Kommutative Ringtheorie/Ideale/Radikal ist Durchschnitt von Primidealen/Aufgabe/Lösung

Sei $𝒶\subset R$ ein Radikal, dann ist $𝒶=\sqrt{𝒶}$. Beizeichne $Nil(𝒶)$ das Nilradikal, also das Ideal, welches alle nilpotenten Elemente enthält, dann folgt aus Kommutative Ringtheorie/Ideale/Radikal und reduzierter Restklassenring/Aufgabe/Lösung, dass $\sqrt{𝒶}=Nil(R/𝒶)$. Es gilt aber $Nil(R/𝒶)=\bigcap _{𝓅\subset R/𝒶\text{ prime}}𝓅=\bigcap _{𝒶\subset 𝓅\subset R\text{ prime}}𝓅$. Also ist $𝒶=\bigcap _{𝒶\subset 𝓅\subset R\text{ prime}}𝓅$.