Kurs:Mathematische Modellierung der Planetenbahnen/Gravitationsgesetz nach Newton

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Folgerungen aus dem zweiten Kepler'schen Gesetz

Nach dem ersten und zweiten Kepler'schen Gesetz bewegt sich ein Planet in einer Ebene. Die Bewegung lässt sich mit Zylinderkoordinaten

${\overrightarrow{e}}_r=\left(\begin{array}{c}\cos (\phi )\\ \sin (\phi )\\ 0\end{array}\right){\overrightarrow{e}}_{\phi }=\left(\begin{array}{c}-\sin (\phi )\\ \cos (\phi )\\ 0\end{array}\right){\overrightarrow{e}}_z=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$

beschreiben. Als Ebene wird die $xy$-Ebene gewählt, so dass der Ortsvektor durch $\overrightarrow{r}=r{\overrightarrow{e}}_s$ gegeben ist. Die Geschwindigkeit kann durch

$\overrightarrow{v}=\dot{\overrightarrow{r}}=\dot{r}{\overrightarrow{e}}_r+r\dot{\phi }{\overrightarrow{e}}_{\phi }$

bestimmt werden. Mit dem zweiten Kepler'schen Gesetz

$\frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}t}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{v}|=\frac{C}{2}$

lässt sich so

$r^2\dot{\phi }=C$

bestimmen.

Die Beschelunigung ist durch

$\overrightarrow{a}=\dot{\overrightarrow{v}}=(\ddot{r}-r{\dot{\phi }}^2){\overrightarrow{e}}_r+(2\dot{r}\dot{\phi }+r\ddot{\phi }){\overrightarrow{e}}_{\phi }$

gegeben. Mit

$r^2\dot{\phi }=C\Rightarrow \dot{\phi }=\frac{C}{r^2},0=2\dot{r}r\dot{\phi }+r^2\ddot{\phi }$

lässt sich so

$\overrightarrow{F}=m\overrightarrow{a}=m(\ddot{r}-\frac{C^2}{r^3}){\overrightarrow{e}}_r$

zeigen. Die Kraft ist also parallel zum Fahrstrahl des Planeten.

Folgerungen aus dem ersten Kepler'schen Gesetz

Mit der Form der Ellipse

$r(\phi )=\frac{a(1-e^2)}{1+e\cos (\phi )}$

kann

$\dot{r}=\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}\phi }\frac{\mathrm{d}\phi }{\mathrm{d}t}=\frac{Ce\sin (\phi )}{a(1-e^2)}$

und damit

$\ddot{r}=\frac{C^{2}e\cos (\phi )}{a(1-e^2)}\frac{1}{r^2}$

berechnet werden. Somit ist die Kraft weiter durch

$\overrightarrow{F}=-m\frac{C^2}{a(1-e^2)}\frac{1}{r^2}{\overrightarrow{e}}_r$

gegeben.

Folgerungen aus dem dritten Kepler'schen Gesetz

Nach dem Flächensatz ist auch der Zusammenhang

$C=\omega a^2\sqrt{1-e^2}$

gültig, weshalb sich weiter

$\overrightarrow{F}=-m\frac{{\omega }^2{a}^3}{r^2}{\overrightarrow{e}}_r$

ergibt. Das dritte Kepler'sche Gesetz besagt nun, dass die Kombination ${\omega }^2{a}^3$ für alle Planeten des Sonnensystems den gleichen Wert $K_S$ annimmt. Daher muss die Kraft der Sonne auf die Planeten die Form

$\overrightarrow{F}=-\frac{K_{S}m}{r^2}{\overrightarrow{e}}_r$

haben.

Folgerungen aus dem dritten Newton'schen Gesetz

Der Mond wird stärker von der Erde als von der Sonne angezogen und erfährt daher eine formähnliche Kraft mit anderer Konstante $K_E$. Die Sonne sollte ebenfalls diese Kraft durch die Erde erfahren, so dass

${\overrightarrow{F}}_{S\to E}=-\frac{K_S{m}_E}{r^2}{\overrightarrow{e}}_r{\overrightarrow{F}}_{E\to S}=\frac{K_E{m}_S}{r^2}{\overrightarrow{e}}_r$

gilt. Nach dem dritten Newton'schen Gesetz sind diese Kräfte gleich groß und entgegengesetzt. Daher muss

$\frac{K_S{m}_E}{r^2}=\frac{K_E{m}_S}{r^2}\Rightarrow \frac{K_S}{m_S}=\frac{K_E}{m_E}$

gelten. Die letzten Ausdrücke sind nur vom Zentralobjekt (Sonne bzw. Erde) abhängig und müssen deshalb eine universelle Konstante $G$ sein. Daher lässt sich die Kraft der Sonne auf die Planeten durch

$\overrightarrow{F}=-G\frac{m_{S}m}{r^2}{\overrightarrow{e}}_r$

schreiben.

Allgemein ist die Gravitation zwischen zwei Körpern durch

${\overrightarrow{F}}_{1\to 2}=-G\frac{m_1{m}_2}{|{\overrightarrow{r}}_2-{\overrightarrow{r}}_1{|}^2}\frac{{\overrightarrow{r}}_2-{\overrightarrow{r}}_1}{|{\overrightarrow{r}}_2-{\overrightarrow{r}}_1|}$

gegeben.

Siehe auch

• Weiteres lässt sich im Wikipedia-Artikel Newtonsches Gravitationsgesetz einsehen.