Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung

Laurententwicklung um einen Punkt

Es sei $G\subseteq ℂ$ ein Gebiet, $z_0\in G$ und $f:G\setminus \{z_0\}\to ℂ$ eine holomorphe Funktion. Eine Laurententwicklung von $f$ um $z_0$ ist eine Darstellung von $f$ als Laurent-Reihe

$f(z)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{a}_n(z-z_0{)}^n$

mit $a_n\in ℂ$, die auf einer gelochten (d.h. ohne den Mittelpunkt $z_0$) Kreisscheibe um $z_0$ konvergiert.

Laurententwicklung auf einem Kreisring

Etwas allgemeiner als obige Entwicklung ist die folgende: Seien $0\le r_1<r_2$ zwei Radien (die Entwicklung um einen Punkt entspricht $r_1=0$), und sei $A_{r_1,r_2}:=\{z\in ℂ:r_1<|z-z_0|<r_2\}$ ein Kreisring um $z_0$, sei weiterhin $f:A\to ℂ$ eine holomorphe Funktion, dann ist die Laurent-Reihe

$f(z)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{a}_n(z-z_0{)}^n$

mit $a_n\in ℂ$ eine Laurententwicklung von $f$ auf $A_{r_1,r_2}$, wenn die Reihe für alle $z\in A_{r_1,r_2}$ konvergiert.

Existenz

Jede auf $A_{r_1,r_2}$ holomorphe Funktion besitzt eine Laurententwicklung um $z_0$, die Koeffizienten $a_n$ aus obiger Darstellung sind durch

$a_n=\frac{1}{2\pi i}\underset{|z-z_0|=r}{\int }\frac{f(z)}{(z-z_0{)}^{n+1}}dz$

für einen Radius $r$ mit $r_1<r<r_2$ gegeben.

Eindeutigkeit

Die Koeffizienten sind eindeutig durch

$a_n=\frac{1}{2\pi i}\underset{|z-z_0|=r}{\int }\frac{f(z)}{(z-z_0{)}^{n+1}}dz$

bestimmt.

Beweis von Existenz und Eindeutigkeit einer Laurentdarstellung

Die Eindeutigkeit folgt aus dem Identitätssatz für Laurent-Reihen. Zur Existenz wähle ein $r$ mit $r_1<r<r_2$ und $R_1,R_2$ so dass $r_1<R_1<r<R_2<r_2$. Sei nun $z\in A_{R_1,R_2}$ beliebig. "Schneide" den Kreisring $A_{R_1,R_2}$ an zwei Stellen durch Radien $D_1$ und $D_2$ ein, so dass der Zyklus $\partial K_{R_2}-\partial K_{R_1}$ als Summe zweier geschlossener, in $A$ nullhomotopen Kurven $C_1$ und $C_2$ dargestellt ist. Dabei seien $D_1$ und $D_2$ so gewählt, dass $z$ von $C_1$ umlaufen wird. Nach dem Integralsatz von Cauchy gilt nun

$f(z)=\frac{1}{2\pi i}\underset{C_1}{\int }\frac{f(w)}{w-z}dw$

und

$0=\frac{1}{2\pi i}\underset{C_2}{\int }\frac{f(w)}{w-z}dw$

da $C_2$ den Punkt $z$ nicht umläuft. Also ist wegen $C_1+C_2=\partial K_{R_2}-\partial K_{R_1}$

$f(z)=\frac{1}{2\pi i}\underset{|w-z_0|=R_2}{\int }\frac{f(w)}{w-z}dw-\frac{1}{2\pi i}\underset{|w-z_0|=R_1}{\int }\frac{f(w)}{w-z}dw$

Wir haben für $|w-z_0|=R_2$

$\begin{array}{cc}\frac{1}{w-z}& =\frac{1}{(w-z_0)-(z-z_0)}\\ & =\frac{1}{w-z_0}\cdot \frac{1}{1-\frac{z-z_0}{w-z_0}}\\ & =\frac{1}{w-z_0}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(z-z_0{)}^n}{(w-z_0{)}^n}\end{array}$

Die Reihe konvergiert wegen $|z-z_0|<|w-z_0|$ absolut und wir erhalten

$\begin{array}{cc}\frac{1}{2\pi i}\underset{|w-z_0|=R_2}{\int }\frac{f(w)}{w-z}dw& =\frac{1}{2\pi i}\underset{|w-z_0|=R_2}{\int }\frac{1}{w-z_0}\frac{f(w)(z-z_0{)}^n}{(w-z_0{)}^n}dw\\ & =\frac{1}{2\pi i}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\underset{|w-z_0|=R_2}{\int }\frac{f(w)}{(w-z_0{)}^{n+1}}dw\cdot (z-z_0{)}^n\\ & =\frac{1}{2\pi i}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\underset{|w-z_0|=r}{\int }\frac{f(w)}{(w-z_0{)}^{n+1}}dw\cdot (z-z_0{)}^n\end{array}$

Letzteres gilt, da der Integrand auf $A_{r_1,r_2}$ holomorph ist und die beiden Wege in $A_{r_1,r_2}$ homotop sind. Nun betrachten wir das Integral über den inneren Kreis, es ist zunächst analog zu oben für $|w-z_0|=R_1$

$\begin{array}{cc}\frac{1}{w-z}& =\frac{1}{(w-z_0)-(z-z_0)}\\ & =\frac{-1}{z-z_0}\cdot \frac{1}{1-\frac{w-z_0}{z-z_0}}\\ & =\frac{-1}{z-z_0}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(w-z_0{)}^n}{(z-z_0{)}^n}\end{array}$

damit ergibt sich wegen $R_1=|w-z_0|<|z-z_0|$ die Konvergenz der Reihe und damit

$\begin{array}{cc}-\frac{1}{2\pi i}\underset{|w-z_0|=R_1}{\int }\frac{f(w)}{w-z}dw& =-\frac{1}{2\pi i}\underset{|w-z_0|=R_1}{\int }\frac{-1}{z-z_0}\frac{f(w)(w-z_0{)}^n}{(z-z_0{)}^n}dw\\ & =\frac{1}{2\pi i}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\underset{|w-z_0|=R_1}{\int }\frac{f(w)}{(w-z_0{)}^{-n}}dw\cdot (z-z_0{)}^{-n-1}\\ & =\frac{1}{2\pi i}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\underset{|w-z_0|=r}{\int }\frac{f(w)}{(w-z_0{)}^{-n}}dw\cdot (z-z_0{)}^{-n-1}\\ & =\frac{1}{2\pi i}\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^1\underset{|w-z_0|=r}{\int }\frac{f(w)}{(w-z_0{)}^{n+1}}dw\cdot (z-z_0{)}^n\end{array}$

Zusammen folgt, dass für $z\in A_{R_1,R_2}$

$f(z)=\frac{1}{2\pi i}\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\underset{|w-z_0|=r}{\int }\frac{f(w)}{(w-z_0{)}^{n+1}}dw\cdot (z-z_0{)}^n$

und damit die Existenz der behaupteten Laurententwicklung.

Siehe auch

• Beispiele für die Entwicklung in Laurentreihen
• Wikipedia: Laurentreihe