Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen

Einleitung

In der folgenden Lerneinheit wird zunächst eine Identifikation der komplexen Zahlen $ℂ$ mit dem zweidimensionalen $ℝ$-Vektorraum ${ℝ}^2$ vorgenommen und die klassischen reellen partiellen Ableitungen und die Jacobi-Matrix betrachtet und eine Beziehung zwischen komplexer Differenzierbarkeit und partiellen Ableitung von Komponentenfunktionen einer Abbildung von ${ℝ}^2$ nach ${ℝ}^2$ betrachtet. Danach werden die Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen mit den Vorüberlegungen bewiesen.

Identifikation der komplexen Zahlen IR²

Sei $R:ℂ\to {ℝ}^2,x+iy\mapsto R(x+iy)=\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$. Da die Abbildung $R$ bijektiv ist, kann man mit der Umkehrabbildung

$R^{-1}:{ℝ}^2\to ℂ,\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)\mapsto R^{-1}\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=x+iy$

Vektoren aus dem ${ℝ}^2$ eineindeutig wieder eine komplexen Zahl zuordnen. Datei:Cauchy Riemann DGL audio0.ogg

Realteil- und Imaginärteilfunktion

Zerlegt man nun eine Funktion $f:U\to ℂ$ mit $f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)$ in ihren Real- und Imaginärteil mit reellen Funktionen $u:U_R\to ℝ$, $v:U_R\to ℝ$ mit $U_R\subset {ℝ}^2$ und $U=\{x+iy\in ℂ|(x,y)\in U_R\}$, so hat die totale Ableitung der Funktion $f_R:U_R\to {ℝ}^2,(x,y)\mapsto \left(\begin{array}{c}u(x,y)\\ v(x,y)\end{array}\right)$ als Darstellungsmatrix die Jacobi-Matrix

$\left(\begin{array}{cc}\frac{\partial u}{\partial x}& \frac{\partial u}{\partial y}\\ \frac{\partial v}{\partial x}& \frac{\partial v}{\partial y}\end{array}\right).$

Datei:Cauchy Riemann DGL audio1.ogg

Aufgabe

Geben Sie für die komplexwertige Funktion $f:ℂ\to ℂ,z\mapsto f(z)=z^3$ die Abbildungen $u,v$ mit $f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)$ konkret an. Datei:Cauchy Riemann DGL Aufgabe audio2.ogg

Auswertung der Jacobimatrix in einem Punkt

Dabei liefert die Auswertung der Jacobimatrix in einem Punkt $(x_o,y_o)\in {ℝ}^2$ die totale Ableitung in dem Punkt $x_o+i{y}_o\in ℂ$

$\left(\begin{array}{cc}\frac{\partial u}{\partial x}(x_o,y_o)& \frac{\partial u}{\partial y}(x_o,y_o)\\ \frac{\partial v}{\partial x}(x_o,y_o)& \frac{\partial v}{\partial y}(x_o,y_o)\end{array}\right)$

Datei:Cauchy Riemann DGL Auswertung Jacobi audio3.ogg

Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen

Eine Funktion $f$ ist in $z_o:=x_o+i{y}_o$ genau dann komplex differenzierbar, wenn sie reell differenzierbar ist und für $u,v$ mit $u:U_R\to ℝ$, $v:U_R\to ℝ$ mit $U_R\subset {ℝ}^2$ die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen

$\frac{\partial u}{\partial x}(x_o,y_o)=\frac{\partial v}{\partial y}(x_o,y_o)$

$\frac{\partial u}{\partial y}(x_o,y_o)=-\frac{\partial v}{\partial x}(x_o,y_o)$

erfüllt sind. Datei:Cauchy Riemann DGL audio4.ogg

Zusammenhang zwischen den partiellen Ableitungen

In dem folgenden Erläuterungen wird die Definition der Differenzierbarkeit in $ℂ$ auf Eigenschaften der partiellen Ableitungen in der Jacobimatrix zurückgeführt.

