Kurs:Funktionentheorie/Satz von Liouville

Der Satz von Liouville ist eine Aussage über holomorphe Funktionen, deren Definitionsbereich die ganze komplexe Ebene $ℂ$ ist.

Aussage

Sei $f:ℂ\to ℂ$ holomorph und beschränkt. Dann ist $f$ konstant.

Beweis

Man stellt die Ableitung $f^{\prime }$ der Funktion $f:ℂ\to ℂ$ über ein geschlossenes Wegintegral über den Kreisrand der Kreisscheibe mit Radius $R>0$ dar.

Definition des Integrationsweges

Der Integrationsweg ist wie folgt definiert.

$\begin{array}{cccc}\gamma :& [0,2\pi ]& \to & ℂ\\ & t& \mapsto & \gamma (t)=z+R\cdot e^{it}\end{array}$

Der Integrationsweg with im Folgenden mit $\partial B_R(z):=\gamma$ als positiv orientierter Weg über den Rand des Kreises mit Radius $R$ um $z\in ℂ$ bezeichnet.

Betragsmäßige Abschätzung der Ableitung

Man verwendet für jedes $R>0$ und jedes $z\in ℂ$ die Integralformel von Cauchy:

$\begin{array}{cc}|f^{\prime }(z)|& =\left|\frac{1}{2\pi i}\underset{\partial B_R(z)}{\int }\frac{f(w)}{(w-z{)}^2}dw\right|\le \frac{1}{2\pi }\underset{\partial B_R(z)}{\int }\left|\frac{f(w)}{(w-z{)}^2}\right|dw\\ & =\frac{1}{2\pi }\underset{\partial B_R(z)}{\int }\frac{|f(w)|}{\underset{=R^2}{\underbrace{|w-z{|}^2}}}dw=\frac{1}{2\pi }\cdot \frac{1}{R^2}\underset{\partial B_R(z)}{\int }|f(w)|dw\\ & \le \frac{1}{2\pi }\cdot \frac{1}{R^2}\cdot \underset{ℒ(\partial B_R(z))}{\underbrace{2\pi \cdot R}}\cdot \underset{=:M}{\underbrace{\underset{w\in \partial B_R(z)}{\sup }|f(w)|}}\\ & =\frac{M}{R}\to 0,R\to \mathrm{\infty }\end{array}$

also ist $f^{\prime }=0$ und damit $f$ konstant.

Gegenbeispiel - reelle Analysis

Sinus ist eine Funktion definiert auf ganz $ℝ$ und beschränkt, aber nicht konstant.

Siehe auch

• Fundamentalsatz der Algebra
• Kurs:Funktionentheorie
• Integralformel von Cauchy
• Wiki2Reveal

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