Kurs:Mathematische Modellierung der Planetenbahnen/Zweikörperproblem

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Formulierung des Problems

Zwei Körper der Massen $m_1$ und $m_2$ bewegen sich nur unter Einfluss der gegenseitigen Gravitation. Nach dem Newton'schen Gravitationsgesetz können die Bewegungsgleichungen

$m_1{\ddot{\overrightarrow{r}}}_1=-G\frac{m_1{m}_2}{|{\overrightarrow{r}}_1-{\overrightarrow{r}}_2{|}^2}\frac{{\overrightarrow{r}}_1-{\overrightarrow{r}}_2}{|{\overrightarrow{r}}_1-{\overrightarrow{r}}_2|}$

$m_2{\ddot{\overrightarrow{r}}}_2=-G\frac{m_1{m}_2}{|{\overrightarrow{r}}_2-{\overrightarrow{r}}_1{|}^2}\frac{{\overrightarrow{r}}_2-{\overrightarrow{r}}_1}{|{\overrightarrow{r}}_2-{\overrightarrow{r}}_1|}$

aufgestellt werden. Zur Anschaulichkeit kann Masse $m_1$ als Sonne und $m_2$ als Planet aufgefasst werden. Der entsprechende Grenzwert im Sonnensystem kann durch $m_1\gg m_2$ erreicht werden.

Koordinatenwechsel

Um die Bewegungsgleichungen allgemein zu lösen werden die Gesamtmasse

$M=m_1+m_2$

und die reduzierte Masse

$\frac{1}{\mu }=\frac{1}{m_1}+\frac{1}{m_2}\Rightarrow \mu =\frac{m_1{m}_2}{m_1+m_2}$

sowie der Schwerpunkt

$M\overrightarrow{R}=m_1{\overrightarrow{r}}_1+m_2{\overrightarrow{r}}_2$

und der Relativvektor

$\overrightarrow{r}={\overrightarrow{r}}_2-{\overrightarrow{r}}_1$

definiert. Im für das Sonnensystem relevanten Grenzfall entspricht $M$ der Masse der Sonne, $\mu$ der Masse des Planeten, $\overrightarrow{R}$ dem Schwerpunkt der Sonne und $\overrightarrow{r}$ dem Vektor des Planeten.

Mit den Bewegungsgleichungen können so

$M\ddot{\overrightarrow{R}}=\overrightarrow{0}$

und

$\mu \ddot{\overrightarrow{r}}=-\frac{G{m}_1{m}_2}{r^2}\frac{\overrightarrow{r}}{r}$

gefunden werden. Der Schwerpunkt führt damit eine geradlinig gleichförmige Bewegung aus und kann als gelöst betrachtet werden.

Für die Relativbewegung wird die Abkürzung $\alpha =G{m}_1{m}_2$ und der Einheitsvektor ${\hat{e}}_r=\frac{\overrightarrow{r}}{r}$ eingeführt, um die noch zu lösende Bewegungsgleichung auf die Form

$\mu \ddot{\overrightarrow{r}}=\overrightarrow{F}(\overrightarrow{r})=-\frac{\alpha }{r^2}{\hat{e}}_r$

zu bringen.

Drehimpulserhaltung

Da die Kraft in der Bewegungsgleichung parallel zu ${\hat{e}}_r$ ist, muss der Drehimpuls $\overrightarrow{J}=\overrightarrow{r}\times (\mu \dot{\overrightarrow{r}})$ erhalten sein. Damit findet die Bewegung in einer festen Ebene statt und es können Zylinderkoordinaten

$\overrightarrow{r}=r{\hat{e}}_s\dot{\overrightarrow{r}}=\dot{r}{\hat{e}}_s+r\dot{\phi }{\hat{e}}_{\phi }$

gewählt werden. Der Drehimpuls kann dann durch

$\overrightarrow{J}=J{\hat{e}}_z=m{r}^2\dot{\phi }{\hat{e}}_z$

dargestellt werden.

