Kurs:Analysis I/Kapitel III: Die elementaren Funktionen/§8 Der Fundamentalsatz der Algebra

Definition 1

Die Funktion

(1) $f(z)=\sum _{k=0}^n{a}_k{z}^k=a_n{z}^n+a_{n-1}{z}^{n-1}+...+a_{1}z+a_0,z\in ℂ$

heißt ein Polynom in $z\in ℂ$ vom Grad $n\in {\mathbb{N}}_0$ – in Zeichen $Gradf=n$ – mit den komplexen Koeffizienten $a_k\in ℂ$ für $k=0,1,2,...,n$ und $a_n\ne 0$. Wenn alle Koeffizienten gemäß $a_k\in ℝ$ für $k=0,1,2,...,n$ reell sind, so sprechen wir von einem reellen Polynom.

Hilfssatz 1

Sei $f$ ein Polynom (1) mit $Gradf>0$. Dann gibt es zu jedem $z_0\in ℂ$ komplexe Koeffizienten $b_0=f\left(z_0\right),b_1,...,b_{n-1},b_n=a_n$ derart, dass folgende Darstellung gültig ist:

(2) $f(z_0+\xi )=a_n{\xi }^n+b_{n-1}{\xi }^{n-1}+...+b_1\xi +f(z_0),\xi \in ℂ$.

Beweis

Wir setzen $z=z_0+\xi$ und erhalten mittels (1) die Identität

$f(z)=f(z_0+\xi )=\sum _{k=0}^n{a}_k(z_0+\xi {)}^k$.

Die Terme ${(z_0+\xi )}^k$ werden über den Binomischen Lehrsatz berechnet und die Summe wird nach Potenzen von $\xi$ umgeordnet. Für $k=0,1,...,n$ finden wir dann neue Koeffizienten $b_k=b_k(a_0,a_1,...,a_n,z_0)$ mit $a_n=b_n\ne 0$ und $b_0=f\left(z_0\right)$. Damit ist die Darstellung (2) gezeigt.

q.e.d.

Definition 2

Sei $𝒪\subset ℂ$ eine offene Menge. Eine funktion $\mathrm{\Phi }:𝒪\to ℝ$ besitzt im Punkt $z_0\in 𝒪$ ein schwaches relatives Minimum, falls es ein $\epsilon >0$ gibt mit der folgenden eigenschaft:

$\mathrm{\Phi }(z)\ge \mathrm{\Phi }(z_0)$ für alle $z\in 𝒪$ mit $|z-z_0|<\epsilon$.

Hilfssatz 2

Sei $f$ ein Polynom (1) mit $Gradf>0$ und $f(z_0)\ne 0$ für ein $z_0\in ℂ$. Dann gibt es zu jedem $R>0$ ein $z_{*}\in ℂ$ mit $|z_{*}-z_0|\le R$ und $|f(z_{*})|<|f(z_0)|$.

Beweis

1. Durch Übergang von $f$ zum Polynom $g(z):=\frac{1}{f(z_0)}\cdot f(z),z\in ℂ$ können wir ohne Einschränkung $g\left(z_0\right)=1$ annehmen. Gemäß (2) entwickeln wir

$g(z_0+\xi )=1+b_k{\xi }^k+b_{k+1}{\xi }^{k+1}+...+b_n{\xi }^n$

mit $b_k\ne 0$ zu geeignetem $1\le k\le n$. Mittels Satz 1 aus §5 ergibt sich die eindeutige Darstellung in Polarkoordinaten

$b_k=|b_k|\exp (i\vartheta )$ mit $\vartheta \in (-\pi ,\pi ]$.

Ferner sei die Darstellung $\xi =r\exp (i\phi )$ bzw.

${\xi }^k=r^k\exp (ik\phi )$ mit $r>0$ und $\phi \in (-\pi ,\pi ]$

gewählt. Dann erhalten wir

$g(z_0+\xi )=1+|b_k|\cdot r^k\exp (i(\vartheta +k\phi ))+r^k\cdot h(\xi )$.

Dabei erfüllt die Funktion

$h(\xi ):=\exp (ik\phi )\cdot (b_{k+1}\xi +...+b_n{\xi }^{n-k}):ℂ\setminus \{0\}\to ℂ$

die Bedingung $\underset{\xi \to 0,\xi \ne 0}{\lim }h(\xi )=0$.