Teil 1

Wenn der folgende Limes für $f:G\to ℂ$ für $z_o\in G$ mit $G\subset ℂ$ offen existiert

$f^{\prime }(z_o)=\underset{z\to z_o}{\lim }\frac{f(z)-f(z_o)}{z-z_o}$,

bedeutet $\underset{z\to z_o}{\lim }...$, dass für beliebige Folgen $(z_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ Definitionsbereich $G\subset ℂ$ mit $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{z}_n=z_o$ auch

$f^{\prime }(z_o)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{f(z_n)-f(z_o)}{z_n-z_o}$

erfüllt ist. Datei:Cauchy Riemann DGL audio5.ogg

Teil 2

Man betrachtet nun von diesen beliebigen Folgen nur die Folgen für die beiden folgenden Grenzwertprozessen mit $h\in ℝ$:

$f^{\prime }(z_o)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(z_o+h)-f(z_o)}{(z_o+h)-z_o}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(z_o+h)-f(z_o)}{h}$,

$f^{\prime }(z_o)=\underset{ih\to 0}{\lim }\frac{f(z_o+ih)-f(z_o)}{(z_o+ih)-z_o}=\underset{ih\to 0}{\lim }\frac{f(z_o+ih)-f(z_o)}{ih}$,

Datei:Cauchy Riemann DGL audio6.ogg

Teil 3: Grenzwertprozess Realteil

Durch Einsetzen der Komponentenfunktionen für den Realteil und Imaginärteil $u,v$ ergibt sich mit $h\in ℝ$

$f^{\prime }(z_o)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(z_o+h)-f(z_o)}{h}=$

$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{u(x_o+h,y_o)-u(x_o,y_o)}{h}+i\underset{h\to 0}{\lim }\frac{v(x_o+h,y_o)-v(x_o,y_o)}{h}$

$=\frac{\partial u}{\partial x}(x_o,y_o)+i\frac{\partial v}{\partial x}(x_o,y_o)$

Datei:Cauchy Riemann DGL audio7.ogg

Teil 4: Grenzwertprozess Imaginärteil

Bei der Anwendung auf die zweite Gleichung erhält man mit $h\in ℝ$

$f^{\prime }(z_o)=\underset{ih\to 0}{\lim }\frac{f(z_o+ih)-f(z_o)}{ih}$

$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{u(x_o,y_o+h)-u(x_o,y_o)}{ih}+i\underset{h\to 0}{\lim }\frac{v(x_o,y_o+h)-v(x_o,y_o)}{ih}$

$=-i\underset{h\to 0}{\lim }\frac{u(x_o,y_o+h)-u(x_o,y_o)}{h}+\underset{h\to 0}{\lim }\frac{v(x_o,y_o+h)-v(x_o,y_o)}{h}$,

$=-i\frac{\partial u}{\partial y}(x_o,y_o)+\frac{\partial v}{\partial y}(x_o,y_o)$

Datei:Cauchy Riemann DGL audio8.ogg

Bemerkung zu Teil 4

Im ersten Summanden wird der Bruch mit $i$ erweitert und im zweiten Summanden wird das $i$ gekürzt, damit der Nenner reellwertig wird und $h$ entspricht.

Teil 5: Realteil- und Imaginärteilvergleich

Durch Gleichsetzung der Terme von (3) und (4) und Vergleich von Realteil und Imaginärteil erhält man die Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen.

• Realteil: $\frac{\partial u}{\partial x}(x_o,y_o)=\frac{\partial v}{\partial y}(x_o,y_o)$
• Imaginärteil: $\frac{\partial u}{\partial y}(x_o,y_o)=-\frac{\partial v}{\partial x}(x_o,y_o)$

Datei:Cauchy Riemann DGL audio9.ogg

Teil 6: Partielle Ableitung in Richtung Realteil

Die partiellen Ableitungen in ${ℝ}^2$ der Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen können auch in $ℂ$ dargestellt werden mit $f:=\Re 𝔢(f)+i\Im 𝔪(f)$, $\Re 𝔢(f):ℂ\to ℝ$, $\Im 𝔪(f):ℂ\to ℝ$ und $h\in ℝ$.