Energieerhaltung

Die einwirkende Kraft $\overrightarrow{F}(\overrightarrow{r})-\frac{\alpha }{r^2}{\hat{e}}_r$ kann durch das Potential $U(r)=-\frac{\alpha }{r}$ über

$\overrightarrow{F}(\overrightarrow{r})=-\mathrm{\nabla }U(\overrightarrow{r})=-\frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}r}{\hat{e}}_r$

dargestellt werden. Damit ist die Energie

$E=\frac{1}{2}\mu {\dot{\overrightarrow{r}}}^2+U(r)=\frac{1}{2}\mu {\dot{\overrightarrow{r}}}^2-\frac{\alpha }{r}$

eine Erhaltungsgröße. Mit dem Ortsvektor in Zylinderkoordinaten und dem erhaltenen Drehimpuls $J$ lässt sich die Energie auch durch

$E=\frac{1}{2}\mu {\dot{r}}^2+\frac{J^2}{2m{r}^2}-\frac{\alpha }{r}=\frac{1}{2}\mu {\dot{r}}^2+U_{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}}(r)$

darstellen. Damit kann die Relativbewegung durch die Bewegung eines Teilchens der Masse $m$ im Potential

$U_{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}}(r)=\frac{J^2}{2m{r}^2}-\frac{\alpha }{r}$

beschrieben werden. Hieraus lässt sich über ein "kompliziertes" Integral die Lösung bestimmen. Stattdessen kann aber eine weitere Erhaltungsgörße verwendet werden.

Der Laplace-Runge-Lenz-Vektor

Aus dem Impuls $\overrightarrow{p}=\mu \overrightarrow{\dot{r}}$ und dem Drehimpuls $\overrightarrow{J}$ lässt sich die Größe

$\overrightarrow{A}=\overrightarrow{p}\times \overrightarrow{J}-m\alpha {\hat{e}}_r$

konstruieren. Es handelt sich um einen konstanten (nachrechnen!) $\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{A}}{\mathrm{d}t}=\overrightarrow{0}$ Vektor, der in der Ebene der Bewegung liegt. Er zeichnet damit eine Achse im Koordinatensystem aus. Er wird als Laplace-Runge-Lenz-Vektor bezeichnet.

Wird der Ortsvektor auf den Laplace-Runge-Lenz-Vektor projiziert, so kann mit dem Winkel $\phi$ zwischen den Vektoren der Ausdruck

$\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{r}=Ar\cos (\phi )=J^2-\mu \alpha r\Rightarrow r(\phi )=\frac{J^2/\mu \alpha }{1+\frac{A}{\mu \alpha }\cos (\phi )}$

gefunden werden. Mit

$e=\frac{A}{\mu \alpha }$

und

$a(1-e^2)=\frac{J^2}{\mu \alpha }$

entspricht dies aber dem Ausdruck

$r(\phi )=\frac{a(1-e^2)}{1+e\cos (\phi )}$

einer Ellipse. Da $\phi =0$ in diesem Ausdruck dem Perihel entspricht, aber gleichzeitig für die Parallelität von $\overrightarrow{r}$ und $\overrightarrow{A}$ steht, beschreibt der Laplace-Runge-Lenz-Vektor einen Vektor, der vom Ursprung aus aufgetragen immer zum Perihel zeigt.

Über den Betrag des Laplace-Runge-Lenz-Vektors

$A=2\mu J^{2}E+{\mu }^2{\alpha }^2$

lässt sich die Exzentrizität durch die Energie der Relativbewegung

$e=\sqrt{1+\frac{2E{J}^2}{\mu {\alpha }^2}}$

bestimmen. (Für gebundene Bewegungen, wie die der Planeten im Sonnensystem, ist die Energie $E$ negativ und damit $0<e<1$) ${\displaystyle }$

Siehe auch

• Weiteres lässt sich in den Wikipedia-Artikeln Newtonsches Zweikörperproblem und Laplace-Runge-Lenz-Vektor einsehen.
• In der GeoGebra-Datei eines Binärsystems ist die Geometrie eines Binärsystems mit dem Massenverhältnis $\frac{m_2}{m_1}=\frac{1}{2}$ zu sehen.