Kompaktheitssatz von Riesz

Einführung

Der Kompaktheitssatz von Riesz ist ein w:de:Lehrsatz Lehrsatz, welcher dem [[w:de:Teilgebiete_der_Mathematik|mathematischen Teilgebiet]| der Funktionalanalysis zuzurechnen ist. Er geht zurück auf den ungarischen Mathematiker Friedrich Riesz und gibt eine w:de:Charakterisierung Charakterisierung derjenigen normierten $𝕂$ -Vektorräume ( $𝕂 = ℝ$ oder $𝕂 = ℂ$ ), welche endlich dimensional sind.^[1]^[2]

Der Satz lässt sich wie folgt formulieren:^[1]

Kompaktheitssatz von Riesz

Ein normierter Vektorraum $(X, ‖ \cdot ‖)$ ist dann und nur dann endlichdimensional, wenn die abgeschlossene Einheitskugel in $X$ ein kompakter topologischer Unterraum ist.

B_{1}^{‖ \cdot ‖} (0_{X}) kompakt ⟺ d i m (X) = n < \infty

Beweis

Die Äquivalenzaussage wird durch zwei Implikationen nachgewiesen (Beweis Teil 1 und 2).

Beweis Teil 1

( " $\Rightarrow$ ") Wenn ein normierter Vektorraum $(X, ‖ \cdot ‖)$ endlichdimensional mit $d i m (X) = n < \infty$ ist, dann kann man einen linearen Homöomorphismus $Φ$ von $X$ nach $𝕂^{n}$ definieren. In $𝕂^{n}$ sind beschränkte und abgeschlossene Mengen kompakt (Bolzano-Weierstraß verallgemeinert auf den $𝕂^{n}$ ).

Beweis Teil 1.1

Durch die Nutzung der Stetigkeit von $Φ^{- 1}$ sind offene Überdeckungen der abgeschlossenen Einheitskugel in $X$ auch offene Überdeckungen vom Bild der Einheitskugel in $𝕂^{n}$ . Das Bild der Einheitskugel im $𝕂^{n}$ ist abgeschlossen und beschränkt im $𝕂^{n}$ und daher kompakt.

Beweis Teil 1.2

Die existierende endliche offene Teilüberdeckung vom Bild erzeugt mit $Φ^{- 1}$ auch eine endliche Teilüberdeckung von der Einheitskugel. Da die offene Überdeckung der Einheitskugel beliebig gewählt wurde ist die abgeschlossene Einheitskugel in $X$ kompakt. Im Beweis geht ein, dass bei stetigen Abbildungen $f : D \to W$ Urbilder offener Mengen in W wieder offen in D sind.

Beweis Teil 2

( " $\Leftarrow$ ") Für die Umkehrung beweisen wir die Kontraposition von

B_{1}^{‖ \cdot ‖} kompakt \Rightarrow d i m (X) = n < \infty

also Aussage:

d i m (X) = \infty \Rightarrow B_{1}^{‖ \cdot ‖} (0_{X}) nicht kompakt

Beweis Teil 2.1

Die Voraussetzung $d i m (X) = \infty$ geht in den Beweis der Kontroposition ein, indem eine unendliche Folge $(U_{k})_{k \in ℕ}$ von abgeschlossenen Untervektorräumen $U_{k} \subset X$ . Zu dieser Folge von abgeschlossenen Untervektorräumen konstruiert man mit dem Lemma von Riesz eine Folge von $(z_{k})_{k \in ℕ}$ mit der Eigenschaft $‖ z_{k} ‖ = 1$ und $d i s t (z_{k + 1}, U_{k}) > δ : = \frac{1}{2}$ für alle $k \in ℕ$ .

Beweis Teil 2.2

Man definiert die Folge induktiv. Da $X$ unendlichdimensional ist, gibt es mindestens einen von Nullvektor verschiedenes Element in $X$ . Diese Element normieren auf die Länge 1 und wählen den von $z_{1} \in X$ aufgespannten Untervektorraum als $U_{1} : = S p a n (z_{1})$ mit $‖ z_{1} ‖ = 1$ . Da liegt $z_{1}$ auf dem Rand der Einheitskugel in $X$ .

Beweis Teil 2.3

Zu diesem abgeschlossenen $U_{1}$ gibt es nach dem Lemma von Riesz ein $z_{2} \in X$ , mit $‖ z_{2} ‖ = 1$ und $d i s t (z_{2}, U_{1}) > δ : = \frac{1}{2}$ . Setze nun als $U_{2} : = S p a n (z_{1}, z_{2})$ .

Beweis Teil 2.4

Wir setzen die Konstruktion der Folge in $X$ induktiv fort. Ist nun $U_{k} : = S p a n (z_{1}, \dots z_{k})$ gegeben, wählt man mit dem Lemma von Riesz ein $z_{k + 1} \in X$ , mit $‖ z_{k + 1} ‖ = 1$ und $d i s t (z_{k + 1}, U_{k}) > δ : = \frac{1}{2}$ .

