Kurs:Analysis 1 (TU Dortmund)/§4 Unendliche Reihen

4.1 Unendliche Reihen

Setze $S_n:=\sum _{k=0}^n{a}_k$. Wenn $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{s}_n$ existiert, so sehen wir (*) $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{S}_n$.

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k$ heißt unendliche Reihe, $S_n$ ihre n-te Partialsumme.

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k$ heißt konvergent, wenn (*) existiert, sonst divergent.

4.2 Notwendige Bedingungen für die Konvergenz:

(i) $a_k\to 0(k\to \mathrm{\infty })$

(ii) $r_n=\sum _{k=n+1}^{\mathrm{\infty }}{a}_k\to 0(n\to \mathrm{\infty })$ (Reihenrest)

Beweis: $S_n=\sum _{k=0}^n{a}_k\to s(n\to \mathrm{\infty })$;

$a_n=S_n-S_{n-1}\to S-S=0(n\to \mathrm{\infty })$

$r_n=s-S_n\to s-s=0(n\to \mathrm{\infty })$

4.3 Teleskopreihen

$(a_k)$ sei Nullfolge. Dann konvergiert $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(a_k-a_{k+1})=a_0$

dann $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(a_k-a_{k+p})=a_0+a_1+...+a_{p-1}$.

Beweis: $n\ge p{S}_n=\sum _{k=0}^n(a_k-a_{k+p})=\sum _{k=0}^n{a}_k-\sum _{k=0}^n{a}_{k+p}=\sum _{k=0}^n{a}_k-\sum _{j=p}^{n+p}{a}_j$

...

Beispiel: $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2+4n+3}$

$n^2+4n+3=(n+1)(n+3)\Rightarrow \frac{1}{(n+1)(n+3)}=\frac{\frac{1}{2}}{(n+1)}-\frac{\frac{1}{2}}{(n+3)}$

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2+4n+3}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2}(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+3})=a_0+a_1=\frac{\frac{1}{2}}{0+1}+\frac{\frac{1}{2}}{1+3}=\frac{1}{2}+\frac{1}{8}=\frac{5}{8}$.

Achtung! $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(\frac{\frac{1}{2}}{(n+1)}-\frac{\frac{1}{2}}{(n+3)})\ne \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{\frac{1}{2}}{(n+1)}-\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{\frac{1}{2}}{(n+3)}$, da die einzelnen Summen divergent sind.

...

4.4 Satz

Wenn $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k$ und $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_k$ konvergent, dann gilt

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(a_k+b_k)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k+\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_k$

und

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}c{a}_k=c\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k(c\in ℝ$ )

Beweis, siehe Folgen.

4.5 Cauchykriterium (für Reihen)

Die Reihe $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k$ ist genau dann konvergent, wenn es zu jedem $\epsilon >0$ ein $n_0$ gibt und $\left|\sum _{k=m+1}^n{a}_k\right|<\epsilon$ für alle $n>m\ge n_0$.

Beweis: ...

4.6 Die harmonische Reihe

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n}$ ist divergent.

Beweis: ...

4.7 Leibnizkriterium (alternierende Reihen)

Sei $(a_k{)}_{k\ge 0}$ eine monoton fallende Nullfolge.

Dann konvergiert $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k{a}_k$ mit

$S_{2n-1}\le s\le S_{2n}(S_n=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k{a}_k)$

Beweis:

$S_{2n+2}-S_{2n}=a_{2n-2}-a_{2n+1}\le 0S_{2n}\downarrow$

${\displaystyle }$

$S_{2n+3}-S_{2n+1}=-a_{2n+3}+a_{2n+2}\ge 0S_{2n+1}\uparrow$

$S_{2n}-S_{2n-1}=a_{2n}\ge 0$

$S_1\le S_3\le ...\le S_{2n-1}\le s\le S_{2n}\le S_{2n-2}\le ...\le S_0$

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{S}_{2n-1}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{S}_{2n}=s$ da $a_{2n}\to 0(n\to \mathrm{\infty })$

