Kurs:Analysis I/Kapitel III: Die elementaren Funktionen/§4 Die Arcusfunktionen

Definition 1

Die Umkehrfunktion von $y=\sin x:[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]\to ℝ$ heißt Arcus-Sinusfunktion $x=\arcsin y:[-1,1]\to ℝ$. Die Umkehrfunktion von $y=\cos x:[0,\pi ]\to ℝ$ heißt Arcus-Cosinusfunktion $x=\arccos y:[-1,1]\to ℝ$.

Satz 1

Für alle $y\in ℝ$ mit $|y|\le 1$ gilt

(1) $\arccos y+\arcsin y=\frac{\pi }{2}$.

Beweis

Nach Satz 5 in §2 gilt

$[-1,+1]\ni y=\sin x=\cos (\frac{\pi }{2}-x)$ für alle $x\in [-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$.

Unter Anwendung von $\arccos$ auf die Identität $y=\cos (\frac{\pi }{2}-x)$ und von $\arcsin$ auf $y=\sin x$ erhalten wir

(2) $\arccos y=(\frac{\pi }{2}-x)=(\frac{\pi }{2}-\arcsin y)$

für alle $y\in [-1,+1]$. Somit folgt die o. a. Behauptung.

q.e.d.

Satz 2

Die in Definition 1 erklärten Funktionen sind im Intervall $(-1,1)$ stetig differenzierbar und es gilt

(3) $\frac{d}{dy}\arcsin y=\frac{1}{\sqrt{1-y^2}}$ und $\frac{d}{dy}\arccos y=\frac{-1}{\sqrt{1-y^2}}$

für alle $y\in ℝ$ mit $\left|y\right|<1$.

Beweis

Sei $y\in (-1,1)$ und $x:=\arcsin y$, wobei $y=\sin x$ mit $x\in [-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$ gilt. Nach den Überlegungen in §2 ist $\frac{d}{dx}\sin x=\cos x>0$ für alle $|x|<\frac{\pi }{2}$ erfüllt. Wir wenden jetzt Satz 7 aus §3 in Kapitel II auf die Funktion $f\left(x\right)=\sin x$ und erhalten

$\frac{d}{dy}\arcsin y=\frac{1}{\cos (\arcsin y)}=\frac{1}{\sqrt{1-{\sin }^2(\arcsin y)}}=\frac{1}{\sqrt{1-y^2}}$.

Aus Satz 1 folgt für alle $\left|y\right|<1$ unmittelbar

$\frac{d}{dy}\arccos y=\frac{d}{dy}(\frac{\pi }{2}-\arcsin y)=-\frac{1}{\sqrt{1-y^2}}$.

Satz 3

Für alle $y\in (-1,+1)$ gilt die Reihenentwicklung

(4) $\arcsin y=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^{2k}}\left(\begin{array}{c}2k\\ k\end{array}\right)\cdot \frac{y^{2k+1}}{2k+1}=y+\frac{1}{6}{y}^3+\frac{3}{40}{y}^5+\dots$.

Beweis

Nach dem Satz 4 über die Binomialreihe, welchen wir in §7 zeigen werden, konvergiert für alle $t\in (-1,+1)$ die folgende Reihe:

(5) $\frac{d}{dt}\arcsin t=\frac{1}{sqrt1-t^2}=(1-t^2{)}^{-\frac{1}{2}}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\left(\begin{array}{c}-\frac{1}{2}\\ k\end{array}\right)\cdot (-1{)}^k\cdot t^{2k}$.

Hierbei verwenden wir die – in §7 eingeführten – verallgemeinerten Binomialkoeffizienten

(6) $\left(\begin{array}{c}-\frac{1}{2}\\ k\end{array}\right)\cdot (-1{)}^k=(-1{)}^k\cdot \frac{(-\frac{1}{2})\cdot (-\frac{1}{2}-1)\cdot (-\frac{1}{2}-2)\cdot \dots \cdot (-\frac{1}{2}-k+1)}{k!}$

$=\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdot \dots \cdot (2k-1)}{2^k\cdot k!}$.

Wenn wir mit $\prod _{i=1}^k(2i)=2^k\cdot k!$ erweitern, erhalten wir schließlich

(7) $\left(\begin{array}{c}-\frac{1}{2}\\ k\end{array}\right)\cdot (-1{)}^k=\frac{(2k)!}{2^{2k}\cdot (k!{)}^2}=\left(\begin{array}{c}2k\\ k\end{array}\right)\cdot \frac{1}{2^{2k}}$.

Zusammen mit (5) folgt die Identität

(8) $\frac{d}{dt}\arcsin t=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^{2k}}\left(\begin{array}{c}2k\\ k\end{array}\right)\cdot t^{2k},t\in (-1,+1)$.