$\frac{\partial f}{\partial x}(z_o)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(z_o+h)-f(z_o)}{h}\in ℂ$,

$\frac{\partial \Re 𝔢(f)}{\partial x}(z_o)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\Re 𝔢(f)(z_o+h)-\Re 𝔢(f)(z_o)}{h}\in ℝ$,

$\frac{\partial \Im 𝔪(f)}{\partial x}(z_o)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\Im 𝔪(f)(z_o+h)-\Im 𝔪(f)(z_o)}{h}\in ℝ$,

Datei:Cauchy Riemann DGL audio10.ogg

Teil 7: Partielle Ableitung in Richtung Imaginärteil

Die partiellen Ableitungen in ${ℝ}^2$ der Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen können auch in $ℂ$ dargestellt werden mit $f:=\Re 𝔢(f)+i\Im 𝔪(f)$, $\Re 𝔢(f):ℂ\to ℝ$, $\Im 𝔪(f):ℂ\to ℝ$ und $h\in ℝ$.

$\frac{\partial f}{\partial y}(z_o)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(z_o+ih)-f(z_o)}{h}\in ℂ$,

$\frac{\partial \Re 𝔢(f)}{\partial y}(z_o)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\Re 𝔢(f)(z_o+ih)-\Re 𝔢(f)(z_o)}{h}\in ℝ$,

$\frac{\partial \Im 𝔪(f)}{\partial y}(z_o)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\Im 𝔪(f)(z_o+ih)-\Im 𝔪(f)(z_o)}{h}\in ℝ$.

Datei:Cauchy Riemann DGL audio10.ogg

Teil 8: Cauchy-Riemann-DGL für komplexwertige Funktionen

Die partiellen Ableitungen der Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen können auch in $ℂ$ dargestellt werden mit $f:=f_x+i{f}_y$, $f_x:=\Re 𝔢(f)$, $f_y:=\Im 𝔪(f)$:

• Realteil: $\frac{\partial \Re 𝔢(f)}{\partial x}(z_o)=\frac{\partial \Im 𝔪(f)}{\partial y}(z_o)$
• Imaginärteil: $\frac{\partial \Re 𝔢(f)}{\partial y}(z_o)=-\frac{\partial \Im 𝔪(f)}{\partial x}(z_o)$

Theorem - Cauchy Riemann-DGL

Sei $G\subseteq ℂ$ eine offene Teilmenge. Die Funktion $f=u+iv$ komplex differenzierbar in einem Punkt $z=x+iy\in G$. Dann existieren die partiellen Ableitungen von $u$ und $v$ in dem $(x,y)\in {ℝ}^2$ und die folgenden Cauchy-Riemannschen-Diffentialgleichungen gelten: $$\frac{\partial u}{\partial x}(x,y)=\frac{\partial v}{\partial y}(x,y)$$

$$\frac{\partial u}{\partial y}(x,y)=-\frac{\partial v}{\partial x}(x,y)$$

Bemerkung CR-DGL

In diesem Fall kann die Ableitung von $f$ in dem Punkt $z\in ℂ$ auf zwei Arten durch die Komponentenfunktionen $u$ und $v$ dargestellt werden. $$f^{\prime }\left(z\right)=\frac{\partial u}{\partial x}(x,y)-i\frac{\partial u}{\partial y}(x,y)=\frac{\partial v}{\partial y}(x,y)+i\frac{\partial v}{\partial x}(x,y)$$ Im Beweis der Cauchy-Riemann-Differentialgleichung wird der Real- und Imaginärteilvergleich verwendet, um die obigen beiden Gleichungen zu erhalten.