2. Unser Ziel ist es nun, den zweiten Summanden negativ zu machen. Wir wählen $\phi$ derart, dass $\vartheta +k\phi =\pi$ gilt. Anschaulich bewegt sich $\xi$ mit variablem $r>0$ und festgelegtem $\phi =\frac{\pi -\vartheta }{k}$ auf dem Strahl $r\exp (i\phi )$. Wegen $\exp \left(i\pi \right)=-1$ und nach Wahl eines geeigneten $\epsilon >0$ mit $|b_k|{\epsilon }^k\le 1$ und $2|h(\xi )|\le |b_k|$ für alle $|\xi |<\epsilon$ gilt die abschätzung

$|g(z_0+\xi )|\le 1+|b_k|\exp (i\pi )r^k+|h(\xi )|r^k=1-|b_k|r^k+|h(\xi )|r^k$

$=1-(|b_k|-|h(\xi )|)r^k\le 1-\frac{1}{2}|b_k|r^k<1$

für alle $r\in (0,\epsilon ]$. Zu gegebenem $R>0$ wählen wir $\xi =r\exp (i\phi )$ mit $r=\min \{\epsilon ,R\}$ und erhalten so einen Punkt $z_{*}=z_0+\xi$ in der Gauß-Ebene, welcher die geforderte eigenschaft

$|g(z_{*})|=|g(z_0+\xi )|<1\stackrel{n.V.}{=}|g(z_0)|$

mit $|z_{*}-z_0|=|\xi |\le R$ erfüllt.

q.e.d.

Hilfssatz 3

Wenn $f$ ein Polynom (1) mit $Gradf>0$ darstellt, dann folgt das asymptotische Verhalten

(3) $\underset{R\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\inf \{|f(z)|:z\in ℂ,|z|=R\}=+\mathrm{\infty }$.

Beweis

Für $z\in ℂ\setminus \{0\}$ finden wir die Abschätzung

$|f(z)|=|a_n{z}^n\cdot (1+\sum _{k=0}^{n-1}\frac{a_k}{a_n}\cdot \frac{1}{z^{n-k}})|\ge |a_n||z{|}^n\cdot (1-\sum _{k=0}^{n-1}\left|\frac{a_k}{a_n}\right|\cdot \frac{1}{|z{|}^{n-k}})$.

Nun wählen wir $R>0$ so, dass

$\sum _{k=0}^{n-1}\left|\frac{a_k}{a_n}\right|\cdot \frac{1}{|z{|}^{n-k}}=\left|\frac{a_{n-1}}{a_n}\right|\cdot \frac{1}{|z|}+...+\left|\frac{a_0}{a_n}\right|\cdot \frac{1}{|z{|}^n}\le \frac{1}{2}$ für alle $|z|\ge R$

ausfällt. Dann ist die Abschätzung

$|f(z)|\ge \frac{1}{2}|a_n|R^n$ für alle $|z|\ge R$

und somit das asymptotische Verhalten (3) erfüllt.

q.e.d.

Satz 1 (Fundamentalsatz der Algebra)

Jedes nicht konstante Polynom $f$ hat wenigstens eine komplexe Nullstelle, d. h. es gibt ein $z_0\in ℂ$ mit $f\left(z_0\right)=0$.

Beweis

Wir betrachten die Hilfsfunktion $\mathrm{\Phi }(z)=|f(z)|:ℂ\to ℝ$. Wegen (3) können wir $R>0$ so groß wählen, dass

$\inf \{\mathrm{\Phi }(z):z\in ℂ,|z|=R\}>\mathrm{\Phi }(0)$

gilt. Auf der kompakten Menge $K:=\{z\in ℂ:|z|\le R\}$ ist die Funktion $\mathrm{\Phi }$ stetig und folglich gibt es ein $z_0\in K$ mit

$\mathrm{\Phi }(z_0)=\{\mathrm{\Phi }(z):z\in ℂ,|z|\le R\}$

Wegen $\mathrm{\Phi }(z_0)\le \mathrm{\Phi }(0)<\inf \{\mathrm{\Phi }(z):z\in ℂ,|z|=R\}$ muss $z_0\in \stackrel{\circ }{K}$ richtig sein. Wir werden $z_0\in ℂ$ als Nullstelle erkennen: Angenommen es wäre $\mathrm{\Phi }(z_0)\ne 0$ bzw. $f(z_0)\ne 0$ erfüllt. Nach Hilfssatz 2 gibt es dann ein $z_{*}\in ℂ$ mit $\left|z_{*}\right|<R$ und $\mathrm{\Phi }\left(z_{*}\right)<\mathrm{\Phi }(z_0)$. Dieses liefert einen Widerspruch zur Minimaleigenschaft (4). Also folgt $f\left(z_0\right)=0$ und eine Nullstelle ist gefunden.

q.e.d.

Satz 2 (Linearfaktorzerlegung)

Jedes Polynom (1) besitzt eine Linearfaktorzerlegung der Form

$f(z)=a_n\cdot \prod _{j=1}^m(z-z_j{)}^{k_j}$.

