Kurs:Analysis I/Kapitel III: Die elementaren Funktionen/§7 Die allgemeinen Potenzfunktionen

Definition 1

Zur Potenz $\gamma =\alpha +i\beta \in ℂ$ betrachten wir die universelle Potenzfunktion $F_{\gamma }:𝕌\to 𝕌$ vermöge

(1) $F_{\gamma }(𝐰):=Exp(\gamma \cdot Log𝐰),𝐰=(w,k)\in 𝕌$.

Satz 1 (Universelles Potenzgesetz)

Für je zwei potenzen ${\gamma }_j={\alpha }_j+i{\beta }_j$ mit $j=1,2$ erfüllen die Potenzfunktionen $F_{{\gamma }_j}$ die identität

$F_{{\gamma }_1}(𝐰)*F_{{\gamma }_2}(𝐰)=F_{{\gamma }_1+{\gamma }_2}(𝐰),𝐰\in 𝕌$.

Beweis

Wir berechnen

$F_{{\gamma }_1+{\gamma }_2}(𝐰)=Exp(({\gamma }_1+{\gamma }_2)\cdot Log𝐰)$

$=Exp({\gamma }_1\cdot Log𝐰)*Exp({\gamma }_2\cdot Log𝐰)=F_{{\gamma }_1}(𝐰)*F_{{\gamma }_2}(𝐰),𝐰\in 𝕌$.

q.e.d.

Definition 2

Zur Potenz $\gamma =\alpha +i\beta \in ℂ$ betrachten wir die allgemeine Potenzfunktion $f_{\gamma }:𝕌\to ℂ\setminus \{0\}$ vermöge

(3) $f_{\gamma }(𝐰):=\exp (\gamma \cdot Log𝐰)=:{𝐰}^{\gamma },𝐰=(w,k)\in 𝕌$.

Zur Differentiation dieser Funktion verwenden wir Satz 2 aus §6 mit den dortigen Bezeichnungen: In einem beliebigen Punkt ${𝐰}_0=(w_0,k_0)\in 𝕌$ betrachten wir die Liftung

${\tau }_{{𝐰}_0}:K(w_0)\to 𝕂({𝐰}_0)$

auf die maximale Kreisscheibe in der Überlagerungsfläche. Die assoziierte Funktion

(4) $f(w):=\exp (\gamma \cdot Log\circ {\tau }_{{𝐰}_0}(w)),w\in K_{w_0}$

ist holomorph und ihre komplexe ableitung lautet:

(5) $f^{\prime }(w):=\exp (\gamma \cdot Log\circ {\tau }_{{𝐰}_0}(w))\cdot \gamma \cdot (Log\circ {\tau }_{{𝐰}_0}{)}^{\prime }(w)$

$=\gamma \cdot \exp (\gamma \cdot Log\circ {\tau }_{{𝐰}_0}(w))\cdot \frac{1}{w}$

$=\gamma \cdot \exp (\gamma \cdot Log\circ {\tau }_{{𝐰}_0}(w))\cdot (-Log\circ {\tau }_{{𝐰}_0}(w))$

$=\gamma \cdot \exp ((\gamma -1)\cdot Log\circ {\tau }_{{𝐰}_0}(w))$

$=\gamma \cdot {𝐰}^{\gamma -1}{|}_{𝐰={\tau }_{{𝐰}_0}(w)},w\in K(w_0)$

Satz 2

Für alle $\gamma \in ℂ$ ist die allgemeine Potenzfunktion $f_{\gamma }:𝕌\to ℂ\setminus \{0\}$ auf der universellen Überlagerungsfläche holomorph. Im oben präzisierten Sinne – siehe (4) und (5) – gilt die Differentiationsregel

$\frac{d}{d𝐰}{𝐰}^{\gamma }=\gamma \cdot {𝐰}^{\gamma -1},𝐰\in 𝕌$.

Satz 3

Sei die komplexe Zahl $w_0\in ℂ$ und die natürliche Zahl $n\in \mathbb{N}$ gegeben. Die gesamtheit der komplexen stammfunktionen der folgenden gebrochen rationalen funktion lautet

(6) $\int \frac{1}{(w-w_0{)}^{n+1}}dw=\frac{1}{-n\cdot (w-w_0{)}^n}+c$ für alle $w\in ℂ\setminus \{w_0\}$

mit der komplexen Integrationskonstante $c\in ℂ$.

