Kommutative Ringtheorie/Euklidischer Bereich/Euklidischer Bereich Definition Alternative

Ein euklidischer Bereich (oder euklidischer Ring) ist ein Integritätsbereich $R$, für den eine Abbildung $\delta :R-\{0\}\to \mathbb{N}$ existiert, die die beiden folgenden Eigenschaften erfüllt:

1. Für Elemente $a,b\ne 0$ mit $a|b$ gilt $\delta (a)\le \delta (b)$.
2. Für Elemente $a,b$ mit $b\ne 0$ gibt es $q,r\in R$ mit

$a=qb+r\text{ und }r=0\text{ oder }\delta (r)<\delta (b).$