Kurs:Analysis 1 (TU Dortmund)/§5 Absolut konvergente Reihen

ff Beispiel

$\underset{=:Sn\uparrow }{\underbrace{\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k^2}}}\le 2-\frac{1}{n}(<2)$ beschränkt

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k^2}$ konvergent

5.1 Absolute Konvergenz

Die Reihe $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k$ heißt absolut konvergent, wenn $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\left|a_k\right|$ konvergent. Absolut konvergente Reihen sind konvergent.

Beweis:

$\left|\sum _{k=m+1}^n{a}_k\right|\le \sum _{k=m+1}^n\left|a_k\right|<ϵ(n>m\ge n_0)ck$ erfüllt zu :$ϵ<0\mathrm{\exists },n_0$ mit

Beispiel:

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k{b}_k$ wie bei Abel-Dirichlet $=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{B}_k(a_k-a_{k+1})$ absolut konvergent

$|B_k(a_k-A_{k+1})|\le B\underset{\ge 0}{\underbrace{(a_k-a_{k+1})}}$

$B\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(a_k-a_{k+1})=B_{a0}$

5.2 Majorantenkriterium

Gilt $\left|a_k\right|\le c_k(k\in {\mathbb{N}}_0)$ und ist $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_k$ konvergent, dann ist $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k$ absolut konvergent.

Beweis:

$\left|\sum _{k=m+1}^n{a}_k\right|\le \sum _{k=m+1}^n\left|a_k\right|\le \sum _{k=m+1}^n{c}_k<ϵ$ zu :$ϵ>0\mathrm{\exists }{n}_0\in \mathbb{N}:n>M\ge n_0$

Beispiel:

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{n^4+n^2+n}{n^6-2}$

$n\ge 2$

$\frac{n^4+n^2+n}{n^6-2}\le \frac{n^4+n^4+n^4}{1/2n^6}=\frac{6}{n^2}$

Anmerkung: Gilt die Ungleichung: $n^6\ge \frac{1}{2}{n}^6$? Ja, da: $n^6\ge 4$

5.3 Minorantenkrierium

Gilt $a_k\ge c_k\ge 0(k\in {\mathbb{N}}_0)$ und ist $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_k$ divergent, dann ist auch $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k$ divergent.

Beweis:

Wäre $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k$ kovergent (beachte: $a_k>0$) so wäre auch $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_k$ konvergent, da $\left|C_k\right|=c_k\le a_k$

Bezeichnung:

$\left|a_k\right|\le C_k$ und $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k$ konvergent, dann heißt die Reihe konvergente Majorante.

5.4 Die geometrische Reihe

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{q}^k$ konvergent absolut für $\left|q\right|<1$, und divergent sonst.

Beweis:

$(q=1)s_n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}\frac{1}{1-q}(\left|q\right|<1)$

$q=-1s_n=\frac{1-(-1{)}^{n+1}}{2}$ divergent

$\left|q\right|>1:\left|s_n\right|\ge \frac{{\left|q\right|}^{n+1}-1}{|q-1|}\to \mathrm{\infty }(n\to \mathrm{\infty })$

5.5 Wurzelkriterium

Gilt $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\sqrt[n]{\left|a_n\right|}<1$, dann ist $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ absolut konvergent.

Beweis:

Wähle $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\sqrt[n]{a_n}<q<1$

Dann $\mathrm{\exists }{n}_0:\sqrt[n]{\left|a_n\right|}<q(\ge n_0)$

also $\left|a_n\right|<q^n(n\ge n_0)$

Für $n\le n_0:C=\max \{\frac{q^n}{\left|a_n\right|+1}:n=0,1,...,N_0\}$

$\left|a_n\right|<\left|a_n\right|+1\le c\cdot q^n(n\le n_0)$

Insgesamt: $\left|a_n\right|\le \max \{1,c\}\cdot q^n=\tilde{c}{q}^n:\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\tilde{c}{q}^n$ konvergente Majorante

Beispiel: $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{n}^k{q}^n$ absolut konvergent, falls $\left|q\right|<1(k\in \mathbb{N})$

$\sqrt[n]{n^k{\left|q\right|}^n}=\left|q\right|\underset{\to 1}{\underbrace{(\sqrt[n]{n})}}{}^k\to \left|q\right|$

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt[n]{n^k{\left|q\right|}^n}=\left|a\right|<1$

5.6 Quotientenkriterium

Gilt $a_n=0(n\ge \overline{n})$ und $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|<1$ , dann konvergiert $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ absolut

Beweis

(*) $\left|\frac{a_{k+1}}{a_n}\right|<q<1(n\ge n_0)$

Multipliziere (*) für $n=n_0,n_{0+1},...N-1$

$|\frac{a_{n0+1}}{a_{n}0}\cdot \frac{a_{n0+2}}{a_{n0+1}}\cdot ...\cdot \frac{a_{N-1}}{a_{N-2}}\cdot \frac{a_N}{a_{N-1}}|<q^{N-n_0}$

$\Rightarrow \left|a_N\right|<\underset{=\text{constant}}{\underbrace{(\left|a_{n0}\right|\cdot q^{-n_0})}}\cdot q^N(n>n_0)$

$\Rightarrow$ absolut konvergent

Beispiel

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{q^n}{n!}$ absolut konvergent für alle $q\in ℝ$