Siehe auch

Leibniz-Kriterium

4.8 Beispiel - Die alternierende harmonische Reihe

Die Reihe $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n-1}\frac{1}{n}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k\frac{1}{k+1}$ konvergiert, da $(a_k=\frac{1}{k+1}\downarrow nullfolge)$

Wert s: $\frac{1}{2}\le s\le 1$

$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\le s\le 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$

4.9 Abel-Dirichletkriterium

Sei $(a_k)$ eine monoton fallende Nullfolge und sei $(b_k)$ eine Folge mit: $B_k=\sum _{k=0}^n{b}_k$ sei beschränkt. Dann konvergiert $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k{b}_k=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{B}_k(a_{k+1}-a_k)$

Bemerkung:

$b_k=(-1{)}^k,B_k=\{\begin{array}{c}1k\text{gerade}\\ 0k\text{ungerade}\end{array}$

Beweis: "abelsche partielle Summation"

$\begin{array}{ccc}\sum _{k=m-1}^n{a}_k{b}_k& =& \sum _{k=m+1}^n{a}_k(B_k-B_{k-1})\\ & =& \sum _{k=m+1}^n{a}_k{B}_k-\sum _{j=m}^{n-1}{a}_{j+1}{B}_j& k-1=j\\ & =& a_n{B}_n-a_{m+1}{B}_m+\sum _{k=m+1}^{n-1}{a}_k{B}_k-\sum _{k=m+1}^{n-1}{a}_{k+1}{B}_k\\ & =& a_n{B}_n-a_{m+1}{B}_m+\sum _{k=m+1}^{n-1}(a_k-a_{k+1})B_k\end{array}$

Konvergenz:

$\left|B_k\right|\le B(k\in {\mathbb{N}}_0)$

$\left|\sum _{k=m+1}^n{a}_k{b}_k\right|\le \underset{\le 0}{\underbrace{a_{n}B}}+\underset{\le 0}{\underbrace{a_{m+1}}}+\sum _{k=m+1}^{n-1}\underset{\ge 0}{\underbrace{a_n-a_{n+1}}}B=B(a_n+a_{m+1}+a_{m+a}-a_n)=2B_{am+1}$

zu $ϵ>0\mathrm{\exists }{n}_0:a_{m+1}\le ϵ/B(m\ge n_0)$

d.h. $\left|\sum _{k=m+1}^n{a}_k{b}_k\right|<ϵ/B(n>m\ge n_0)$ d.h. CK erfüllt

Reihenwert

$(m=-1,B_{-1}=0)$

$\sum _{k=0}^n{a}_k{b}_k=a_n{B}_n-a_0{B}_{-1}+\sum _{k=0}^{n-1}(a_k-a_{k+1})B_k$

$n\to \mathrm{\infty }:\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k{b}_k=0-0+\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(a_k-a_{k+1})B_k$

$\begin{array}{ccc}\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{k\cdot 1}}{k}& =& 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+...-...\\ & =& 1-\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{6}-\frac{1}{8}+\frac{1}{5}-\frac{1}{10}-\frac{1}{12}-\frac{1}{7}-\frac{1}{14}-\frac{1}{16}+...+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{4n-2}-\frac{1}{4n}+...\end{array}$

$\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{4n-2}-\frac{1}{4n}=\frac{1}{4n-2}-\frac{1}{4n}=\frac{1}{2}(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n})$

$S_{3n}=\frac{1}{2}\sum _{k=1}^n(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k}$

$=\frac{1}{2}(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}...+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n})$

$=\frac{1}{2}\sum _{j=1}^n(-1{)}^{-1}\frac{1}{j}n\to \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{S}_{3n}$

$=\frac{1}{2}\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k}{k}$

$=\frac{1}{2}s$

$S_{3n-1}=S_{3n}+\frac{1}{2n+1}\to \frac{1}{2}s$

$S_{3n-2}=S_{3n+1}+\frac{1}{4n+2}\to \frac{1}{2}s$

Siehe auch

Kriterium von Abel

Kriterium von Dirichlet