Kurs:Analysis 1 (TU Dortmund)/§3 Teilfolgen

3.1. Teilfolgen und Häufungswerte

Eine Indexfolge ($n_k$) ist eine streng monoton wachsende Folge in $\mathbb{N}$ (z.B. $n_k=k^2,N_k=2^k$).

Ist ($a_n$) eine reelle Folge und ($x_k$) eine Indexfolge, dann heisst die Folge ($a_{n_k}$) eine Teilfolge von ($a_n$ ).

$a\in ℝ$ heisst Häufungswert von ($a_n$), wenn es eine Teilfolge ($a_{n_k}$) gibt mit $a_{n_k}\to a(k\to \mathrm{\infty })$

Beispiel: $a_n=(-1{)}^n=...-1,1,-1,1$

$a_{2_k}=1\to 1$

$a_{2_{k-1}}=-1\to -1$

Beispiel: $a_n=\sqrt[n]{2^n+3^{n(-1{)}^n}}$

$a_{2_n}=\sqrt[2n]{2^{2n}+3^{2n}}=\sqrt[2n]{3^{2n}(1+(\frac{2}{3}{)}^{2n})}=3*\underset{\to 1}{\underbrace{\underset{\to 1}{\sqrt[2n]{\underbrace{1+(\frac{2}{3}{)}^{2n}}}}}}\to 3$

$a_{2n+1}=\sqrt[2n+1]{2^{2n+1}+3^{-(2n-1)}}=2*\sqrt[2n+1]{1+{\frac{1}{6}}^{2n-1}}\to 2$

3.2. Satz von Bolzano-Weierstrass

Jede beschränkte Folge hat eine konvergente Teilfolge.