Kurs:Analysis 1 (TU Dortmund)/§6 Doppelreihen

6.1 Vorbemerkung

Für $a\in ℝ$ setzt man

$a^{+}=\{\begin{array}{c}a\text{falls }a>0\\ 0\text{sonst}\end{array}=max\{a,0\}$

$a^{-}=\{\begin{array}{c}-a\text{falls }a<0\\ 0\text{sonst}\end{array}=max\{-a,0\}$

$a^{+}-a^{-}=a,a^{+}+a^{-}=|a|$

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k^{+}-\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k^{-}$ $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}|a_k|=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k^{+}-\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k^{-}$

Falls die Reihe $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k$ absolut konvergiert

Bemerkung

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k$ konvergiert genau dann absolut, wenn $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k^{+}$ und $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k^{-}$ konvergieren

Es ist zu beachten, dass: $(a_k^{+},a_k^{-}\ge 0)$

6.2 Umordnung einer Folge/ Reihe

Eine Umordnung einer Folge/ Reihe ist eine Bijektion $\mathrm{\Phi }:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$

(oder ${\mathbb{N}}_0\to {\mathbb{N}}_0$ ):

Die umgeordnete Folge ist (Reihe):

$(a_{\mathrm{\Phi }(k)})$

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_{\mathrm{\Phi }(k)}$

Beispiel

1 2 3 4 5 6 7  8  9...
1 2 4 3 6 8 5 10 12 ...

$\mathrm{\Phi }(n)=?$

$\mathrm{\Phi }(3n)=4n$

$\mathrm{\Phi }(3n+1)=2n+1$

$\mathrm{\Phi }(3n+2)=4n+2$

Bijektion $\mathbb{N}\to \mathbb{N}$

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{\mathrm{\Phi }(k)-1}}{\mathrm{\Phi }(k)}=\frac{1}{2}\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{\mathrm{\Phi }(k)-1}}{k}$

6.3 Umordnungssatz von Riemann

Ist $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k$ konvergent, aber nicht absolut konvergent, und ist $s\in ℝ$ gegeben, dann existiert eine Umordnung $\mathrm{\Phi }$ mit $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{k}_{\mathrm{\Phi }(k)}=s$

(ohne Beweis)

6.4 Umordnungssatz

Eine absolut konvergente Reihe kann beliebig umgeordnet werden, d.h. für jede Umordnung gilt

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_{\mathrm{\Phi }(k)}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k$

(absolute Konvergenz auch links)

Beweis

zuerst seien alle $a_k\ge 0$

$\sum _{k=0}^n\underset{\ge 0}{\underbrace{a_{\mathrm{\Phi }}(k)}}\le \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k$

$\Rightarrow$ absolute Konvergenz von $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_{\mathrm{\Phi }(k)}$ und $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_{\mathrm{\Phi }(k)}\le \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k$

auch $k={\mathrm{\Phi }}^{-1}(\mathrm{\Phi }(k))\Rightarrow \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k\le \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_{\mathrm{\Phi }(k)}$

$a_k=a_k^{+}-a_k^{-}$ $a_{\mathrm{\Phi }(k)}=a_{\mathrm{\Phi }(k)}^{+}-a_{\mathrm{\Phi }(k)}^{-}$

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_{\mathrm{\Phi }(k)}$

$a_k\in ℂ:a_k={a_k}^{\prime }+i{a_k}^{″}({a_k}^{\prime }\text{und}{a_k}^{″}\in ℝ)$

$a_{\mathrm{\Phi }}(k)=a_{\mathrm{\Phi }}(k{)}^{\prime }+i{a}_{\mathrm{\Phi }}(k{)}^{″}$

6.5 Multiplikation von Reihen

(*) $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k\cdot \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_k=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_n$

mit $c_n=\sum _{j=0}^n{a}_j{b}_{n-j}=\sum _{k=0}^n{a}_{n-k}{b}_k$

Wenn $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k$ und $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_k$ absolut konvergent, dann auch $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_n$ und es gilt (*)

