Kurs:Analysis 1 (TU Dortmund)/§1 Grenzwert

1.1 Grenzwert

Definition:

$f$ hat in $x_0$ den Limes oder auch Grenzwert $c\in ℝ$ , kurz $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=c$ oder $x\to x_0:f(x)\to c$, wenn es zu jedem $ϵ>0$ ein $\delta >0$ gibt mit $|f(x)-c|<ϵ$ für alle $x\in I$ mit $0<|x-x_0|<\delta$

Geometrisch

(hier fehlt eine Zeichnung)

Achtung: selbst wenn $f(x_0)$ definiert ist, wird es nicht berücksichtigt.

1.2 Folgenkriterium

$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)$ existiert genau dann, wenn für jede Folge $(X_n)\in I\mathrm{\setminus }\{x_0\}$ mit $x_n\to x_0(n\to \mathrm{\infty })$ der Grenzwert $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(x_n)$ existiert.

Dann sind alle Grenzwerte gleich.

Beweis

"$\Rightarrow$" Sei $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=c$

Sei $(x_n)$ Folge wie oben

Sei $ϵ>0$ , dazu existiert $\delta >0$ mit:

$|f(x)-c|<ϵ$ für $x\in I,0<|x-x_0|<\delta$ zu $\delta >0$ existiert $n_0$ mit: $|x_n-x_0|<\delta (n\ge n_0)$ also $|f(x_n)-c|<ϵ(n\ge n_0)$

$\Rightarrow \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(x_n)=c$

"$\Leftarrow$" Sei $x_n\to x_0$ , $f(x_n)\to c(n\to \mathrm{\infty })$

Annahme:

$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)$ existiert nicht

Was heißt das? Es gibt ein $ϵ>0$, so dass für jedes $\delta <0$ , z.B. $\delta =\frac{1}{n}$ , es ein ${\xi }_n\in I\mathrm{\setminus }\{x_0\}$ mit $|f({\xi }_n)-c|\ge ϵ$.

Mischfolge: $(x_1,{\xi }_1,x_2,{\xi }_2,...)=(y_1,y_2,y_3,y_4,...)$ Folge in $I\mathrm{\setminus }\{x_0\}$, konvergent gegen $x_0$. Nach Voraussetzung existiert $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(x_n)$

$\Rightarrow \underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{f({\xi }_k}{\underbrace{f(y_{2k}}}=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{f({\xi }_k)}{\underbrace{f(y_{2k-1})}}=c$

$|f({\xi }_k)-c|\ge ϵ$

Widerspruch !

Beispiel

$\underset{x\to 2}{\lim }{x}^2=4$

$ϵ>0:|x^2-4|<ϵ$ für $|x-2|<\delta$

$|x^2-4|=|(x-2)(x+2)|=|x-2|(|x|+2)$

Sei $|x-2|<1:|x|<2+1=3$

$|x^2-4|<5|x-2|$ für $|x-2|<1$

$|x^2-4|<ϵ$ für $|x-2|<\delta =\frac{3}{5}$

1.3 Grenzwertregeln

Gegeben $f,g,h:I\mathrm{\setminus }\{x_0\}\to ℝ$ mit $f(x)\to a,g(x)\to b(x\to x_0)$ sowie $\lambda \in ℝ$. Dann gelten

(a) $f(x)+g(x)\to a+b$

(b) $\lambda f(x)\to \lambda a$

(c) $f(x)g(x)\to ab$

(d) $|f(x)|\to |a|$

(e) $f(x)\le g(x)(x\in I\mathrm{\setminus }\{x_0\})\Rightarrow a\le b$

(f) $b=0\Rightarrow g(x)=0I,0<|x-x_0|<\sigma$ und $\frac{f(x)}{g(x)}\to \frac{a}{b}(x\to x_0)$

(g) $f(x)\le h(x)\le g(x)$ und $a=b\Rightarrow \underset{x\to x_0}{\lim }h(x)=a=b$

Beweis

Folgenkriterium

Bemerkung zu $(f)$: Sei z.B. $b<0$

wähle $ϵ=0$, dazu $\sigma >0$ mit $|g(x)-b|<b$ für $0<|x-x_0|<\sigma$

$g(x)=b+(g(x)-b)\ge b-|g(x)-b|>0$

Beispiele

(1) Polynome $P(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+...+a_n{x}^n$

$=\sum _{\nu =0}^n{a}_{\nu }{x}^{\nu }$

$\underset{\nu =0}{\lim }P(x)=P(x_0)$

Induktion

$P(x)=a_0$

$P(x)=x($"$\delta =ϵ$"$)$

$P(x)=a_{1}x$

$P(x)=x^2=xx$

$\ddots$

$P(x)=(a_0+...+a_{n-1}{x}^{n-1})+a_n{x}^n$

$x^n=x{x}^{n-1}$

(2) Rationale Funktionen

$R(x)=\frac{R(x)}{Q(x)}(\text{wo}Q(x)=0)$

$\underset{x\to x_0}{\lim }R(x)=R(x_0)($ falls $\mathbb{Q}(x_0)=0)$

(3) $f(x)=\sqrt{x}(I=[o,\mathrm{\infty }))$

$\sqrt{x}\to \sqrt{x_0}(x\to x_0)$

$x_n\to x_0,x_n\ge 0\Rightarrow \sqrt{x_n}\to \sqrt{x_0}$

oder

$|\sqrt{x}-\sqrt{x_0}|=\left|\frac{x-x_0}{\sqrt{x}+\sqrt{x_0}}\right|\le \frac{|x-x_0|}{\sqrt{x_0}}<ϵ(|x-x_0|<\sqrt{x_0}ϵ=\delta$

hier fehlt noch einiges ....