Exponentialreihe/Konvergiert nicht gleichmäßig/Aufgabe/2/Lösung

Wähle $ϵ=1$, $N\in \mathbb{N}$ beliebig, und $n\in \mathbb{N}\wedge n\ge N$ mit $ℝ\ni x=\sqrt[n+1]{2(n+1)!}$ .

$\Rightarrow x>0\Rightarrow \sum _{\text{k=0}}^n\frac{x^k}{k!}>0$ und streng monoton wachsend.

$\Rightarrow |$exp$(x)-\sum _{\text{k=0}}^n\frac{x^k}{k!}|=\sum _{\text{k=0}}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^k}{k!}-\sum _{\text{k=0}}^n\frac{x^k}{k!}=\sum _{\text{k=n+1}}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^k}{k!}>\sum _{\text{k=n+1}}^{n+1}\frac{x^k}{k!}$ =

$=\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}=\frac{{\sqrt[n+1]{(2(n+1)!))}}^{n+1}}{(n+1)!}=\frac{2(n+1)!}{(n+1)!}=2>ϵ$

$\Rightarrow$ Die Exponentialreihe konvergiert nicht gleichmäßig auf ganz $ℝ$ $\Rightarrow$ Die Exponentialreihe konvergiert nicht gleichmäßig auf ganz $ℂ$.