Beweis Teil 2.5

Damit haben wir eine Folge in der abgeschlossenen Einheitskugel $\overline{B_{1}^{‖ \cdot ‖} (0_{X})} : = {v \in X : ‖ v ‖ \leq 1}$ konstruiert, mit

z_{1}, \dots z_{k} \in U_{k} \cup \overline{B_{1}^{‖ \cdot ‖} (0_{X})}

und

‖ z_{k} - z_{m} ‖ \geq δ

für alle

m < k

. Nach Konstruktion kann diese Folge keine konvergente Teilfolge besitzen.

Beweis Teil 2.6

Denn falls eine konvergente Teilfolge $(z_{k_{i}})_{i \in ℕ}$ von $(z_{k})_{k \in ℕ}$ existiert, ist diese konvergente Folge auch eine Cauchyfolge und es gilt immer noch $d i s t (z_{k_{i}}, U_{k_{i}}) > δ : = \frac{1}{2}$ und $‖ z_{k_{i}} - z_{m} ‖ \geq δ$ . Dies widerspricht aber den Eigenschaften einer Cauchyfolge z.B. mit $ε = \frac{1}{4}$ .

q . e . d .

Aufgabe

Notieren Sie die Definition der Cauchy-Eigenschaft für Folgen und erläutern Sie kurz, warum der Beweisteil 2.6 die Negation dieser Cauchy-Eigenschaft liefert.
Betrachten Sie den Vektorraum der stetigen Funktionen $V : = 𝒞 ([a, b], ℝ)$ mit der folgenden Norm:

‖ f ‖ : = \int_{a}^{b} | f (x) | d x

Konstruieren Sie eine Funktionenfolge

(f_{k})_{k \in ℕ} \in V^{ℕ}

, die die Eigenschaften vom Beweiteil 2 erfüllt, d.h.

‖ f_{k} - f_{m} ‖ \geq δ = \frac{1}{2}

und

‖ f_{k} ‖ = 1

für alle

k, m \in ℕ

und

k = m

.

Alternative Formulierung

Dabei kann der Satz gleichwertig auch wie folgt formuliert werden:^[2]

Ein normierter Vektorraum $X$ ist genau dann von endlicher Dimension, wenn in $X$ jede beschränkte Folge eine konvergente Teilfolge besitzt.

In der Herleitung des Satzes lässt sich der wesentliche Beweisschritt auf das Lemma von Riesz stützen.^[1]

Schärfere Version

Zum Rieszschen Kompaktheitssatz gibt es die folgende schärfere Version, welche in der Monographie von Lutz Führer zu finden ist^[3]

Separierter topologische Räume

Sei $X$ ein separierter topologischer Vektorraum. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:

(1) $X$ ist ein endlichdimensionaler $ℝ$ -Vektorraum.
(2) $X$ ist homöomorph zu einem $ℝ^{n} (n \in ℕ_{0})$ .
(3) $X$ ist lokalkompakt.

Anmerkung

In der Einleitung und im Anhang der Monographie von Jürgen Appell und Martin Väth findet sich eine umfassende Liste von äquivalenten Bedingungen für die „Endlichdimensionalität“ normierter Räume.^[4]

Literatur

Jürgen Appell, Martin Väth: Elemente der Funktionalanalysis. Vektorräume, Operatoren und Fixpunktsätze. Vieweg Verlag, Wiesbaden 2005, ISBN 3-528-03222-7 (MR2371701).
Lutz Führer: Allgemeine Topologie mit Anwendungen. Vieweg Verlag, Braunschweig 1977, ISBN 3-528-03059-3.
Guido Walz [Red.]: Lexikon der Mathematik in sechs Bänden. Band 4. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg / Berlin 2002, ISBN 3-8274-0436-3.

Einzelnachweise und Anmerkungen

↑ ^1,0 ^1,1 ^1,2 Appell, Väth: Elemente der Funktionalanalysis. 2005, S. 38–41
↑ ^2,0 ^2,1 Lexikon der Mathematik. Band 4. 2002, S. 424.
↑ Führer: Allgemeine Topologie mit Anwendungen. 1977, S. 116–117.
↑ Jürgen Appell, Martin Väth: Elemente der Funktionalanalysis. Vektorräume, Operatoren und Fixpunktsätze. Vieweg Verlag, Wiesbaden 2005, ISBN 3-528-03222-7 (MR2371701)

Siehe auch

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[Appell-Väth-1] 1,0 ^1,1 ^1,2 Appell, Väth: Elemente der Funktionalanalysis. 2005, S. 38–41

[Lexikon-2] 2,0 ^2,1 Lexikon der Mathematik. Band 4. 2002, S. 424.

[Führer-3] Führer: Allgemeine Topologie mit Anwendungen. 1977, S. 116–117.

[4] Jürgen Appell, Martin Väth: Elemente der Funktionalanalysis. Vektorräume, Operatoren und Fixpunktsätze. Vieweg Verlag, Wiesbaden 2005, ISBN 3-528-03222-7 (MR2371701)

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[2]

[3]

[4]

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