Kurs:Quantencomputing/Integrale

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Definiton

Für eine stetige Funktion $f(x)$ wird die Stammfunktion $F(x)$ durch $F^{\prime }(x)=f(x)$ definiert. Sie kann dazu benutzt werden, die Fläche zwischen der Funktion $f(x)$ und der $x$-Achse auf dem Intervall $(a,b)$ zu bestimmen. Dazu wird das bestimmte Integral
$\underset{a}{\overset{b}{\int }}\mathrm{d}xf(x)=F(b)-F(a)$
definiert. Stammfunktionen sind bis auf eine additive Konstante eindeutig, weshalb $F(x)$ auch oft durch den Ausdruck eines unbestimmten Integrals
$F(x)=\int \mathrm{d}xf(x)$
angegeben wird.

Beispiele

Einige wichtige Stammfunktionen sind in der folgenden Tabelle aufgeführt.

Liste einfacher Stammfunktionen

$f(x)$	$F(x)$
$0$	$c\in ℝ$
$c\in ℝ$	$c\cdot x$
$x$	$\frac{1}{2}{x}^2$
$x^2$	$\frac{1}{3}{x}^3$
$x^n$	$\frac{1}{n+1}{x}^{n+1}$
$\sin (x)$	$-\cos (x)$
$\cos (x)$	$\sin (x)$
${\mathrm{e}}^x$	${\mathrm{e}}^x$

Regeln

Aus den Ableitungsregeln lassen sich auch einige Regeln für Integrale herleiten.

• Linearität $\int \mathrm{d}x(a\cdot f(x)+b\cdot g(x))=a\cdot \int \mathrm{d}xf(x)+b\cdot \int \mathrm{d}xg(x)$
• Partielle Integration $\int \mathrm{d}xf(x)\cdot g^{\prime }(x)=f(x)\cdot g(x)-\int \mathrm{d}x{f}^{\prime }(x)\cdot g(x)$
• Substitutionsregel I $\int \mathrm{d}x{u}^{\prime }(x)\cdot f(u(x))=\int \mathrm{d}uf(u)$
• Substitutionsregel II $\int \mathrm{d}xf(x)=\int \mathrm{d}u{x}^{\prime }(u)\cdot f(x(u))$

Aufgabe

Bestimme für $f(x)=3x^2-2x\sin (x)+1-3\cos (2x)$ die Stammfunktion $F(x)$ und das bestimmte Integral $\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}\mathrm{d}x\cos (x)\cdot \sin (\sin (x))$.

Lösungen

Siehe auch

• Weitere Informationen können im Wikipedia-Artikel Riemann Integral gefunden werden.