Mit Hilfe von Satz 9 aus §2 in Kapitel II integrieren wir diese Potenzreihe gliedweise und wir erhalten für alle $y\in (-1,+1)$

(9) $\arcsin y=\underset{0}{\overset{y}{\int }}[\frac{d}{dt}\arcsin t]dt={[\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^{2k}}\left(\begin{array}{c}2k\\ k\end{array}\right)\cdot \frac{t^{2k+1}}{2k+1}]}_0^y$

$=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^{2k}}\left(\begin{array}{c}2k\\ k\end{array}\right)\cdot \frac{y^{2k+1}}{2k+1}$

Damit ist die o. a. Reihe hergeleitet.

q.e.d.

Satz 4

Es gilt für alle $y\in ℝ$ mit $\left|y\right|<1$ die Aussage

(10) $\int \frac{1}{\sqrt{1-y^2}}dy=\arcsin y+c_1=-\arccos y+c_2$

mit den reellen Integrationskonstanten $c_1,c_2\in ℝ$

Definition 2

Die Umkehrfunktion von $y=\tan x:[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]\to ℝ$ heißt Arcus-Tangensfunktion $x=\arctan y:ℝ\to [-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$. Die Umkehrfunktion von $y=\cot x:[0,\pi ]\to ℝ$ heißt Arcus-Cotangensfunktion $x=\mathrm{arccot}y:ℝ\to [0,\pi ]$.

Satz 5

Für alle $y\in ℝ$ gilt

(11) $\mathrm{arccot}y+\arctan y=\frac{\pi }{2}$

Beweis

Diese Identität entnehmen wir dem Satz 11 aus §2, wie wir im Beweis zu Satz 1 vorgestellt haben.

q.e.d.

Satz 6

Die in Definition 2 erklärten Funktionen sind in $ℝ$ stetig differenzierbar und es gilt dort

(12) $\frac{d}{dy}\arctan y=\frac{1}{\sqrt{1+y^2}}$ sowie $\frac{d}{dy}\mathrm{arccot}y=\frac{-1}{\sqrt{1+y^2}}$.

Beweis

Sei $y\in ℝ$ und $x:=\arctan y$, wobei $y=\tan x$ mit $|x|<\frac{\pi }{2}$ gilt. Nach Satz 9 aus §2 ist

$\frac{d}{dx}\tan x=1+{\tan }^{2}x>0$ für alle $|x|<\frac{\pi }{2}$ erfüllt.

Wir wenden den Satz über die Differentiation von Umkehrfunktionen auf $f\left(x\right)=\tan x$ und erhalten

(13) $\frac{d}{dy}\arctan y=\frac{1}{1+{\tan }^2(\arctan y)}=\frac{1}{1+y^2}$.

Dann liefert Satz 4 für alle $y\in ℝ$ die Identität

$\frac{d}{dy}\mathrm{arccot}y=\frac{d}{dy}(\frac{\pi }{2}-\arctan y)=-\frac{1}{1+y^2}$.

q.e.d.

Satz 7

Für alle $y\in (-1,1)$ gilt die Reihenentwicklung

(14) $\arctan y=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k\cdot \frac{y^{2k+1}}{2k+1}=y-\frac{1}{3}{y}^3+\frac{1}{5}{y}^5-\dots +\dots$.

Beweis

Wir entwickeln die Ableitung dieser Funktion in eine konvergente geometrische Reihe:

(15) $\frac{d}{dy}\arctan t=\frac{1}{1+t^2}=\frac{1}{1-(-t^2)}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k\cdot t^{2k},t\in (-1,+1)$.

Mit Hilfe von Satz 9 in §5 von Kapitel II integrieren wir die Potenzreihe gliedweise und erhalten

(16) $\arctan y=\underset{0}{\overset{y}{\int }}\frac{d}{dy}\arctan tdt={[\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k\cdot \frac{t^{2k+1}}{2k+1}]}_0^y$

$=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k\cdot \frac{y^{2k+1}}{2k+1},y\in (-1,+1)$

über den Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung.

q.e.d.

Satz 8

Beweis

Satz 9

Die Gesamtheit der reellen stammfunktionen von der gebrochen rationalen funktion $(1+y^2{)}^{-1},y\in ℝ$ besteht aus

(19) $\int \frac{1}{1+y^2}dy=\arctan y+c_1=-\mathrm{arccot}y+c_2,y\in ℝ$ mit $c_1,c_2\in ℝ$

Beweis

Dieser Beweis folgt sofort aus Satz 6.

q.e.d.