Projekt:Mathematik ist überall/Rechnen

Vorlage:Spalte rechts Vorlage:Zitat-Rahmen Denn Vorlage:Zitat-Rahmen Bei mehrstelligen Zahlen ist die Anzahl der Wiederholungen proportional zum Quadrat der Stelligkeit. Mag sich ja ganz gut lesen, aber Rechnen ist nervig. Deshalb ist es eine der vornehmsten Aufgaben der Mathematik, das Rechnen möglichst zu vermeiden.

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Ursprung des Rechnens

Wieviele?

Der Begriff des Rechnens lässt sich auf kalkulieren zurückführen. In der englischen Sprache immer noch calculate. Der Ursprung dieses Begriffs geht sehr weit zurück und hat mehr mit moderner Mathematik als dem herkömmlichen Rechnen zu tun.

Mit der Sesshaftigkeit wurde es notwendig, Tiere in Herden zu halten. Die Aufgabe des Hirten bestand darin, die Herde zu pflegen. Dazu war es natürlich erforderlich, stets über die Vollzähligkeit der Tiere informiert zu sein. Ein Zahlbegriff war noch nicht vorhanden und so musste ein anderes Hilfsmittel für die Kontrolle erdacht werden.

Wenn die Tiere zur Nahrungssuche den Pferch verlassen, sammelte der Hirte für jedes Tier einen kleinen Stein in einen Beutel. Nachdem das letzte Tier das Tor passiert hatte, entsprach die Anzahl der Steine im Beutel der Anzahl der Tiere. Wenn abends die Herde wieder in den Pferch zurückkehrte, wurde für jedes eingepferchte Tier ein Stein aus dem Beutel genommen.

Diese Kombination aus Steinen und Beutel ist der Calculus. Der Vergleich von Steinen (aus dem Beutel) und den Tieren (aus der Herde) ist reine Mathematik. Die Steine werden auf die Tiere abgebildet – je nach Tageszeit auch andersrum. Das ist, mathematisch gesehen, die injektive Abbildung und damit eine Funktion.

Erst sehr viel später wurden die kleinen Steine durch Tonstückchen – calculi – ersetzt und mit Symbolen zur Wertangabe versehen. Vorlage:Spalte rechts

Rechnen vermeiden

Vermeiden heißt nicht unterlassen. Eigentlich bedeutet es das genaue Gegenteil. Erst wenn das Rechnen beherrscht wird, dann kann die Durchführung des eigentlichen Vorgangs oft drastisch verkürzt werden. So wird von Gauß folgende Begebenheit erzählt: Vorlage:Zitat-Rahmen

Hier wurde erst nach den Eigenschaften der gegebenen Menge gesucht und die Möglichkeit der Paarbildung erkannt. Dann wurden die Eigenschaften der Paare untersucht (Die Addition ergibt stets gleiche Werte). Damit genügte Gauß eine einzige Multiplikation statt 100 Additionen für die Berechnung. Vorlage:Spaltensatz Ende
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Rechnen mit Vorsicht

Rechnen und Mathematik haben wirklich nicht viel gemeinsam. Rechnen besteht in der Anwendung bestimmter mathematischer Tatsachen. Ohne Mathematik ist Rechnen sogar mit Vorsicht zu genießen. Ein paar abschreckende Beispiele sollen das deutlich machen.

Es gilt, „3=7“ zu beweisen. Das geht ganz einfach:

Offensichtlich gilt $\frac{3}{3}=\frac{7}{7}$. Damit kann ausgeklammert werden und es ergibt sich $3\cdot \left(\frac{1}{1}\right)=7\cdot \left(\frac{1}{1}\right)$. Jetzt ist es einfach, denn das ist ja

$3\cdot 1=7\cdot 1$.

Irgendwelche Zweifel? Na ja, es wurde von falschen Voraussetzungen ausgegangen und das einzig Richtige war „1=1“. Der Fehler war einfach zu finden.

Wie wäre es mit

$55-25-30=33-15-18$

Diese Gleichung verdient ihren Namen, denn beide Seiten sind gleich. Wegen der erworbenen Fertigkeiten im Rechnen fällt die Erkenntnis, dass

$5\cdot (11-5-6)=3\cdot (11-5-6)$

immer noch Gleichheit bedeutet nicht schwer. Dieser lange Klammerausdruck stört. Also rüber auf die linke Seite.

$5\cdot \left(\frac{11-5-6}{11-5-6}\right)=3$

Jetzt noch kürzen und „5=3“.

Stures Anwenden von Rechenregeln führt ganz offensichtlich in die Irre. Derartige Beispiele gibt es viele. Die Fehler darin zu erkennen hat mit Rechnen wenig zu tun. Vorlage:Spalte rechts

Unwahrheiten ausrechnen

Angenommen Jemand hat 20.- € in der rechten Hosentasche. Auf dem Weg nach Hause findet er einen 10€-Schein und steckt ihn in die linke Tasche.. „Prima! 50% Gewinn!“. Zweifellos eine korrekte Feststellung.

Vor der heimischen Tür angekommen stellt er fest, dass der gefundene Schein verloren wurde, denn in der Tasche war ein Loch. „Schade! Trotzdem ein gewinnträchtiger Tag, denn fast 17% Gewinn bleiben übrig.“

Die Rechnung ist so einfach wie falsch. Zwar entspricht 10 genau 50% von 20 und auch richtig ist, dass 10 etwas mehr als 33% von 30 sind. Aber es ist falsch die beiden prozentualen Werte zu subtrahieren.