Beweis

In dem Beweis werden zwei Richtungsableitungen betrachtet:

• (DG1) die Ableitung in Richtung des Realteiles und
• (DG2) die Ableitung in Richtung des Imaginärteiles.

Da diese bei komplexer Differenzierbarkeit überstimmen, erhält man über Gleichsetzung und Vergleich von Real- und Imaginärteil die Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen.

Beweisschritt 1 - Ableitung in Richtung des Realteiles

In dem ersten Beweisteil lässt man $h\in ℂ$ in Richtung des Realteiles gegen 0 konvergieren. Dazu wählt man $h:=h_1+i\cdot 0$ mit $h_1\in ℝ$. Die Zerlegung der Funktion $f=u+iv$ in die Realteilfunktion $u$ und $v$ liefert dann (DG1).

Beweisschritt 2 - Berechnung der Ableitung - Realteil

$$\begin{array}{ccc}{f}^{\prime }\left(z\right)& =& \lim {\mathrm{\backslash limits}}_{h\to 0}\frac{f(z+h)-f\left(z\right)}{h}\\ & =& \lim {\mathrm{\backslash limits}}_{h_1\to 0}\frac{u(x+h_1,y)+iv(x+h_1,y)-u(x,y)-iv(x,y)}{h_1}\\ & =& \lim {\mathrm{\backslash limits}}_{h_1\to 0}\frac{u(x+h_1,y)-u(x,y)}{h_1}+i\frac{v(x+h_1,y)-v(x,y)}{h_1}\\ & =& \frac{\partial u}{\partial x}(x,y)+i\frac{\partial v}{\partial x}(x,y)\end{array}$$

Beweisschritt 3 - Ableitung in Richtung des Imaginärteiles

Analog kann man die partielle Ableitung für den Imaginärteil betrachten $h:=0+i\cdot h_2$ mit $h_2\in ℝ$. Dann erhält man die Gleichung (DG2)

Beweisschritt 4 - Berechnung der Ableitung - Imaginärteil

$\begin{array}{ccc}{f}^{\prime }\left(z\right)& =& \lim {\mathrm{\backslash limits}}_{h\to 0}\frac{f(z+h)-f\left(z\right)}{h}\\ & =& \lim {\mathrm{\backslash limits}}_{h_2\to 0}\frac{u(x,y+h_2)+iv(x,y+h_2)-u(x,y)-iv(x,y)}{i\cdot h_2}\\ & =& \lim {\mathrm{\backslash limits}}_{l\to 0}\frac{1}{i}\frac{u(x,y+h_2)-u(x,y)}{h_2}+\frac{v(x,y+h_2)-v(x,y)}{h_2}\\ & =& \frac{\partial v}{\partial y}(x,y)-i\frac{\partial u}{\partial y}(x,y)\end{array}$

Beweisschritt 5 - Gleichsetzung der Ableitungen

Über die Gleichsetzung der beiden Ableitungen kann auch den Realteil und Imaginärteil der beiden Ableitungen (DG1) und (DG2) vergleichen: $$f^{\prime }\left(z\right)=\frac{\partial u}{\partial x}(x,y)+i\frac{\partial v}{\partial x}(x,y)=\frac{\partial v}{\partial y}(x,y)-i\frac{\partial u}{\partial y}(x,y)$$

Beweisschritt 6 - Realteil- und Imaginärteilvergleich

Zwei komplexe Zahlen stimmen genau dann überein, wenn der Real- und Imaginärteile beider komplexen Zahlen übereinstimmen. Damit erhält man die Cauchy-Riemann-Diffentialgleichungen. Die beiden Darstellungsformel folgt aus der obigen Zeile und den Cauchy-Riemann-Gleichungen.

Siehe auch

• Kurs:Funktionentheorie
• Wirtinger Ableitungen bzw. Wirtinger Kalkül
• Maximumprinzip
• Realteilfunktion und Imaginärteilfunktion

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