$\begin{array}{ccccc}{a}_0{b}_0& a_0{b}_1& a_0{b}_2& a_0{b}_3& ...\\ a_1{b}_0& a_1{b}_1& a_1{b}_2& a_1{b}_3& ...\\ a_2{b}_0& a_2{b}_1& a_2{b}_2& a_2{b}_3& ...\\ a_3{b}_0& a_3{b}_1& a_3{b}_2& a_3{b}_3& ...\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& \ddots \end{array}$

• Diagonalsummen
• Spaltensummen
• Zeilensummen
• Quadratsummen

Cauchyprodukt

Beweis

Zuerst alle $a_k\ge 0,b_k\ge 0$

$\sum _{n=0}^m{c}_n\le \sum _{j=0}^m\sum _{k=0}^m{a}_j{b}_k\le \sum _{n=0}^{2m}{c}_n$

alle $a_j,b_j\ge 0$

$\sum _{n=0}^m{c}_n\le \sum _{j=0}{a}_j\cdot \sum _{k=0}{b}_k\le \sum _{n=0}^{2m}{c}_n$

(1) $(\sum _{n=0}^m{c}_n)$ beschränkt, also $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_n$ konvergent

(1) + (2) $m\to \mathrm{\infty }\Rightarrow$ (*)

$a_j,b_k\in ℝ$ $a_j,b_k=(a_j^{+}-a_j^{-})(b_k^{+}-b_k^{-})$ $=a_j^{+}{b}_k^{+}-a_j^{+}{b}_k^{-}{a}_j^{-}{b}_k^{+}+a_j^{-}{b}_k^{-}$

vier Produkte wie im 1. Teil

$a_j,b_k\in ℂ$ :

$({a_j}^{\prime }+i{a_j}^{″})({b_k}^{\prime }+i{b_k}^{″})$

Beispiel

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{a^k}{k!}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{b^k}{k!}$

$=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{k=0}^n\frac{a^k}{k!}\frac{b^{n-k}}{(n-k)!}\frac{n!}{n!}$

$=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}\underset{(a+b{)}^n}{\underset{}{⏟}}$

hier fehlt einiges .....

Beispiel

hier fehlt einiges .....

Beispiel

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{k-1}}{\sqrt[]{k}}$ konvergiert nach Leibniz, aber nicht absolut

${\left(\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{k-1}}{\sqrt[]{k}}\right)}^2=\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\sum _{k=1}^n\frac{(-1{)}^{k-1}}{\sqrt[]{k}}\frac{(-1{)}^{n-k-1}}{\sqrt[]{n-k}}=\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\underset{=:d_n}{\underbrace{\sum _{k=1}^{n-1}\frac{1}{\sqrt[]{n-k}}}}$ die Reihe divergiert!

$\sqrt[]{k(n-k)}\le \frac{k+n-k}{2}=\frac{n}{2}$

$\sum _{k=1}^{n-1}\frac{1}{\sqrt[]{k(n-1)}}\ge \sum _{k=1}^{n-1}\frac{2}{n}=\frac{2(n-1)}{n}\ge 1(n\ge 2)$

$\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{d}_n,d_n\ge 1$ divergent

6.6 Doppelreihe

Sei $(c_{jk})$ ein doppelt indiziertes Schema $(j,k\in {\mathbb{N}}_0)$

Dann heißt $\sum _{j,k=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_{jk}$ Doppelreihe.

Sie heißt absolut konvergent, wenn für eine Abzählung $\mathrm{\Phi }$ von ${\mathbb{N}}_0\times {\mathbb{N}}_0$ die Reihe $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_{\mathrm{\Phi }(n)}$ absolut konvergiert.

Man sieht $\sum _{j,k=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_{jk}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_{\mathrm{\Phi }(n)}$

Dies ist unabhängig von $\mathrm{\Phi }$.

Eine Abzählung von ${\mathbb{N}}_0\times {\mathbb{N}}_0$ ist eine bijektive Abbildung $\mathbb{N}\to {\mathbb{N}}_0\times {\mathbb{N}}_0$

$n\mapsto (j,k)=\mathrm{\Phi }(n)$

Beispiel

${\mathrm{\Phi }}^{-1}:{\mathbb{N}}_0\times {\mathbb{N}}_0\to \mathbb{N}$

bijektiv: weil jedes $n\in \mathbb{N}$ hat eine eindeutige Darstellung der Form $2^j(2k+1)$

Beweis

Seien ${\mathrm{\Phi }}_1,{\mathrm{\Phi }}_2$

hier fehlt etwas ...