$q=0\surd$

$q=0:\left|\frac{\frac{q^{n+1}}{(n+1)!}}{\frac{q^n}{n!}}\right|=\frac{|q|}{n+1}\underset{(n\to \mathrm{\infty })}{\overset{}{\to }}0:\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=0$

5.8 d-adische Entwicklungen

$\pi =3,14159...=3+\frac{1}{10}+\frac{4}{100}+\frac{1}{1000}+\frac{5}{10000}+\frac{9}{100000}+...$

Dezimalentwicklung $\pm a_0,a_1,a_2,a_3,...=a_0+\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{a_k}{10^k}$

$a_0\in {\mathbb{N}}_0,a_k\in 0,1,...,q$

Anstelle 10 kann man $d\in \mathbb{N},d\ge 2$

$0,999...=1=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{9}{10^k}=9\cdot \frac{1}{1-\frac{1}{10}}=1$

Jede reelle Zahl $a\in (0,1)$ hat eine eindeutig bestimmte d-adische Entwicklung

$a=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{a_k}{d^k}$ mit $a_1,a_2,...\in \{0,1,2,...,d-1\}$

wenn man " $a_k=d-1$ für $k\ge k_0$ " verbietet

Beweis (Existenz)

$a$ liegt in genau einem Intervall der Form $[\frac{a_1}{d},\frac{a_1+1}{d})$ für ein $a_1\in \{0,1,2,...,d-1\}$

$[\frac{a_1}{d}+\frac{a_2}{d^2},\frac{a_1}{d}+\frac{a_2+1}{d^2})$

... $[\frac{a_1}{d}+\frac{a_2}{d^2}...+\frac{a_n}{d^n},\frac{a_1}{d}...+\frac{a_n+1}{d^n})$

d.h. $0\le a-\sum _{k=1}^n\frac{a_k}{d^k}<\frac{1}{d^k}\Rightarrow a=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{a_k}{d^k}$

(Eindeutigkeit)

Sei $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{a_k}{d^k}=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{b_k}{d^k}$, $(a_k)=(b_k)$ , d.h. $(a_k)=(b_k)$ für $k<m$, aber $a_m=b_m$

z.B. $a_m<b_m$:

$0=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{b_k-a_k}{d^k}=\frac{b_m-a_m}{d^m}+\sum _{k=m+1}^{\mathrm{\infty }}\frac{b_k-a_k}{d^k}$

$\sum _{k=m+1}^{\mathrm{\infty }}\frac{a_k-b_k}{d^k}=\frac{b_m{a}_m}{d^m}\ge \frac{1}{d^m}$

$a_k-b_k\le d-1$

links

$\le \sum _{k=m+1}^{\mathrm{\infty }}\frac{d-1}{d^k}=(d-1)\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{d^{m+1}}\cdot \frac{1}{d^j}$

$k=m+1+j$

$=\frac{d-1}{d^{n+1}}\cdot \frac{1}{1-\frac{1}{d}}=\frac{1}{d^m}$

Es gilt "=" überall: $b_m=a_m+1a_k=d-1,b_k=0(k>m)$

5.9 $ℝ$ ist überabzählbar (= nicht abzählbar)

$M$ heißt abzählbar, wenn es eine Bijektion $\mathrm{\Phi }:\mathbb{N}\to M$ gibt

$a_k=\mathrm{\Phi }(k):M=\{\mathrm{\Phi }(k):k\in \mathbb{(}N)\}=\{a_1,a_2,a_3,a_4,...\}$

Beweis

Es genügt: $[0,1)$ nicht abzählbar!

Annahme, doch

$[0,1)=\{x_1,x_2,x_3,...\}$ $x_m=0,x_{11},x_{12},x_{13},...,x_{nk}\{0,1,...,9\}$ (Dezimalsystem) verboten 999

Setze $a_k:=\{\begin{array}{cc}2& \text{wenn}{x}_{kk}=2\\ 3& \text{wenn}{x}_{kk}=2\end{array}$

$k=1,2,...$

$a=0,a_1,a_2,...,a_n,...$

$x_m=0,x_{m1},x_{m2},...,x_{mm},...$

Insbesondere $a_m=x_{mm}$ Widerspruch! zur Definition von $a_m$

5.10 Komplexe Reihen

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_n:=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n+i\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_n$

$c_n=a_n+i{b}_n$

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ heißt konvergent, wenn die reellen Reihen $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ und $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_n$ konvergieren.

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_n$ heißt absolut konvergent, wenn $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}|c_n|$ konvergiert.

Wurzel-, Quotienten- und Majorantenkriterium gelten weiterhin.

Bemerkung

$|a_n|\le |c_n|\le |a_n|\le |b_n|$

$|b_n|\le |c_n|\le |a_n|\le |b_n|$

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_n$ absolut konvergent, wenn $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ und $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_n$

Abel-Dirichlet-Kriterium gilt weiter

$a_k\downarrow 0,\left(\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_k\right)$ sei beschränkt. Dann konvergiert $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k{b}_k$

Beispiel

$a_k=\frac{1}{k}(k\ge 1)$

$b_k=q^{k}q\in ℂ$

$\left|\sum _{k=1}^n{q}^k\right|=\left|q\sum _{k=1}^{n-1}{q}^k\right|=\left|q\frac{1-q^n}{1-q}\right|$

$q=1$

$\le 1\cdot \frac{1+1}{|1-q|}=\frac{2}{|1-q|}$

$q=1|q|\le 1$

$\sum _{k=1}^n\frac{q^k}{k}$ konvergent für $|q|\le 1,q=1$

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