Dabei sind $z_1,z_2,...,z_m\in ℂ$ seine paarweise verschiedenen komplexen Nullstellen. Die Zahlen $k_j\in \mathbb{N}$ geben die Vielfachheiten bzw. Ordnungen der Nullstellen $z_j$ für $j=1,2,...,m$ an. Schließlich ist die Identität $\sum _{j=1}^m{k}_j=n$ für die Vielfachheiten erfüllt.

Beweis

Wegen Satz 1 besitzt $f$ eine Nullstelle $z_0\in ℂ$. Nach Hilfssatz 1 entwickeln wir $f$ an der Stelle $z_0$, indem wir $\xi :=z-z_0$ setzen:

$f\left(z\right)=f(z_0+\xi )\stackrel{(2)}{=}f(z_0)+b_k{\xi }^k+...+a_n{\xi }^n$.

Dabei ist $b_k\ne 0$ für ein $1\le k\le n$ und $a_n\ne 0$ erfüllt. Schließlich ergibt sich die Darstellung

$f(z)=b_k{\xi }^k+b_{k+1}{\xi }^{k+1}+...+a_n{\xi }^n={\xi }^k(b_k+b_{k+1}\xi +...+a_n{\xi }^{n-k})=(z-z_0{)}^k\cdot \tilde{f}(z)$.

Hierbei besitzt das Polynom $\tilde{f}(z)=\sum _{j=1}^m{c}_j{z}^k$ den Grad $m=n-k\in {\mathbb{N}}_0$ und die Koeffizienten $c_j\in ℂ$ für $j=1,...,m$ sowie $c_m=a_n\ne 0$. Das durch Ordnen nach Potenzen von $z$ entstehende Polynom $\tilde{f}$ erfüllt $Grad\tilde{f}<Gradf$ und $f(z_0)\ne 0$. Wiederholte Anwendung von Satz 1 liefert die Behauptung.

Hilfssatz 4

Sei $f$ ein reelles Polynom (1) mit der komplexen Nullstelle $z_0\in ℂ$ der Vielfachheit $k_0\in \mathbb{N}$. Dann ist auch $\overline{z_0}$ eine Nullstelle von $f$ der Vielfachheit $k_0$.

Beweis

1. Zunächst sehen wir folgendes leicht ein: Ein Polynom $f$ besitzt in $z_0\in ℂ$ genau dann eine Nullstelle der Vielfachheit $k_0\in \mathbb{N}$, wenn die abgeleiteten Polynome $f^{\left(k\right)}$ der Ordnungen $k=0,...,k_0-1$ dort verschwinden.

2. Ist nun $z_0\in ℂ$ eine Nullstelle eines reellen Polynoms, so folgt

$0=\overline{f(z_0)}=\overline{\sum _{k=0}^n{a}_k{z}_0^k}=\sum _{k=0}^n{a}_k\stackrel{k}{\stackrel{‾}{z_0}}=f(\overline{z_0})$.

Also ist dann auch $\overline{z_0}$ eine Nullstelle von $f$.

3. Ist nun $z_0\in ℂ$ eine Nullstelle des reellen Polynoms $f$ der Vielfachheit $k_0$, so verschwinden dort die abgeleiteten Polynome $f^{\left(k\right)}$ der Ordnungen $k=0,...,k_0-1$. Da letztere reell sind, so verschwinden sie auch im Punkt $\overline{z_0}$. Folglich ist $\overline{z_0}$ eine Nullstelle der Vielfachheit $k_0$ von $f$.

Satz 3 (Reelle Linearfaktorzerlegung)

Jedes reelle Polynom $f$ aus (1) vom Grad $n$ besitzt eine Linearfaktorzerlegung der folgenden Form

(6) $f(x)=a_n\cdot \prod _{j=1}^m(x-x_j{)}^{k_j}\cdot \prod _{j=m+1}^{m+\mu }[(x-z_j)\cdot (x-\overline{z_j}){]}^{k_j}$

$=a_n\cdot \prod _{j=1}^m(x-x_j{)}^{k_j}\cdot \prod _{j=m+1}^{m+\mu }[x^2-2x_j\cdot x+|z_j{|}^2{]}^{k_j},x\in ℝ$

Dabei sind $x_1,...,x_m\in ℝ$ – mit $m\in {\mathbb{N}}_0$ – seine paarweise verschiedenen reellen Nullstellen der Vielfachheiten $k_j\in \mathbb{N}$ für $j=1,...,m$. Weiter sind $z_j=x_j+i{y}_j\in ℂ$ mit $y_j>0$ für $j=m+1,...,m+\mu$ – mit $\mu \in {\mathbb{N}}_0$ – seine paarweise verschiedenen Nullstellen in der oberen komplexen Halbebene der Vielfachheiten $k_j\in \mathbb{N}$. Schließlich gilt die Identität

(7) $\sum _{j=1}^m{k}_j+2\cdot \sum _{j=m+1}^{m+\mu }{k}_j=n$

für ihre Vielfachheiten.