$\psi ={\mathrm{\Phi }}_2^{-1}\circ {\mathrm{\Phi }}_2$

Bijektion $\mathbb{N}\to \mathbb{N}$

$c_{{\mathrm{\Phi }}_1(n)}=c_{{\mathrm{\Phi }}_2\circ \mathrm{\Psi }(n)}:$

$(c_{{\mathrm{\Phi }}_1(n)})$ ist Umordnung von $(c_{{\mathrm{\Phi }}_2(n)})$

Umordnungssatz

Beispiel

$\sum _{j,k=0}^{\mathrm{\infty }}\underset{=:c_{jk}}{\underbrace{2^{-j}{3}^{-k}}}=\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{2}^{-j}{3}^{-k}=\frac{1}{1-\frac{1}{2}}\frac{1}{1-\frac{1}{3}}=2\cdot \frac{3}{2}=3$

6.7 Doppelreihensatz

$\sum _{j,k=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_{jk}$

$=\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_{jk}$ Zeilensummen

$=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_{jk}$ Spaltensummen

$=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{\max =\{j,k\}=n}{c}_{jk}$ Quadratsummen

$=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{j+k=n}^{\mathrm{\infty }}{c}_{jk}$ Diagonalsumme

falls die linksstehende Reihe oder eine der rechts stehenden Reihen mit $|c_{jk}|$ anstelle $c_{jk}$ existiert.

Beweis

Für $c_{jk}\ge 0(j,k\in {\mathbb{N}}_0)$

dann $c_{jk}\in ℝ$ mit $c_{jk}=c_{jk}^{+}-c_{jk}^{-}$

dann $c_{jk}\in ℂ$ mit $c_{jk}=a_{jk}+i{b}_{jk}$

alle dann $c_{jk}\in ℝ$ mit $c_{jk}=c_{jk}^{+}-c_{jk}^{-}\ge 0$:

$\sum _{j=0}^m\sum _{k=0}^n{c}_{jk}=\sum _{k=0}^n\sum _{j=0}^m{c}_{jk}$

$\sum _{j,k=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_{jk}=L$ existiert, dann $\sum _{j=0}^m\sum _{k=0}^n{c}_{jk}\le L$

$n\to \mathrm{\infty }:\sum _{j=0}^m\left(\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\right)c_{jk}\le L$

$n\to \mathrm{\infty }:\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_{jk}\le L$

Zeilensummen, Spaltensummen genauso

Quadratsummen:

$\sum _{n=0}^N\sum _{\max =\{j,k\}=n}{c}_{jk}=\sum _{n=0}^N\sum _{l=0}^N{c}_{nl}\le L$

Spezialfall:

mit $m=n=N$

Diagonalsummen:

$\sum _{n=0}^N\sum _{j+k=n}{c}_{jk}\le \sum _{n=0}^N\sum _{\max =\{j,k\}=n}{c}_{jk}\le L$

Umkehrung: Eine rechte Seite existiert:

$\sum _{j=0}^n\sum _{k=0}^m{c}_{jk}\le \sum _{l=0}^{2max\{m,n\}}\sum _{j+k=l}{c}_{jk}$

$\sum _{j=0}^n\sum _{k=0}^m{c}_{jk}\ge \sum _{l=0}^{min\{m,n\}}\sum _{j+k=l}{c}_{jk}$

Es genügt den Fall der Diagonalsummen zu betrachten.

zu zeigen

$D=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{j+k=n}{c}_{jk}\ge L$

$\Rightarrow D\le D$

Beispiel

$c_{jj}=-1$

$c_{jk}=0$ für $1\le k<j$

$c_{jk}=2j-k$ für $k>j$

$\sum _{j,k=1}^{\mathrm{\infty }}|c_{jk}|$ existiert nicht.