Definition 3

Zur Potenz $\gamma =\alpha +i\beta \in ℂ$ betrachten wir die allgemeine komplexe Potenzfunktion

$f_{\gamma }:{ℂ}^{\prime }\to ℂ\setminus \{0\}$

vermöge

(7) $f_{\gamma }(w):=\exp (\gamma \cdot \log w)=:w^{\gamma },w\in {ℂ}^{\prime }$.

Satz 4 (Binomialreihe)

Mit dem Exponenten $\gamma =\alpha +i\beta \in ℂ$ gilt für die Funktion

$f(w):=(1+w{)}^{\gamma },w\in B$

auf der Einheitskreisscheibe $B:=\{w\in ℂ:|w|<1\}$ die folgende Darstellung

(8) $f(w)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\left(\begin{array}{c}\gamma \\ k\end{array}\right)w^k,w\in B$

durch die konvergente Binomialreihe. Dabei haben wir die verallgemeinerten Binomialkoeffizienten wie folgt erklärt:

(9) $\left(\begin{array}{c}\gamma \\ k\end{array}\right):=\frac{\gamma \cdot (\gamma -1)\cdot \dots \cdot (\gamma -k+1)}{k!}$ für $k\in \mathbb{N}$ und $\left(\begin{array}{c}\gamma \\ 0\end{array}\right):=1$.

Beweis

1. Zunächst genügt die Funktion $f$ dem folgenden Anfangswertproblem:

(10) $f=f(w):B\to ℂ\setminus \{0\}$ holomorph, $f^{\prime }(w)=\frac{\gamma }{1+w}\cdot f(w),w\in B$ und $f\left(0\right)=1$.

Haben wir nun zwei Lösungen $f_j$ von (10) mit $j=1,2$ gegeben, so erfüllt deren Quotient

$F(w):=\frac{f_1(w)}{f_2(w)},w\in B$

das folgende Anfangswertproblem:

(11) $F^{\prime }(w)=\frac{{f_1}^{\prime }(w)\cdot f_2(w)-f_1(w)\cdot {f_2}^{\prime }(w)}{(f_2(w){)}^2}$

$=\gamma \cdot \frac{{f_1}^{\prime }(w)\cdot f_2(w)-f_1(w)\cdot {f_2}^{\prime }(w)}{(1+w)\cdot (f_2(w){)}^2}=0$ für alle $w\in B$ und $F\left(0\right)=1$.

Somit ist $F(w)\equiv 1,w\in B$ bzw. $f_1(w)\equiv f_2(w),w\in B$ richtig. Folglich ist das Anfangswertproblem (10) eindeutig bestimmt.

2. Wir zeigen nun, dass die Binomialreihe in $B$ konvergiert:

(12) $\frac{\left|\left(\begin{array}{c}\gamma \\ k+1\end{array}\right)w^{k+1}\right|}{\left|\left(\begin{array}{c}\gamma \\ k\end{array}\right)w^k\right|}=\frac{|w|\cdot |\gamma |\cdot |\gamma -1|\cdot \dots \cdot |\gamma -k|\cdot k!}{|\gamma |\cdot |\gamma -1|\cdot \dots \cdot |\gamma -k+1|\cdot (k+1)!}$

$=\frac{|w|\cdot |\gamma -k|}{|k+1|}=\frac{|w|\cdot |1-\frac{\gamma }{k}|}{|1+\frac{1}{k}|}$ für $k=1,2,\dots$.

Wir sehen

$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\left|\left(\begin{array}{c}\gamma \\ k+1\end{array}\right)w^{k+1}\right|}{\left|\left(\begin{array}{c}\gamma \\ k\end{array}\right)w^k\right|}=|w|\in [0,+1)$

für alle $w\in B$ ein. Das Quotientenkriterium liefert sofort die Konvergenz der Binomialreihe in $B$.