Eine derartig optimistische Sichtweise mag vor Depressionen schützen, hilft aber wenig in der Realität. Wahrscheinlich wird deshalb so oft mit Prozenten argumentiert.

Prozentuale Gerechtigkeit

„Der Steuersatz sollte bei 20% für Alle liegen“. So die Idee eines Kundigen. Die Ablehnung dieses Vorschlags zeigte sich in einer bisher nie dagewesenen Form der Unfähigkeit elementarer mathematischer Zusammenhänge. Mit der Formulierung „Es ist sozial ungerecht, wenn Reiche genau soviel bezahlen wie Arme.“

Bei 2.500,- € mtl. beträgt die 20%ige Steuerlast 6.000,-€ jährlich. All die Inhaber eines bekannten Discounters dürften ein 8-stelliges Jahreseinkommen haben, also mindestens 10.000.000,-€. Damit gelten sie gewiss nicht als arm. Sie sollen nun, gemäß der Aussage über den „ungerechten“ Steuersatz von 20% ebenfalls 6.000,-€ zahlen. Nachrechnen hilft, bei Prozentangaben immer. All die Bezieher eines Einkommens in 8-stelliger Höhe zahlen 2.000.000.-€ Steuern.

Könnte es sein, dass mit „bezahlen“ vielleicht „belasten“ gemeint war? Das ist sogar wahrscheinlich, denn das wäre gerecht. Um Gerechtigkeit im Sinne einer „gerechten Verteilung von Lasten“ allgemein zu beziffern, sind prozentuale Angaben gut geeignet. Voraussetzung ist jedoch, das Verständnis für „pro cent“. Vorlage:Doppelspalte

Eigenschaften statt Werte

In der Mathematik sind Eigenschaften wichtiger als Werte und Werte wichtiger als Zahlen. Viele Rechenfehler lassen sich durch die Kenntnis bestimmter Eigenschaften vermeiden. Vorlage:Spalte links

Eigenschaften der Null

„Da kommt Null raus.“ ist eine oft gemachte Feststellung. So ist

$2\cdot x-2=0$

nur dann korrekt, wenn x = 1 ist. Die linke Seite ist eine Summe und 0 kann mit gegebenen Werten ungleich 0 nur über die Subtraktion (Addition mit negativem Vorzeichen) erreicht werden. Damit erklärt sich auch die Tatsache, dass gilt:

jede Zahl ≠ 0 hoch 0 ist gleich 1

Warum? Ganz einfach weil

$15^0=15^{(1-1)}=15^1\cdot 15^{-1}=\frac{15}{15}=1$

Die 0 (Null) ist geradzahlig

Nein, das erklärt sich nicht über die Division (0 durch irgendeine Zahl ergibt 0). Die 0 ist Vorgänger der kleinsten ungeraden natürlichen Zahl 1. Der Vorgänger einer ungeraden Zahl ist stets gerade.

Teilbarkeit

Eine weitere Eigenschaft von Zahlen. Teilbarkeit beantwortet die Frage, ob das Ergebnis der Division eine ganze Zahl ergibt. Interessant sind deshalb nur die ganzen Zahlen selbst, denn die irrationalen und die transzendenten sind nur durch sich selbst ganzzahlig teilbar.

Seien $a,b\in \mathbb{N}$ , dann steht

$a|b$ für a ist Teiler von b und

$a|/b$ für a ist nicht Teiler von b.

Wenn a und b hinsichtlich der Division nur eine ganzzahlige Gemeinsamkeit haben, sind sie einander teilerfremd. Die einzige ganze Zahl, die sowohl a als auch b ganzzahlig teilt ist die 1. Immer wenn der größte gemeinsame Teiler (kurz „ggT“ genannt) mehrerer Zahlen 1 ist, sind sie teilerfremd.

Daraus zu folgern, dass jede Zahl mindestens die beiden Teiler 1 und „sich selbst“ hat, ist nicht korrekt. Die 0 (Null) ist eine bereits bekannte Ausnahme und eine weitere Ausnahme ist die 1 (Eins). Die 1 ist teilerfremd zu sich selbst, denn

$\frac{1}{1}=1$

Vielleicht ist das der Grund, warum eines der interessantesten Gebiete (jetzt als Intervall gemeint) der Mathematik in den Grenzen von 0 bis 1 liegt.

• 0:

Teiler keiner Zahl.

Teilbar durch alle Zahlen, außer „sich selbst“.

Neutrales Element der Addition.

• 1:

Teiler jeder Zahl.

Teilbar durch keine Zahl, außer „sich selbst“. Trotzdem ist sie teilerfremd zu sich selbst.

Neutrales Element der Multiplikation.

Noch eine weitere Eigenschaft zeichnet diese beiden „Grenzpfosten“ aus:

Sie besitzen als einzige Elemente der natürlichen Zahlen keine Primteiler.

Schönheit ist berechenbar

Schönheit mathematisch

Ob etwas schön ist, wird von Menschen anhand bestimmter Verhältnisse gemessen. Mathematik ist auch deshalb so interessant, weil sie mit wenig Worten auskommt, um zu beschreiben, worum es geht.

Schönheit liegt insofern vor, wenn

$\frac{a}{b}=\frac{a+b}{a}$

Der „goldene Schnitt“ ist hier das Maß aller Dinge, wie auch folgende Links zeigen:

Bei menschlichen Proprotionen

Bei Bildern allgemein

Selbst die rationalen Zahlen „unterwerfen“ sich dieser (Auf)Teilung, wie dieser für die Wikiversity aufbereitete Beitrag zeigt.