_m=1}^{k_m}\frac{c_m^{(l_m)}}{(z-z_m{)}^{l_m}},z\in {ℂ}^{*}$

darstellen – mit den komplexen Koeffizienten $c_j^{(l_j)}\in ℂ$ für $l_j\in \{1,2,\dots ,k_j\}$ und $1\le j\le m$. Die Koeffizienten $c_j^{\left(l_j\right)}$ sind durch $h$ eindeutig bestimmt.

Beweis

Wir betrachten die $k_1+\dots +k_m=n$ echt gebrochen rationalen Funktionen

(4) $h_j^{(l_j)}(z):=\frac{1}{(z-z_j{)}^{(l_j)}},z\in {ℂ}^{*}$ für $l_j\in \{1,2,\dots ,k_j\}$ und $1\le j\le m$.

Die sind im Sinne von Definition 2 linear unabhängig: Seien nämlich die Zahlen $c_j^{(l_j)}\in ℂ$ für $l_j\in \{1,2,\dots ,k_j\}$ und $1\le j\le m$ mit der Identität

(5) $0=\sum _{l_1=1}^{k_1}\frac{c_1^{(l_1)}}{(z-z_1{)}^{l_1}}+\dots +\sum _{l_m=1}^{k_m}\frac{c_m^{(l_m)}}{(z-z_m{)}^{l_m}},z\in {ℂ}^{*}$

gegeben. Dann multiplizieren wir diese Identität mit dem Faktor ${(z-z_j)}^{k_j}$, setzen nun $z=z_j$ in diese Gleichung ein und wir erhalten

(6) $0=c_j^{\left(k_j\right)}$ für $j=1,\dots ,m$.

Insofern $k_j>0$ richtig ist, verfahren wir entsprechend mit dem nächst niedrigeren Koeffizienten und erhalten $c_j^{(k_j-1)}=0$. Nach endlich vielen Schritten ergibt sich

(7) $c_j^{\left(l_j\right)}$ für $l_j\in \{1,2,\dots ,k_j\}$ und $1\le j\le m$.

Somit ist das Funktionensystem (4) linear unabhängig. Durch Erweitern mit den komplementären Linearfaktoren des Nennerpolynoms sehen wir ferner die Inklusion

(8) $h_j^{(l_j)}(z)\in 𝕍[f]$ für $l_j\in \{1,2,\dots ,k_j\}$ und $1\le j\le m$

ein. Folglich liefern diese Funktionen eine Basis des $n$-dimensionalen Vektorraums $𝕍[f]$ und die Aussage des Satzes ist gezeigt.

q.e.d.

Satz 2 (Reelle Partialbruchzerlegung)

Die reelle echt gebrochen rationale Funktion $h$ aus Definition 1, dessen Nennerpolynom $f$ gemäß Satz 3 aus §8 in Linearfaktoren zerlegt sei, lässt sich für alle $x\in ℝ\setminus \{x_1,\dots ,x_m\}$ in folgender Form darstellen:

(9) $h(z)=\sum _{l_1=1}^{k_1}\frac{a_1^{(l_1)}}{(x-x_1{)}^{l_1}}+\dots +\sum _{l_m=1}^{k_m}\frac{a_m^{(l_m)}}{(x-x_m{)}^{l_m}}$

$+2\sum _{l_{m+1}=1}^{k_{m+1}}\frac{c_{m+1}^{(l_{m+1})}}{(x-z_{m+1}{)}^{l_{m+1}}}+\dots +2\sum _{l_{m+\mu }=1}^{k_{m+\mu }}\frac{c_{m+\mu }^{(l_{m+\mu })}}{(x-z_{m+\mu }{)}^{l_{m+\mu }}}$.

Dabei sind sowohl die reellen koeffizienten

$a_j^{(l_j)}\in ℝ$ für $l_j\in \{1,2,\dots ,k_j\}$ und $1\le j\le m$

als auch die komplexen koeffizienten

$c_j^{(l_j)}\in ℂ$ für $l_j\in \{1,2,\dots ,k_j\}$ und $m+1\le j\le m+\mu$

durch $h$ eindeutig bestimmt.

Beweis

Das Nennerpolynom $f$ besitzt gemäß Satz 3 aus §8 die paarweise verschiedenen Nullstellen $x_1,\dots ,x_m;z_{m+1},\dots ,z_{m+\mu };\overline{z_{m+1}},\dots ,\overline{z_{m+\mu }}$ der Vielfachheiten $\begin{array}{c}{k}_1,\dots ,k_m;k_{m+1},\dots ,k_{m+\mu };k_{m+1},\dots ,k_{m+\mu }\end{array}$. Stellen wir nun die reelle echt gebrochen rationale Funktion $h$ mit Hilfe von Satz 1 dar, so erhalten wir zunächst Terme der Form

$\frac{c}{(x-x_j{)}^{l_j}}$

zu den reellen Nullstellen. Die Konstante $c\in ℂ$ muss dabei reell sein, da die Funktion $h$ reell ist. Jedem Term

$\frac{c_{+}}{(x-z_j{)}^{l_j}}$

zur Nullstelle in der oberen komplexen Halbebene korrespondiert ein Term

$\frac{c_{-}}{(x-\overline{z_j}{)}^{l_j}}$

zur Nullstelle in der unteren komplexen Halbebene. Damit die Summe beider Terme reell wird, müssen die komplexen Konstanten $c_{-},c_{+}\in ℂ$ die Bedingung $c_{-}=\overline{c_{+}}$ erfüllen. Somit erhalten wir die im Satz angegebenen Summanden.

q.e.d.

Bemerkung

Für eine beliebige gebrochen rationale Funktion $H$ – mit den Polynomen $G,F$ – ist es zweckmäßig, sie zunächst gemäß

(10) $H(z)=\frac{G(z)}{F(z)}=h(z)+\frac{g(z)}{f(z)}$ mit $Gradg<Gradf$

und den polynomen $f,g,h$ zu verlegen. Nach Ausführung dieses Euklidischen Algorithmus wenden wir das o. a. Verfahren auf die echt gebrochen rationale Funktion $\frac{g}{f}$ an. Dann können wir alle beteiligten Summanden integrieren.