Befreundete Zahlen/Regel von Thabit/Fakt/Beweis2

Wir berechnen $\sigma (m)$, $\sigma (n)$ und $m+n$. Es ist

$\begin{array}{cc}\sigma (m)& =\sigma (2^{k}ab)\\ & =\sum _{i=0}^k(2^i+2^{i}a+2^{i}b+2^{i}ab)\\ & =(2^{k+1}-1)(1+a+b+ab)\\ & =(2^{k+1}-1)(3\cdot 2^{k-1}+3\cdot 2^k-1+(3\cdot 2^{k-1}-1)(3\cdot 2^k-1))\\ & =(2^{k+1}-1)(3\cdot 2^{k-1}+3\cdot 2^k-1+9\cdot 2^{2k-1}-3\cdot 2^k-3\cdot 2^{k-1}+1)\\ & =(2^{k+1}-1)(9\cdot 2^{2k-1})\\ & =2^k(2^{k+1}-1)\cdot 9\cdot 2^{k-1}.\end{array}$

Weiter ist

$\begin{array}{cc}\sigma (n)& =\sigma (2^{k}c)\\ & =\sum _{i=0}^k(2^i+2^{i}c)\\ & =(2^{k+1}-1)(1+c)\\ & =(2^{k+1}-1)9\cdot 2^{2k-1}.\end{array}$

Schließlich ist

$\begin{array}{cc}m+n& =2^k(ab+c)\\ & =2^k((3\cdot 2^{k-1}-1)(3\cdot 2^k-1)+9\cdot 2^{2k-1}-1)\\ & =2^k(9\cdot 2^{2k-1}-3\cdot 2^{k-1}-3\cdot 2^k+9\cdot 2^{2k-1})\\ & =2^k(9\cdot 2^{2k}-9\cdot 2^{k-1})\\ & =2^k{2}^{k-1}\cdot 9(2^{k+1}-1).\end{array}$