Endlicher Körper/8/Operationstafeln

Wir nehmen die Darstellung

${𝔽}_8\cong {𝔽}_2[X]/(X^3+X+1)$.

Dabei ist $X^3+X+1$ irreduzibel in ${𝔽}_2[X]$, da es keine Nullstelle in ${𝔽}_2$ besitzt ($0^3+0+1=1$ und $1^3+1+1=1$, also beide $\ne 0$). Es bezeichne $x$ die Restklasse von $X$.

$+$	$0$	$1$	$x$	$1+x$	$x^2$	$1+x^2$	$x+x^2$	$1+x+x^2$
$0$	$0$	$1$	$x$	$1+x$	$x^2$	$1+x^2$	$x+x^2$	$1+x+x^2$
$1$	$1$	$0$	$1+x$	$x$	$1+x^2$	$x^2$	$1+x+x^2$	$x+x^2$
$x$	$x$	$1+x$	$0$	$1$	$x+x^2$	$1+x+x^2$	$x^2$	$1+x^2$
$1+x$	$1+x$	$x$	$1$	$0$	$1+x+x^2$	$x+x^2$	$1+x^2$	$x^2$
$x^2$	$x^2$	$1+x^2$	$x+x^2$	$1+x+x^2$	$0$	$1$	$x$	$1+x$
$1+x^2$	$1+x^2$	$x^2$	$1+x+x^2$	$x+x^2$	$1$	$0$	$1+x$	$x$
$x+x^2$	$x+x^2$	$1+x+x^2$	$x^2$	$1+x^2$	$x$	$1+x$	$0$	$1$
$1+x+x^2$	$1+x+x^2$	$x+x^2$	$1+x^2$	$x^2$	$1+x$	$x$	$1$	$0$

$\cdot$	$0$	$1$	$x$	$1+x$	$x^2$	$1+x^2$	$x+x^2$	$1+x+x^2$
$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
$1$	$0$	$1$	$x$	$1+x$	$x^2$	$1+x^2$	$x+x^2$	$1+x+x^2$
$x$	$0$	$x$	$x^2$	$x+x^2$	$1+x$	$1$	$1+x+x^2$	$1+x^2$
$1+x$	$0$	$1+x$	$x+x^2$	$1+x^2$	$1+x+x^2$	$x^2$	$1$	$x$
$x^2$	$0$	$x^2$	$1+x$	$1+x+x^2$	$x+x^2$	$x$	$1+x^2$	$1$
$1+x^2$	$0$	$1+x^2$	$1$	$x^2$	$x$	$1+x+x^2$	$1+x$	$x+x^2$
$x+x^2$	$0$	$x+x^2$	$1+x+x^2$	$1$	$1+x^2$	$1+x$	$x$	$x^2$
$1+x+x^2$	$0$	$1+x+x^2$	$1+x^2$	$x$	$1$	$x+x^2$	$x^2$	$1+x$