Kurs:Analysis 1 (TU Dortmund)/§1 Der Körper der reellen Zahlen

§ Der Körper der Reellen Zahlen

• Siehe auch: Körper (Algebra)

Auf $ℝ$ sind Addition + und Multiplikation $\cdot$ erklärt mit folgenden Eigenschaften:

Körpertheorie (Algebra)/Körper/Definition/Variante 3

Statt

$x+(-y)$ schreibe $x-y$

$x\cdot y^{-1}$ schreibe $\frac{x}{y}$ oder $x/y$

$x\cdot y$ schreibe $xy$

Anordnungsaxiome

Es gibt eine Menge $P\subseteq ℝ$ mit: für alle $x\in ℝ$ gilt:

entweder $x\in P$

oder $-x\in P$

oder $x=o$

und

(i)

$x,y\in P\Rightarrow x+y\in P$

(ii)

$x,y\in P\Rightarrow xy\in P$

$x>0$ (größer) für $x\in P$

$x<0$ (kleiner) für $-x\in P$

Exemplarischer Beweis: Warum ist 1 > 0?

Fallunterscheidung: Fall 1: $1\in P$ Korrekt Fall 2: $(-1)\in P\Rightarrow 1\in (-1)\cdot (-1)\in P$ Widerspruch

$x<y\iff y-x>0$

Regeln

Für das folgende gilt: $t,x,y,z\in ℝ$

• (a) $x<y$ und $y<z\Rightarrow x<z$
• (b) $x<y\Rightarrow x+z<y+z$
• (c) $x<y\vee z<0\Rightarrow xz<yz$
• (d) $x=0\Rightarrow x^2>0$
• (e) $x<y$ und $0<t<1\Rightarrow x<tx+(1-t)y<y$ insbesondere $(t=\frac{1}{2}),x<\frac{x+y}{2}<y$
• (f) $0<x<y\Rightarrow \frac{1}{y}<\frac{1}{x}$

Beweise

• (a) $z-x=\underset{>0}{\underbrace{(z-y)}}+\underset{>0}{\underbrace{(y-x)}}>0$
• (b) $(z+y)-(z+x)=y-x>0$
• (c) $yz-xz=\underset{>0}{\underbrace{(y-x)}}z>0$

$xz-yz=(x-y)z=\underset{>0}{\underbrace{(y-x)}}(-z)>0$

• (d) wie bei $x=1$
• (e) $y-(tx+(1-t)y)=ty-tx=\underset{>0}{\underbrace{t}}\underset{>0}{\underbrace{(y-x)}}>0$
• (f) $\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{y-x}{xy}=\underset{>0}{\underbrace{(y-x)}}\underset{>0}{\underbrace{\frac{1}{xy}}}$

zz: $t>0\Rightarrow \frac{1}{t}>0$

Annahme:$\frac{1}{t}<0\Rightarrow \frac{-1}{t}>0$

$\Rightarrow \frac{-1}{t}t=-1<0$ Widerspruch!

Absolutbetrag

$x\in ℝ$

• $|x|=\{\begin{array}{c}x,x>0\\ 0,x=0\\ -x,x<0\end{array}$

heißt Betragsfunktion.

• $sign(x)=\{\begin{array}{c}1,x>0\\ 0,x=0\\ -1,x<0\end{array}$

$x\cdot sign(x)=|x|$

$|x|\cdot sign(x)=x$

Eigenschaften

• (a) $|xy|=|x||y|$
• (b) $|x|>0(x=0),|0|=0$
• (c) $x\le |x|,-x\le |x|$
• (d) $|x|<ϵ\iff -ϵ<x<ϵ$

Dreiecksungleichung

Für $x,y\in ℝ$ gilt: $|x+y|\le |x|+|y|$ und $||x|-|y||\le |x-y|$

und "=" genau dann, wenn $xy\ge 0$

Beweis

• $\pm x\le |x|$

$\pm y\le |y|$

$\Rightarrow \pm (x+y)\le |x|+|y|\Rightarrow |x+y|\le |x|+|y|$

• $|x|=|x-y+y|\le |x-y|+|y|$

$\iff |x|-|y|\le |x-y|$

$\pm (|x|+|y|)\le |x-y|\Rightarrow ||x|-|y||\le |x-y|$

Intervalle (a<b)

$[a,b]=\{x\in ℝ:a\le x\le b\}$

$[a,b)=\{x\in ℝ:a\le x<b\}$

$(a,b)=\{x\in ℝ:a<x<b\}$