Hauptidealbereich/Irreduzibel ist prim/Fakt/Beweis2

Ein Primelement in einem Integritätsbereich ist nach dem Lemma stets irreduzibel. Sei also umgekehrt $p$ irreduzibel, und nehmen wir an, dass $p$ das Produkt $ab$ teilt, sagen wir $pc=ab$. Nehmen wir an, dass $a$ kein Vielfaches von $p$ ist. Dann sind aber $a$ und $p$ teilerfremd, da eine echte Inklusionskette $(p)\subset (p,a)=(d)\subset R$ der Irreduzibilität von $p$ widerspricht. Also gibt es Elemente $r,s\in R$ mit $rp+sa=1$. Damit ist

$b=b1=b(rp+sa)=brp+bsa=brp+spc=p(br+sc)$

und der zweite Faktor $b$ ist ein Vielfaches von $p$.