3. Schließlich genügt

$g(w)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\left(\begin{array}{c}\gamma \\ k\end{array}\right)w^k,w\in B$

dem anfangswertproblem (10): Offenbar ist $g\left(0\right)=1$ erfüllt. Dann differenzieren wir gemäß Satz 15 aus §3 in Kapitel II gliedweise die binomialreihe und erhalten

(13) $(1+w)\cdot g^{\prime }(w)=(1+w)\cdot \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}k\cdot \left(\begin{array}{c}\gamma \\ k\end{array}\right)w^{k-1}$

$=\gamma \cdot [\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\left(\begin{array}{c}\gamma -1\\ k-1\end{array}\right)w^{k-1}+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\left(\begin{array}{c}\gamma -1\\ k-1\end{array}\right)w^k]$

$=\gamma \cdot [\sum _{l=0}^{\mathrm{\infty }}\left(\begin{array}{c}\gamma -1\\ l\end{array}\right)w^l+\sum _{l=1}^{\mathrm{\infty }}\left(\begin{array}{c}\gamma -1\\ l-1\end{array}\right)w^l]$

$=\gamma \cdot [1+\sum _{l=1}^{\mathrm{\infty }}(\left(\begin{array}{c}\gamma -1\\ l\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}\gamma -1\\ l-1\end{array}\right)\left)w^l\right]$

$=\gamma \cdot [1+\sum _{l=1}^{\mathrm{\infty }}\left(\begin{array}{c}\gamma \\ l\end{array}\right)w^l]=\gamma \cdot \left[\sum _{l=0}^{\mathrm{\infty }}\left(\begin{array}{c}\gamma \\ l\end{array}\right)w^l\right]=\gamma \cdot g(w),w\in B$

Hierbei haben wir das vom Binomialsatz bekannte Additionstheorem für die Binomialkoeffizienten

$\left(\begin{array}{c}\gamma -1\\ l\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}\gamma -1\\ l-1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\gamma \\ l\end{array}\right)$

verwandt, welches auch für die verallgemeinerten Binomialkoeffizienten gilt. Da das Anfangswertproblem (10) eindeutig lösbar ist, stimmt die funktion $f\left(w\right)=(1+w{)}^{\gamma }$ in $B$ mit der Binomialreihe überein.

q.e.d.

Satz 5

Sei die komplexe Zahl $w_0=u_0+i{v}_0\in ℂ$ mit $v_0>0$ in der oberen Halbebene und die natürliche Zahl $n\in \mathbb{N}$ gegeben sowie $\gamma =\alpha +i\beta \in ℂ$. Die Gesamtheit der reellen Stammfunktionen folgender echt gebrochen rationaler Funktionen lautet:

(15) $\int \frac{Re((\alpha +i\beta )\cdot ((u-u_0)+i{v}_0{)}^{n+1})}{(u^2-2u_0\cdot u+|w_0{|}^2{)}^{n+1}}du=Re\int \frac{\gamma }{(u-w_0{)}^{n+1}}du$

$=Re\left(\frac{\gamma }{-n\cdot (u-w_0{)}^n}\right)+c=\frac{Re((\alpha +i\beta )\cdot ((u-u_0)+i{v}_0{)}^n)}{-n\cdot (u^2-2u_0\cdot u+|w_0{|}^2{)}^n}+c$

für alle $u\in ℝ$, mit der reellen Integrationskonstante $c\in ℝ$.

Während im Zähler reelle Polynome vom Grad höchstens $n+1$ und $n$ auf der linken bzw. rechten Seite auftreten, finden wir im Nenner Potenzen eines quadratischen Polynoms, welches keine Nullstellen in $ℝ$ besitzt.

Beweis

Wir berechnen

$\int \frac{Re((\alpha +i\beta )\cdot ((u-u_0)+i{v}_0{)}^{n+1})}{(u^2-2u_0\cdot u+|w_0{|}^2{)}^{n+1}}du$

$=Re\int \frac{\gamma \cdot (u-\overline{w_0}{)}^{n+1}}{(u-w_0{)}^{n+1}\cdot (u-\overline{w_0}{)}^{n+1}}du$

$=Re\int \frac{\gamma }{(u-w_0{)}^{n+1}}du=Re\left(\frac{\gamma }{-n\cdot (u-w_0{)}^n}\right)+c$

$=\dots =\frac{Re((\alpha +i\beta )\cdot ((u-u_0)+i{v}_0{)}^n)}{-n\cdot (u^2-2u_0\cdot u+|w_0{|}^2{)}^n}+c$

mit der reellen Integrationskonstante $c\in ℝ$.

