Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz

Der Residuensatz besagt, wie man das Integral einer holomorphen Funktion mit Hilfe Ihrer Residuen berechnen kann.

Aussage

Es sei $f$ eine auf einem Gebiet $G$ mit Ausnahme einer diskrete Menge von isolierten Singularitäten $S\subseteq G$ holomorphe Funktion und $\mathrm{\Gamma }$ ein in $G$ nullhomologer Zyklus, der keinen Punkt von $S$ trifft. Dann gilt

$\underset{\mathrm{\Gamma }}{\int }f(z)dz=2\pi i\cdot \sum _{z\in S}n(\mathrm{\Gamma },z)\cdot {\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}}_z(f).$

Beweis

Die Summe in der Aussage des Residuensatzes ist endlich, da $\mathrm{\Gamma }$ nur endlich viele Punkte der diskreten Menge $S$ aller Singularitäten umlaufen kann.

Schritt 1 - Reduktion auf endliche Anzahl von Summanden

Seien nun $z_1,\dots ,z_k$ die Punkte in $S$, für die $n(\mathrm{\Gamma },z_i)\ne 0$ gilt. Die Singularitäten aus $S$, die nicht umlaufen werden, werden mit $T:=\{z\in S:n(\mathrm{\Gamma },z)=0\}$.

Schritt 2 - Nullhomologer Zyklus

$\mathrm{\Gamma }$ ist nach Voraussetzung nullhomolog in $G$. Nach der Definition von $T$ ist $\mathrm{\Gamma }$ auch nullhomolog in $G\setminus T$.

Schritt 3 - Hauptteile der Laurent-Entwicklung

Für die Singularitäten $z_i\in S$ mit $\mu (\mathrm{\Gamma },z_i)=0$ und $1\le i\le k$ sei

$h_i(z)=\sum _{j=-1}^{-\mathrm{\infty }}{a}_{ij}(z-z_i{)}^j$

der Hauptteil der Laurententwicklung von $f$ um $z_i$. Es ist $h_i$ eine auf $ℂ\setminus \{z_i\}$ holomorphe Funktion.

Schritt 4 - Subtraktion der Hauptteile

Wenn man alle Hauptteile $h_i$ bzgl. $z_i$ von der gegebenen Funktion $f$ subtrahiert, erhält man mit

$g:=f-\sum _{i=1}^k{h}_i$

eine Funktion auf $G\setminus T$, die jetzt nur noch hebbare Singularitäten besitzt.

Schritt 5 - Holomorphe Fortsetzung auf G

Wenn die Singularitäten $z_i$ hebbar auf $G\setminus T$ sind, lässt sich $g$ holomorph in allen $z_1,\dots ,z_k\in G\setminus T$ fortsetzen.

Schritt 6 - Anwendung Cauchyintegralsatz

Es folgt nach dem Integralsatz von Cauchy für das Integral über $\mathrm{\Gamma }$

$\underset{\mathrm{\Gamma }}{\int }g(z)dz=0$

also ist, nach Definition von $g$,

$\begin{array}{ccc}\underset{\mathrm{\Gamma }}{\int }f(z)dz& =& \underset{\mathrm{\Gamma }}{\int }g(z)dz+\sum _{i=1}^k\underset{\mathrm{\Gamma }}{\int }{h}_i(z)dz\\ & =& \sum _{i=1}^k\underset{\mathrm{\Gamma }}{\int }{h}_i(z)dz.\end{array}$

Schritt 7 - Berechnung der Integrale über die Hauptteile

Die Berechnung des Integrals über $f$ beschränkt sich damit auf die Berechnung der Integrale über die Hauptteile $h_i$ mit $1\le i\le k$. Unter Verwendung der Lineariät des Integrals erhält man zunächst:

$\begin{array}{ccc}\underset{\mathrm{\Gamma }}{\int }{h}_i(z)dz& =& \sum _{j=-\mathrm{\infty }}^{-i}{a}_{ij}\underset{\mathrm{\Gamma }}{\int }(z-z_i{)}^j\end{array}$

Die Funktionsterme $\underset{\mathrm{\Gamma }}{\int }(z-z_i{)}^j$ besitzen für $j\le -2$ eine Stammfunktion und es gilt $\underset{\mathrm{\Gamma }}{\int }(z-z_i{)}^j=0$

Schritt 8 - Berechnung der Integrale über die Hauptteile

Insgesamt ergibt sich damit die Berechnung des Integrals über die Hauptteile mit der Definition der Umlaufzahl.

$\begin{array}{ccc}\underset{\mathrm{\Gamma }}{\int }{h}_i(z)dz& =& \sum _{j=-\mathrm{\infty }}^{-i}{a}_{ij}\underset{\mathrm{\Gamma }}{\int }(z-z_i{)}^j\\ & =& a_{i,-1}\underset{\mathrm{\Gamma }}{\int }(z-z_i{)}^{-1}dz\\ & =& a_{i,-1}\cdot 2\pi \cdot i\cdot n(\mathrm{\Gamma },z_i)\\ & =& 2\pi \cdot i\cdot n(\mathrm{\Gamma },z_i)\cdot {\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}}_{z_i}f\end{array}$

nach .

Schritt 9 - Berechnung der Integrale über die Residuen

Insgesamt folgt die Behauptung mit

$\begin{array}{ccc}\underset{\mathrm{\Gamma }}{\int }f(z)dz& =& \sum _{i=1}^k\underset{\mathrm{\Gamma }}{\int }{h}_i(z)dz\\ & =& 2\pi i\sum _{i=1}^{k}n(\mathrm{\Gamma },z_i){\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}}_{z_i}f\end{array}$

Fragen zum Residuensatz

• Sei $f:G\to \widehat{ℂ}$ eine meromorphe Funktion (d.h. holomorph bis auf eine diskrete Menge von Singularitäten in $G$), Warum umrundet der Zyklus $\mathrm{\Gamma }$ nur endlich viele Pole?

Anwendungen

• Das Null- und Polstellen zählende Integral zählt die Null- und Polstellen einer meromorphen Funktion

Siehe auch

• nullhomolog
• hebbare Singularitäten