Fermat-Zahlen/Paarweise teilerfremd/Fakt/Beweis2

Sei $m>n$. Es ist unter Nutzung der geometrischen Summenformel

$F_m-2=2^{2^m}-1=(2^{2^n}{)}^{2^{m-n}}-1=-(2^{2^n}+1)\sum _{k=0}^{2^{m-n}-1}(2^{2^n}{)}^k=-F_n\cdot \sum _{k=0}^{2^{m-n}-1}(2^{2^n}{)}^k$.

Sei $d$ ein gemeinsamer Teiler von $F_m$ und $F_n$. Mit der gezeigten Formel folgt wegen $d\mid F_n$ auch $d\mid F_m-2$. Es folgt $d\mid F_m-(F_m-2)=2$. Da jede Fermatzahl ungerade ist, muss $d$ ungerade sein, also letztlich $d=1$.