Bemerkungen

Den Fall $n=0$ haben wir bereits in Satz 7 und der anschließenden Bemerkung aus §6 gesondert behandelt. Speziell im Fall $n=1$ erhalten wir aus obigem Satz die Integrationsregel

(17) $\int \frac{\alpha (u-u_0{)}^2-\alpha v_0^2-2\beta (u-u_0)v_0}{(u^2-2u_0\cdot u+|w_0{|}^2{)}^2}du=\frac{-\alpha (u-u_0)+\beta v_0}{(u^2-2u_0\cdot u+|w_0{|}^2)}+c$.

Es ist mühsam, solche gebrochen rationale Funktionen im Reellen zu integrieren.

Definition 4

Zur Potenz $\alpha \in ℝ$ betrachten wir die allgemeine reelle Potenzfunktion

$f_{\alpha }:ℝ\setminus \{0\}\to ℝ$

vermöge

(18) $f_{\alpha }(u):=\exp (\alpha \cdot \ln |u|)=:u^{\alpha },u\in ℝ\setminus \{0\}$.

Satz 6

Sei die komplexe Zahl $u_0\in ℝ$ und die natürliche Zahl $n\in \mathbb{N}$ gegeben. Die Gesamtheit der reellen Stammfunktionen der folgenden echt gebrochen rationalen Funktionen lautet:

(19) $\int \frac{1}{(u-u_0{)}^{n+1}}du=\frac{1}{-n\cdot (u-u_0{)}^n}+c$ für alle $u\in ℝ\setminus \{u_0\}$

mit der reellen integrationskonstante $c\in ℝ$.

Satz 7

Für alle $x_1,\dots ,x_n\ge 0$ und ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n\ge 0$ mit $\sum _{k=1}^n{\lambda }_k=1(n=2,3,\dots )$ gilt

(20) $\prod _{k=1}^n{x}_k^{{\lambda }_k}\le \sum _{k=1}^n{\lambda }_k{x}_k$.

Beweis

Gemäß §6 in Kapitel II ist eine konkave Funktion ein Element der Menge

$K^{-}(a,b):=\{f:(a,b)\to ℝ|f\in C^2(a,b)und{f}^{″}(x)\le 0\mathrm{f}\ddot{\mathrm{u}}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{e}x\in (a,b)\}$.

Analog zu Satz 3 aus §6 in Kapitel II gilt für konkave Funktionen unter obigen Voraussetzungen die Jensensche Ungleichung

$f\left(\sum _{k=1}^n{\lambda }_k{x}_k\right)\ge \sum _{k=1}^n{\lambda }_k\cdot f(x_k)$.

Betrachten wir nun die konkave Funktion $f(x)=\ln x:(0,+\mathrm{\infty })\to ℝ$ mit der zweiten Ableitung

$f^{″}(x)=-\frac{1}{x^2}<0$ für alle $x\in (0,+\mathrm{\infty })$,

so erhalten wir die Ungleichung

$\ln \left(\sum _{k=1}^n{\lambda }_k{x}_k\right)\ge \sum _{k=1}^n{\lambda }_k\cdot \ln x_k$.

Bilden wir nun die Potenz zur Basis $e$, so erhalten wir wegen der Monotonie der reellen Exponentialfunktion die Ungleichung (20), nämlich

$\sum _{k=1}^n{\lambda }_k{x}_k\ge \exp (\sum _{k=1}^n{\lambda }_k\ln x_k)=\exp \left(\sum _{k=1}^n{x}_k^{{\lambda }_k}\right)$

$=\exp (\ln \left(\prod _{k=1}^n{x}_k^{{\lambda }_k}\right))=\prod _{k=1}^n{x}_k^{{\lambda }_k}$,

wobei $x_1,\dots ,x_n>0$ und ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n>0$ erfüllt ist. Aus Stetigkeitsgründen bleibt (20) auch für alle $x_1,\dots ,x_n\ge 0$ und ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n\ge 0$ richtig.

q.e.d.

Folgerung 1

Für $n\in \mathbb{N}$ mit $n\ge 2$ erklären wir die Koeffizienten ${\lambda }_k:=\frac{1}{n}$ mit $1\le k\le n$ und wir erhalten die Ungleichung

$\prod _{k=1}^n{x}_k^{\frac{1}{n}}\le \sum _{k=1}^n\frac{x_k}{n}$

bzw.

(21) $m_G:=\sqrt[n]{x_1\cdot x_2\cdot \dots \cdot x_n}\le \frac{1}{n}(x_1+x_2+\dots +x_n)=:m_A$

für alle rellen Zahlen $x_k\ge 0$ mit $1\le k\le n$. Dieses besagt, dass das geometrische Mittel $m_G$ kleiner oder gleich dem arithmetischen Mittel $m_A$ ist.

Folgerung 2

Wir setzen nun $x_k:=a_k^{p_k}$ und ${\lambda }_k:=p_k^{-1}$ für $k=1,2,\dots ,n$ in Satz 7 ein, wobei $a_k\ge 0$ und $p_k>1$ sowie $\sum _{k=1}^n{p}_k^{-1}=1$ gelten. Wegen $x_k^{{\lambda }_k}=a_k$ erhalten wir die Ungleichung

$\prod _{k=1}^n{a}_k\le \sum _{k=1}^n\frac{a_k^{p_k}}{p_k}$.

Folgerung 3

Im Falle $n=2$ mit $a_1:=a\ge 0$, $a_2:=b\ge 0$ und $p_1:=p>1$, $p_2:=q>1$ sowie $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ ergibt sich die Youngsche Ungleichung

(22) $a\cdot b\le \frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q}$.

Satz 8 (Höldersche Ungleichung im ${ℝ}^n$)

Es seien $a_k,b_k\in ℂ$ – für $k=1,2,\dots ,n$ – gegeben. Wenn die Exponenten $p,q\in (1,+\mathrm{\infty })$ die Bedingung $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ erfüllen, dann folgt

(23) $|\sum _{k=1}^n{a}_k\cdot \overline{b_k}|\le \sum _{k=1}^n|a_k|\cdot |b_k|\le {(\sum _{k=1}^n|a_k{|}^p)}^{\frac{1}{p}}\cdot {(\sum _{k=1}^n|b_k{|}^q)}^{\frac{1}{q}}$.

Beweis

Wir brauchen nur die rechte Ungleichung in (23) zu beweisen. Wenn $\sum _{k=1}^n|a_k{|}^p=0$ erfüllt ist, so muss $a_1=a_2=\dots =a_n=0$ gelten und in (23) tritt Gleichheit ein. Also können wir ohne Einschränkung $\sum _{k=1}^n|a_k{|}^p>0$ und $\sum _{k=1}^n|b_k{|}^q>0$ annehmen. Dann betrachten wir die normierten Größen

${\alpha }_k:=\frac{|a_k|}{{(\sum _{i=1}^n|a_i{|}^p)}^{\frac{1}{p}}}$ und ${\beta }_k:=\frac{|b_k|}{{(\sum _{i=1}^n|b_i{|}^q)}^{\frac{1}{q}}}$,

welche offenbar die Bedingung

$\sum _{k=1}^n{\alpha }_k^p=1=\sum _{k=1}^n{\beta }_k^q$

erfüllen. Nach der Youngschen Ungleichung (22) gilt

${\alpha }_k\cdot {\beta }_k\le \frac{{\alpha }_k^p}{p}+\frac{{\beta }_k^q}{q}$ für $k=1,2,\dots ,n$.

Summation über $k$ liefert die ungleichung

(24) $\sum _{k=1}^n{\alpha }_k\cdot {\beta }_k\le \frac{1}{p}\cdot \sum _{k=1}^n{\alpha }_k^p+\frac{1}{q}\cdot \sum _{k=1}^n{\beta }_k^q=\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$

wegen der Normierungsbedingungen. Diese Ungleichung (24) impliziert offenbar die rechte ungleichung in (23).

q.e.d.